2022年多元函数微分学复习题及答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答一、挑选题1.极限 lim x 0x2 x y2= yC等于1 2； D存在且不等于0 或1 2（ B ）4yy0A 等于 0；B不存在；（提示：令y2 2k x ）sin1xy0,就极限 lim x 0f x y , = （ C ）2、设函数f , xsin1yx0xy0y0A 不存在；B 等于 1；C等于 0；D等于 2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）3、设函数 f x y , xxyy2x2y20,就f x y（ A ）2A 到处连续；0x2y20B 到处有极限,但不

2、连续；C 仅在（ 0,0）点连续；D 除（ 0,0）点外到处连续名师归纳总结 （提示：在x2y20,f x y 到处连续；在x0,y0,令 ykx ,第 1 页,共 5 页lim x 0y 0x22 kx2lim x 0kx20f0,0,故在x2y20,函数亦连续；所以,f x y 在2 k x1k整个定义域内到处连续；）4、函数 zf x y , 在点 x 0,y0处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ）A 必要而非充分条件；B 充分而非必要条件；C充分必要条件；D 既非充分又非必要条件5、设 uarctany,就u= （ B ）xxA x2xy2；B x2yy2；C x2yy2；D x

3、2x2y6、设 f x y , arcsiny,就 f x , （ A ）x（A ）1；（B）1 4；（C）1；（D）1 242- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7、如zlnxy,就xzy精品资料欢迎下载（C）zxy（A）xy；（B）x2y；（C）1 ；2（ D）1（C）28、设zarctanx,xuv,yuv,就zuz vy（A）uv2；（ B）vu；（C）uv2；（D）uvu2u2vu2vu2v2v6x1,就 fy , 2x= 9、如 f x , 2x x23 x f , 2x（ D ）xA x3；B x3；C 2x1；D 2x12210、设 zy

4、x ,就 zz , C 0 ；D 1 （ A ）xyA 2 ；B 1+ln2 ；11、设函数 z1x2y2 ,就点 , 0 0 是函数z 的（ B ）（A ）极大值点但非最大值点；（C）微小值点但非最小值点；（B）极大值点且是最大值点；（D）微小值点且是最小值点；12、设函数 z,0f x y , 具有二阶连续偏导数,在P 0x0,y0 处,有2（ C ）fxP 0fyP 0,0fxxP 0fyyP 00 ,fxyP 0fyxP 0,就（A ）点 P0 是函数 z 的极大值点；（C）点 P0 非函数 z 的极值点；二、填空题（B）点 P0 是函数 z 的微小值点；（D）条件不够,无法判定；名师

5、归纳总结 1、极限 lim sin y x 0 x xy = ；答：102f , 第 2 页,共 5 页2、极限 lim ln x 0yex 2=；答： ln2x2y2y13、函数 zlnxy 的定义域为；答： xy4、函数 zarcsinx的定义域为；答：1x1, yy5、设函数f x y , x2y2xylny,就 f kx ky = ；答： kx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6、设函数f , xxyy,就 f x精品资料y = 欢迎下载；答：2 x2y2y xx（f xy xyxyyxyx22y2）0 9、设xxyx7、设 zsin3xyy,

6、就zx2_ ；答： 3cos5 xy18、函数 zz x y , 由方程xyzexy z 所确定,就2zx2uxlnxy,就2u= _ ；答：1 yx y9、函数 z2x23 y24x6y1的驻点是 _；答：（1, 1）三、运算题1、求以下二元函数的定义域,并绘出定义域的图形 . 1 z 1 x 2y 22 z ln x y 3 z 14 z ln xy 1ln x y 解： 1要使函数 z 1 x 2y 2有意义,必需有 1 x 2y 20,即有 x 2y 21 . 2 2故所求函数的定义域为 D x y | x y 1 ,图形为图 3.1 2 要 使 函 数 z l n x y 有 意 义

7、 , 必 须 有 x y 0 . 故 所 有 函 数 的 定 义 域 为D , | x y 0,图形为图 3.2 3要使函数 z 1 有意义,必需有 ln x y 0,即 x y 0 且 x y 1 . ln x y 故该函数的定义域为 D , | x y 0,x y 1,图形为图 3.3 4要使函数 z ln xy 1 有意义,必需有 xy 1 0 .故该函数的定义域为D x y , | xy 1,图形为图 3.4 yyx+y=0名师归纳总结 O1xO1x第 3 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 图 3.1 精品资料欢迎下载图 3.2

8、yy1x+y=0O1x-111y=1/xOxx+y=1-1图 3.4 图 3.3 2、求极限 lim x 0y 04xyexxy；4x16xy = -8 1z；答：2 xyz1 xy116解： lim x 0y 04xyexxylim x 0xye x16xyy03、设函数 z2 z x y , 由方程 xy zyz所确定,求y24、设 zyx lnxy ,求z,z；xyzyxyx1lnxy yx解： z xyxlnylnxy1yxxy四、应用题 ；1、某工厂生产两种产品甲和乙,出售单价分别为3x210 元与 9 元,生产 x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是4002x3y0.01

9、 xy3y2元,求取得最大利润时,两种产品的产量各为多少？名师归纳总结 解：Lx,y表示获得的总利润,就总利润等于总收益与总费用之差,即有,3y2第 4 页,共 5 页利润目标函数Lx,y 10x9y4002x3y0.01 3x2xyy0,8x6y0. 01 3 x2xy3y2400,x0令Lx80 . 01 6x6y 0,解得唯独驻点（120,80）. Ly60 . 01 xy 0120 单位产品甲与又因ALxx0. 060,BLxy0.01 ,CLyy0. 06,得ACB23.51030. 得极大值L 120 ,80320. 依据实际情形,此极大值就是最大值故生产80 单位产品乙时所得利润

10、最大320 元. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载五、证明题1、设ze11求证x 2zy2z2 z1 y 2所以x 2zy2ze11e112 zxyxy11证明：由于ze111 x 2zxyexyxyxyxyxy2设 2sin x 2y 3z x 2y 3z 证明zz1xy证明：设 Fx y z 2sinx 2y 3z x 2y 3z 就F x 2cosx 2y 3z 1F y 2cosx 2y 3z 2 2 2FxF z 2cosx 2y 3z 3 33F x2F x2证明zF xFx1zFyxF z3 x3yF z3F x3于是zzF xF z121xyFzF z33Fxyz 0 所确定的具有连续偏导数的函数3、设 x xyzy yxzz zxy都是由方程xyz1yzx解：由于名师归纳总结 所以xyFyyF yFzF zzFx1第 5 页,共 5 页yF xzFyxFzx yF xF zz xzF xF y- - - - - - -