2022年高等数学复习资料大全.docx

《2022年高等数学复习资料大全.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高等数学复习资料大全.docx（27页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学复习教程第一讲 函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限 极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法就求极限3.连续 函数连续（左、右连续）与间断懂得并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A. 极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数,可用因式分解或有理化排除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法

2、就与 Taylor 级数法（8）其他（微积分性质,数列与级数的性质）arctan x x arctan x x 11. limx 0 ln 1 2 x 3 limx 0 2 x 36（等价小量与洛必达 ）2.已知 lim x 0 sin 6 xx 3 xf x 0,求 lim x 0 6x f2 x sin 6 x xf x 6 cos 6 x f x xy 解：lim x 0 x 3 lim x 0 3 x 236 sin 6 x 2 y xy 216 cos 6 x 3 y xy lim x 0 6 x lim x 0 6216 3 y 0 0 y 0 7266 f x y y 72lim

3、x 0 x 2 limx 0 2 x limx 0 2 2 36（洛必达）2 x3. lim x 1 x 2 x1 x 1（重要极限 ）1名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4.已知 a、b 为正常数,求lim x 0ax2bx3x解：令tax2bx3lntx3lnaxlnbxln2 （变量替换 ）x,xlim x 0lntlim x 0ax3xalnabxb 3lnab b2tab 3/215.lim x 0 cosxln1x211lntfln11x2lncosx1解：令tcosxlnx 2,tanxtlim x

4、0lntlim x 01e1/2（变量替换 ）2x2,求x lim 0xx2ftdt6.设f x连续,f0 0 ,0 00x2f t dt0（洛必达与微积分性质 ）7.已知fxlncosx x2,x0在 x=0 连续,求 aa ,x0解：令alim x 0lncosx/x21 /2（ 连续性的概念 ）三、补充习题（作业）1.lim x 0x e1xx3（洛必达 ）1xcos2.lim x 0ctgx1x1（ 洛必达或 Taylor ）sinx3.lim x 0xx 0et2dt1（洛必达与微积分性质 ）1ex 2其次讲 导数、微分及其应用一、理论要求2名师归纳总结 - - - - - - -第

5、 2 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四就、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 懂得 Roll 、Lagrange、Cauchy、Taylor 定理会用定理证明相关问题3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题,能画简图会运算曲率（半径）二、题型与解法A. 导数微分的运算 基本公式、四就、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1. y y x 由 2 y xty arctan2 te t5 打算,求 dydx2. y y x 由 ln x 2

6、 y x 3 y sin x 打算,求 dy| x 0 1dx解：两边微分得 x=0 时 y y cos x y,将 x=0 代入等式得 y=13. y y x 由 2 xyx y 打算,就 dy x 0 ln 2 1 dxB.曲线切法线问题 4.求对数螺线 e 在（,）（e / 2, / 2 处切线的直角坐标方程；解：x e cos, x , y | / 2 ,0 e / 2 , y | / 2 1y e sin/ 2y e x5.fx 为周期为 5 的连续函数,它在 x=1 可导,在 x=0 的某邻域内满意 f1+sinx-3f1-sinx=8x+ox ；求 fx 在（ 6,f6 ）处的切

7、线方程；解：需求f6,f6 或f1 ,f 1 ,等式取 x-0 的极限有： f1=01ex,lim x 0f 1sinx 3f1sinxsinxsinxtlim t 0f1tf 1 3f1tf 1 tt4f1 8f1 2y2 x6 C.导数应用问题6.已知yfx 对一切x 满意xfx2 x fx 2如fx 00 x 00 ,求x 0y0点的性质；解：令xx0代入,fx 0ex 01,0x 00,故为微小值点；ex 0x 0,0x 003名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7.yxx32,求单调区间与极值、凹凸区间与拐

8、点、渐进线；1解：定义域x1,U ,112 与y1x211y0驻点x0 及x3y0拐点x0；x1：铅垂；yx2：斜8.求函数yx1 e/2arctanx的单调性与极值、渐进线；解：yx2xxe/2arctanx驻点x0与x1,渐：yex12D.幂级数绽开问题9.dxsinxt2dtsinx20dxsinxt2xt21xt61nx2t22n1 1 .1 .3nsinxt2dt1xt31xt71 n14xt4n37.3n1 2nxsinxt21x31x71 n4 nx4n11 .2 n037.31 dxsinxt2dtx21x61nx22n1sinx2dx0.32n1 .1n .x或：xtud0s

9、inu2dudxsinu2dusinx2x0dxdx10.求fxx2ln1x 在x0 处的n 阶导数fn0 解：x2ln1xx2xx2x31n1xn2oxn2223n=x3x4x51 n1nxn2o xnfn01 n23n2E.不等式的证明11.设x1,0,求证（1xln21x x2 1,ln 21ln1x2证： 1）令gx 1x ln2 1x2 x,g0 04名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - gx,gx,gx2ln1x 0 ,g0g00 1x2x0 1, 时gx 单调下降,gx0 ,gx单调下降,0f 11,gx

10、0 ,gx 单调下降,gx0；得证；2）令h xln1x1,x01, ,hx 0,单调下降,得证；1xF.中值定理问题12.设函数fx在1,具有三阶连续导数,且f1 f0 0,求证：在（ -1,1）上存在一点,使f3证：fxf0f0x1f0x21fx32 .3其中 0 ,x ,x1,1将 x=1 ,x=-1 代入有0f1 ff0 11f 0 11f1261f 10 f 0 f226两式相减：f1f261,2,f1f1f23213.eab2 e,求证：ln2bln2a4ba2 e证：Lagrange:fbfafba令fxln2x,ln2bln2a2lnba令tlnt,t1tlnt0e2ln2t2

11、2 eln2bln2a4ba（关键：构造函数）e2三、补充习题（作业）1.fx ln1x, 求y031x225名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2.曲线xetsin2 t在 1,0 处切线为y2x10ye tcos 2 t3.yxlne1x0 的渐进线方程为yx1 egx2 x23g1 0x4.证明 x0 时2 x1 lnxx12x ,gx,证：令gx x21 lnxx1 2,gxg1 g 10,g 1 200x 0 1, ,g 0x1,0 ,g,0g22gx ,1,g0 ,gx,1,g0第三讲 不定积分与定积分一

12、、理论要求 1.不定积分 把握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）2.定积分 懂得定积分的概念与性质 懂得变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 会求定积分、广义积分 会用定积分求几何问题（长、面、体）会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值二、题型与解法A. 积分运算1.xdxx 4dx2 2arcsinx22C4x2.e2xtanx12dxe2x2 secxdx2e2xtanxdxe2xtanxC3.设flnxln1x ,求fxdxx 1exln1exCx解：fxdxln1xex dxeexln1ex11exxdxe4.

13、1arctanxdx1arctanx| 1b limb11x2dx41ln2x2x1xx26名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - B.积分性质5.fx 连续,x1fxtdt,且lim x 0fxA,求x并争论 x 在0xx0的连续性；解：f 0 0 0 ,yxtxxfy dy2,0xx xfxxfy dyQ 0 Alim x 00 A/20 0x226.dxtfx2t2dtdxfx2t2dt2x2dx02dx0dx2fydyxfx22 dx0C.积分的应用7.设fx 在0,1连续,在（ 0,1）上f x 0,且xfx

14、fx3ax2又fx与 x=1,y=0 所围面积 S=2；求f x ,且 a=.时 S 绕 x 轴旋转体积最小；解：dfx3 afx3ax2cxQ1fxdx2c4adxx220fx3ax241xQV1y2dx0a5208.曲线yx1,过原点作曲线的切线,求曲线、切线与x 轴所围图形绕x 轴旋转的表面积；解：切线yx/2绕 x 轴旋转的表面积为22yds5551 0曲线yx1绕 x 轴旋转的表面积为262yds1总表面积为6 1151三、补充习题（作业）1.lnsinxdxcotxlnsin2xcotxxCsin2x2.x5dxx26x133.arcsinxdxx第四讲 向量代数、多元函数微分与空

15、间解析几何一、理论要求7名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1.向量代数 懂得向量的概念（单位向量、方向余弦、模）明白两个向量平行、垂直的条件向量运算的几何意义与坐标表示2.多元函数微分 懂得二元函数的几何意义、连续、极限概念,闭域性质懂得偏导数、全微分概念能娴熟求偏导数、全微分娴熟把握复合函数与隐函数求导法3.多元微分应用 懂得多元函数极值的求法,会用 Lagrange 乘数法求极值4.空间解析几何 把握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法会求平面、直线方程与点线距离、点面距离二、题型与解法A. 求偏导、全

16、微分1.f x 有二阶连续偏导,zf e xsiny 满意z xx z yy2 exz,求fx 解：ff0f uc 1u ec2eu2.z1fxyyxy,求2zxxy3.yyx ,zzx 由zxfxy ,Fx ,y,z 0打算,求dz /dxB.空间几何问题4.求xyza上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和；解：x/x0y/y0z/z 0ada5.曲面x22y23 z221 在点 ,1,22 处的法线方程；C.极值问题6.设zz x ,y是由x26xy102 y2yz2 z180确定的函数,求zz x ,y的极值点与极值；三、补充习题（作业）1.zfxy ,x ygy,求,2zy,求dzxx

17、y2.zfxy ,xgy,求zarctanyxxzu,ulnx2y23.x第五讲 多元函数的积分8名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一、理论要求1.重积分熟识二、三重积分的运算方法（直角、极、柱、球）z dzdrDfx,ydxdybdxy2x fx,ydyay 1 x2dr2fr,rdr1r1 bdxy2xdyz2 x,y fx,y ,ay 1xz 1x ,yVfx ,y ,z dxdydzdz2dz2zd,r2z,fr,z rdrz 11z r1z ,2 dr2,fr,r2sin1r1 会用重积分解决简洁几何物理

18、问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）2 2z f x , y A D 1 z x z y dxdy2.曲线积分 懂得两类曲线积分的概念、性质、关系,把握两类曲线积分的运算方法b 2L : y y x a f x , y x 1 y x dxx x t 2 2L f x , y dl L :y y t f x t , y t x t y t dt2 2L : r r f r cos , r sin r r d熟识 Green 公式,会用平面曲线积分与路径无关的条件3.曲面积分懂得两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系熟识 Gauss与 Stokes 公式,会运算两类曲面积分S :zz x ,y

19、fx ,y,zdSVDxy r Efx ,y,z x,y1z 2z 2dxdyxyr S E r F Lr d SdV通量,散度）Gauss:Sr Fdr S 旋度）dr rStokes:二、题型与解法A. 重积分运算1.Ix2y2dV,为平面曲线y202z绕 z 轴旋转一周与z=8 的围x域；解：ID8 0dzx2y 22zx2y2dxdyy8dz2d202zr2rdr0 1024x围域；（0032.Ia4a2 xy2y2dxdy ,D为aax2a与y2x21 2I22169名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3.

20、fx ,yx2y1,x20,yx,0,其他求Dfx ,y dxdy ,D:x2xy2y2xx49/20 excosyax dyB.曲线、曲面积分4.I esinb y dxLL 从 A 2 a , 0 沿 y 2 ax x 2 至 O 0 0, 解：令 L 1 从 O 沿 y 0 至 A2 a2 3IL L 1 L 1 D b a dxdy 0 bx dx 2 2 a b2 a5. I L xdy4 x 2 ydxy 2 , L 为以 0,1 为中心,R 1 为半径的圆周正向；2 x r cos解：取包含 0,0的正向 L 1 :,y r sinL L 1 0 L L 1L L 16.对空间

21、x0 内任意光滑有向闭曲面 S,S xf x dydz xyf x dzdx e 2 x zdxdy 0,且 f x 在 x0 有连续一阶导数,x lim 0 f x 1 ,求 f x ；解：0 s F rd S rF rdV f x xf x xf x e 2 x dVx1 1 2 x e xy 1 y e y e 1x x x第六讲 常微分方程一、理论要求1.一阶方程娴熟把握可分别变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法y ,yyp y 2.高阶方程会求ynfx ,yfx ,yyp x ,y f10名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 15 页精选学习资料 - - - -

22、- - - - - ypyq02pq03.二阶线性常系数cos12y1c 1e1xc2e2x齐次12y1c1c2xexfx P n x exiy 1exc1cosxc2sinxy2Q nx ex1or2y2Q nx xex非齐次 x1and2y2Qnx x2efx exp ix xpjx sinx iy2exq nx cosxr nx sinx非齐次 iy2xex q nx cosxrnx sinx nmax,j二、题型与解法A. 微分方程求解1.求 3 x22 xyy2dxx22xy dy0通解；（xy22 xyx3c 2.利用代换yux化简y cosx2y sinx3ycosxx e并求通

23、解；（y=x+1 ,cosu4uex,yc 1cos2x2 c2sinx5exx）cosxcos11y2,且过01, 处切线方程为3.设yyx 是上凸连续曲线,x,y处曲率为求yyx及其极值；1ln2,ymax11ln2解：yy210yln|cos4x|122三、补充习题（作业）1.已知函数yeyx在任意点处的增量yyxox,y0 ,求y 1；e4）1x22.求y 4y2x的通解；（yc 1 e2xc 22 ex1xe2x）43.求yx2y1x21 ）y2dxxdy0x0,y 1 0的通解；（24.求y 2y 2 ex0 ,y 0 y 0 1的特解；（y1132x2 ex44第七讲 无穷级数1

24、1名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一、理论要求1.收敛性判别 级数敛散性质与必要条件常数项级数、几何级数、p 级数敛散条件正项级数的比较、比值、根式判别法交叉级数判别法2.幂级数 幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法幂级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分）Taylor 与 Maclaulin 绽开3.Fourier 级数 明白 Fourier 级数概念与 Dirichlet 收敛定理会求 l , l 的 Fourier 级数与 0 , l 正余弦级数第八讲 线性代数一、理论要求1.行列式 会用按行

25、（列）绽开运算行列式2.矩阵 几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、相伴）矩阵加减、数乘、乘法、转置,方阵的幂、方阵乘积的行列式矩阵可逆的充要条件,会用相伴矩阵求逆矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价用初等变换求矩阵的秩与逆懂得并会运算矩阵的特点值与特点向量懂得相像矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件把握将矩阵化为相像对角矩阵的方法把握实对称矩阵的特点值与特点向量的性质3.向量 懂得 n 维向量、向量的线性组合与线性表示把握线性相关、线性无关的判别懂得并向量组的极大线性无关组和向量组的秩明白基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法明白规范正交基、正交矩阵的概念与性质4.线性方程组

26、 懂得齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件懂得齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解把握用初等行变换求解线性方程组的方法5.二次型 二次型及其矩阵表示,合同矩阵与合同变换二次型的标准形、规范形及惯性定理把握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法明白二次型的对应矩阵的正定性及其判别法第九讲 概率统计初步一、理论要求1.随机大事与概率 明白样本空间（基本领件空间）的概念,懂得随机大事的关系与运算12名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 会运算古典型概率与几何型概率把握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式2.随机变量与分布 懂得随机变量与分布的概念懂得分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度把握 0-1、二项、超几何、泊松、匀称、正态、指数分布,