2022年应用高等数学教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 应用高等数学教案第一章 函数、极限与与连续本章将在分别争论数列的极限与函数的极限的基础上,争论极限的一些重要性质以及运算法就； 同时仍介绍与极限概念亲密相关的微积分学中另一个重要的概念连续,和连续函数的如干重要性质；详细的要求如下：1 懂得极限的概念；2 把握极限四就运算法就；3 明白两个极限存在准就（夹逼准就和单调有界准就）,会用两个重要极限求极限；4 明白无穷小、无穷大,以及无穷小的阶的概念；会用等价无穷小求极限；5. 懂得函数在一点连续的概念；6. 明白间断点的概念,并会判别间断点的类型；7. 明白初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质

2、（介值定理、零点定理和最大、最小 值定理）；绪论数学： 数学是争论空间形式和数量关系的一门学科,数学是争论抽象结构及其规律、特性的学科；数学具有高度的抽象性、严密的规律性和应用的广泛性；关于数学应用和关于微积分的评判：华罗庚：宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之迷,日用之繁,无 处不用数学；恩格斯：在一切理论成就中,未必再有像17 世纪下叶微积分的微积分的发觉那样被看作人类精神的最高成功了；假如在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯独的功绩,那就正是这里；张顺燕数学与文化在北大数学文化节上的报告：微积分是人类的宏大结晶,它给出了一整套科学方法,开创了科学的新纪元,并因此加强

3、和加深了数学的作用；, 有了微积分,人类才有才能把握运动和过程；有了微积分,就有了工业革命,有了大工业生产,也就有了现代的社会；航天飞机, 宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果；数学一下子到了前台；数学在人类社会的其次次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了；名师归纳总结 初等数学与高等数学的根本区分：用初等数学工具解决实际问题经常只能在有限的范畴第 1 页,共 26 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 内孤立的来争论,有许多问题不能得到最终答案,甚至无法解决； 高等数学用运动的观点研究变量及其依靠关系,极限的方法是争论变量的一种基本方法,贯穿高等

4、数学的始终；用高等数学解决实际问题,运算往往比较简洁,且能获得最终的结果；学习高等数学应留意的方法：上课仔细听讲（最好能预习）,积极参加课堂争论、争论,课后准时复习；透彻懂得概念,娴熟把握重要定理、公式、运算法就,做适量练习；应用所 学学问解决实际问题；归纳总结,不断提高,建构起高等数学适应体系；第一节函数、其次节初等函数1.把握区间、邻域的概念；2.明白函数的概念,把握函数的表示方法,并会建立简洁应用问题的函数关系式；3.明白函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；4.懂得复合函数及分段函数的概念,明白反函数的概念；5.把握基本初等函数的性质及其图形；一邻域开区间U a , a,a,以 a 为

5、中心的邻域邻域a, , a a,以 a 为中心的去心U a , 二函数：定义 1（P3）yfx,yx,yyx, ,定义域,函数值,值域；函数的两个要素：对应法就、定义域；三分段函数名师归纳总结 1yfx 3x ,xx0x0称为“ 分界点”；y 值,都第 2 页,共 26 页45 x ,0,1x02符号函数ysgnx,0x01 ,x03取整函数y x,3.1=3 ,-3.1=-4 ；四反函数的定义：设有函数yfx,其定义域为 W ,假如对于 W 中的每一个可以从关系式yfx,确定唯独的 x 值（xD）与之对应,这样所确定的以y 为自- - - - - - -精选学习资料 - - - - - -

6、- - - 变量的函数xy 或xf1 y 叫做函数yfx的反函数, 它对定义域为 W ,值域为 D ；习惯上,函数的自变量都用x表示,氢反函数通常表示为yf1 x .五函数的几种特性1有界性：设yfx,定义域为D,xD,M0,恒有fx M；就称函数在 D 上有界；否就称函数在D 上无界；fx1,在 1,+,有界；在 0,1,无界；x2单调性：设yf x ,定义域为D,x 1, x 2D,当x 1x 2时fx 1fx 2,单调递增当x 1x 2时fx 1fx 2,单调递减单调递增与单调递减的函数统称为单调函数；3 奇偶性：fxfxx 偶函数xfxxfx 奇函数4周期性：xD,TD,fxTfD,1

7、x 为有理数例 1狄里克莱函数y；狄里克莱函数是周期函数,但它没有最,0x 为无理数小正周期；2符号函数y,1x0sgnx,0x03取整函数1 ,x0y x,3.1=3 ,-3.1=-4 ；六复合函数yfu,uxyfx例 3将以下函数“ 分解” 成“ 简洁” 的函数：ysin x2,ysin2x,yarctan ex七基本初等函数与初等函数：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、 常数函数yC 为常数2、 幂函数 y x 为实常数 3、 指数函数 y a x a 0 , a ,1 a 为常数 4、 对数函数 y l

8、og a x a 0 , a ,1 a 为常数 5、 三角函数 y sin x , y cos x , y tan x , y cot x , y sec x , y csc x6、 反三角函数：y arcsin x , y arccos x , y arctan x , y arc cot x初等函数：由基本初等函数经过有限次的四就运算及有限复合步骤所构成,并且可以用 一个式子表示的函数叫做初等函数；八双曲函数与反双曲函数ysinhxexex,ycoshxexex,22作业 P2021 习题2（3）、（4）、（6）；5；7；第四节数列的极限数列极限的定义名师归纳总结 数列的定义：数列实质上是

9、整标函数xnfn , n正整数集 N第 4 页,共 26 页（i）x n1：1,1 ,21 , ,31 , n0 ,1 n1 n 1（ii）x n11 n1：2,1 ,24 , , 1+ 3nn- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 确定xn11：要使x n1100；n名师归纳总结 要使xn110000；第 5 页,共 26 页要使xn11；（iii ）xn1n1：1,-1,1, , ,1 n1,不存在数列极限描述性定义（P27）：假如当 n 无限增大时,数列xn无限接近于一个确定的常数 a ,那么 a 就叫做数列nx的极限,或称数列x n收敛于 a,记作n

10、limxna或当n时,xna .数列极限定义：假如存在常数a ,使得对于任意给定的正数（无论它多么小） ,总存在正整数 N,只要 nN ,肯定值不等式xna恒成立,就称数列x 以常数 a为极限,记为lim nxn= a （或xna, n）；数列极限的分析 （N ）定义：设aR,0 ,N0,当nN时,xna恒成立,就将数列x 以常数 a 为极限,记为lim nxn= a （或xna, n）；例1证明数列 2,1 ,24 ,33 , ,4nn1n 1, 的极限是1；证：分析 令x =n1 n 1,记 a=1,要使xna=n1n11=1=1,取 N=1；n- - - - - - -精选学习资料 -

11、- - - - - - - - 证 明 0 ,N1, 当nN时 , 恒 有n1n11, 故nl i m nnn1n1=1；s in n2,证明：lim nxn0；1n111 ,要使 nxnnaN 时,sinn2证明 ,0n1n1qn例3设q1,证明数列： 1, q ,2 q , , ,qn1, , 的极限是0；,只 要证：分析 令xn=qn1,要使xnaqn1,记 a=0,由于qn10=qn11,只要n1lnqln,只要n-1lnq,只要nlnq1,取 N=lnq1；lnlnln 证明 0 ,Nlnq1,当 nN 时,恒有qn10,故lim nqn1=0（当q1ln时）；名师归纳总结 例 4

12、数列 x 有界,又lim nynxn0,证明lim nx nyn=0；xnM0,N0,当第 6 页,共 26 页证：M0,对一切n 均有M,又0 ,对于1nN 时,恒有x nyn0,x ny nMy nM1,所以lim nyn=0；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 收敛数列的性质 性质 1（有界性）收敛数列肯定有界；注：有界数列不不肯定收敛；性质 2（唯独性）假如数列收敛,那么它的极限是唯独的；数列极限的运算法就假如nlimxna,nlimynb,那么aba 1q（1）lim nxnynlim nxn+nlimynb（2）lim nxnynlim nx

13、 nnlimyna（3）lim nxnlim nxnab0ynlim nynb1特殊地,假如C 为常数,那么由（2）得lim nCxnnlimCnlimxnCa无穷递缩等比数列的和（P30）Sa1a 1qa1q2a1qn1化循环小数为分数 例（ P29 例 3）作业 P32 第 2 题（ 1）、（3）、（ 6）、（8）；第 3 题（ 3）、（4）；第 4 题（ 2）第五节 函数的极限一、函数在当x时极限名师归纳总结 函数极限的描述性定义：设函数fx当| x |a 时有定义（ a 为某个常数） ,假如当自第 7 页,共 26 页变量 x 的肯定值无限增大（记作x）时,函数f x 无限接近于某确定

14、的常数A ,就称 A 为函数fx当 x时的极限,记作- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - lim nfxA或当 x时,fxA函数在当 xx 时（X ）定义：f0 ,X0,当xX时,fx a恒成立,lim xfA留意：xXxX或xXx 1 .x limfx 存在lim xfxafx 存在2 .x limfx lim x3 .lim x二、函数在有限点处的极限引例：fx x21,当x1时,fx x1,x1时,ffx2,x1lim x 1fx 2x a争论：fx在点0x 的某个去心邻域内有定义,当x0x时,定义：假如存在常数a,使得对于任意给定的正数（不论它多么

15、小）,总存在正数名师归纳总结 当0xx 0时,fx a恒成立,记x lim x 0fx a；lim x 0sinx0；第 8 页,共 26 页0 ,0 ,当0xx0时,fxa恒成立；例1证明以下极限： （1）x lim x 0CC；（2）x lim x 0xx0；（3）证：（1）分析 这里fx aCC0,0 恒成立- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证明 0 ,任取一个正数,当0xx 0时,CC0恒成立,证之；名师归纳总结 ln1（2）分析 由于fx axx0,只要x0x,取第 9 页,共 26 页证明 0 ,当0xx 0时,xx0恒成立,故x lim

16、x 0xx 0（ 3 ） 分 析 由 于fx as i n x0s i n x, 要 使xx 0, 只 要s i n x,只要arcsinxarcsin,即0x0arcsin,取arcsin证明 0 ,arcsin,当0x,sin x0恒成立,故lim x 0sinx0例2证明lim x11x4x22；212证： 分析 x1,x1,2x1022由于fx a=142 x4x2= 2x12=2x12x12x1要使fx a,只要2x1,即2 x1,只要x12,取222证明 0 ,2,当0x1时,14x22恒成立,证之；22x1例3证明lim x 0ex1；证： 分析 由于fxaex1,要使ex1,只

17、要1ex1,只要xln1,即ln1x0ln1,取minln1,ln1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证明 0 ,minln1,ln 1,当0x0时,ex1恒成立,证之；左极限xlim x 00fxlim x x 0fxfx002的极限右极限xlim x 00fx00fx lim x x 0fx极限存在当xx,x1 .左极限存在2. 右极限存在3. 左极限右极限例42时,争论fxex,x2三、极限的性质lim n x nlim x f x 具有四个性质,下面证其中一种极限性质,余可类似证明之；x lim x 0 f x 性质 1极限的 唯独性 ：假如x

18、 limx 0 f x 存在,就极限唯独；证：反证法；名师归纳总结 设x lim x 0fx a,x lim x 0fxb,且ba；1时,有fx ab2a；第 10 页,共 26 页ba0,10,当0xx02ba0,20,当0xx02时,有f x bb2a；2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 取min1,2,上面两式均成立,由baf x af x bf af bb2ab2aba冲突！函数性质 2有极限函数的局部有界性：假如lim x x 0fx存在, 就在点0x 的某个去心邻域内,0 ,（对于fx有界；证：令lim x x 0fx=a ,由定义,=1）

19、,0 ,当xUx 0,fx a,f x f x aaf x aaa ；推论：收敛数列必有界；无界数列必发散；性质 3有极限函数的保号性：假如lim x x0fxa且a0（或a0）,就在点x 的某个去心邻域内,函数fx0（或fx 0）；Ux,时 ,fx a,证 ： 不 妨 令a0, 取a,0 , 当x2afxa,fxaaaa0；是函数fx的定义域中的这22性质 4函数极限的归并性：设lim x x 0fxxn存在,又设名师归纳总结 样一个数列,它满意：xnx 0（n=1,2, , ）,且lim nfxnx lim x 0fx ；第 11 页,共 26 页证：设lim x x0fxa,0,0 ,当

20、xU x 0, ,恒有fx a,即f x U a , ；,故知数列x n只有有限多项在U a , 之外,依据数列极限的定义由于lim nxnx0得lim nfxnalim x x 0fx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例1数列1n1是发散的；为什么？从概念可得出；例2证明当x0时,sinx没有极限；,xn10,lim nsinxn0n证：取两个收敛于0 的数列：xn2110 ,lim nsinxn1n2极限不存在lim x x0fx 不存在lim x xfx 0例3对于数列nx,如x k1a k,x ka k证明xnan证：0 ,N 10,当2 k1

21、2 N 11时,x k 1a0 ,N20,当2k2N2时,x ka0,Nmax2 N1,12N2,当nN时,恒有xna,即nlimxna作业： P38 T1（1）、92）（ 3）、（7）、（8）； T5；第六节函数极限的运算法就、两个重要极限一、函数极限的四就运算法就名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 定理 1：设limfx A,limgx B；就（1）limfxgxfABBlimfxlimgx；（2）limfxgxAlimfxlimgx；（3）当b0时,limxAlimfx；gxBlimgx推论 1、常数因子可以

22、提到极限符号外面去,即limCfxClimfx. 为 自 然 数推论 2 假如limfx存在,就limfxkx klimf注：上述法就对于x时的情形也是成立的；例 1求以下极限：（1）x lim4 xx4；（ 2）lim x 1x22x342165x例 2求以下极限：名师归纳总结 （1）lim x3x34x21第 13 页,共 26 页7x3x23 x（2）lim x3x24x217x3x23 x（3）lim x3 x34x27x23x1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3设a0,求lim x a33x3a；xa解：33x3ax3x33a3xa23

23、x3xa33a3xa2a2a2axa03x23ax3xa332x23ax二、极限存在准就准就、假如数列xn、ny、z n满意以下条件：（1）、（2）那么数列xn的极限存在,且lim nxna.准就、单调有界数列必有极限；名师归纳总结 第一个重要极限：lim x 0sinx1 .第 14 页,共 26 页xx例1求以下极限：（1）lim x 0tanxx（2）lim x 01cosxlim x 02sin22x2x2（3）lim x 0sinmxsinlx例2求lim x 0arcsinxx其次个重要极限：lim x11xex- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -

24、 - 例3求以下极限：（1）lim x 0 tanx x2 x（2）limx 0 1x cos2 x limx 0 2 sinx 2 2（3）lim x 0 sinsin mxlx例4求 lim x 0 arcsinx x作业： P43 T1（1）、（3）、（5）、（7）；T2（2）（4）、（ 6）；T（1）、（ 2）；第七节、无穷小与无穷大一、无穷小1、无穷小的定义定义：以 0 为极限的函数（变量） ,称为无穷小量；定理： 在自变量同一变化过程中,函数 fx有极限 A 的充分必要条件是fx Ax,其中 x 是无穷小量；2、无穷小的性质性质 1、有限个无穷小量之和是无穷小量；名师归纳总结 证：

25、（1）设lim x x 0 0,lim x x 0x0 2第 15 页,共 26 页0,0,当0xx 01时,1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 0,20,当0xx 02时,x 2取min1,2,当 0xx0时, 22性质 2、有限个无穷小的乘积仍为无穷小；性质 3、有界函数与无穷小量之积是无穷小量；推论：常数与无穷小量之积是无穷小量；例 1求lim x 0xsin1；x二、无穷大1、无穷大的定义定义2、假如当xx 0x时,函数fx的肯定值无限增大,那么称ffx为当xx 0x时的无穷大量,简称无穷大,记为xM,x lim x 0fxlim xfx定义

26、2、M0（不论它多么大） ,0 ,当0xx 0时,恒有认为x lim x 0fx2、无穷大与无穷小的关系定理：在自变量的同一变化过程中,1（1）如fx是无穷大量,就f1是无穷小量；反x之（ 2）如fx是无穷小量,就f是无穷大量；x三、无穷小的比较名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 引入lim x 0x20,lim x 02x3,lim x 02x22,lim x 0sinx12xx23x23x定义：在自变量同一变化过程中,假如,均为无穷小量,如1lim 0,称 是比 高阶的无穷小量,记为 ；2 lim,称是比低阶的

27、无穷小量；3limC（C0）,称与是同阶无穷小量；4特殊地当C=1 时,即lim1,称与是等价无穷小量,记为例 1lim x 0tanxx3sinxlim x 0tanx 13cosxlim x 0tanx1cosx1x2xx2lim x 01cosx1,称1cosx是 x 的二阶无穷小；x22四、等价无穷小量的性质性质 1、与是等价无穷小的充分必要条件为,.lima,就lima性质 2、设,是无穷小量, 且,假如1证：limlim1lim1lim；例 2求以下极限名师归纳总结 （1）lim x 0sin5x第 17 页,共 26 页tan3 x- - - - - - -精选学习资料 - -

28、- - - - - - - （2）lim x 0x1 sinxarcsinx（3）lim x 0ln1x lim x 0ln1x 1lne1x;x（2）xtanx ;xx（4）lim x 0exx1（5）lim sinx 0 sinx55x（6）lim x 0arcsinx/xsinx/x常见的等价无穷小有：当x0时,（1）xsin（3）xarctanx ;（4）1cosx1x2；（5）n11x；2n作业： P51 T2（1）、（2）、（5）、（8）；T3 第八节函数的连续性一、函数的连续性1、函数的转变定义 1、假如变量 u 从初值u 谈到u ,那么终值与初值的差u2u 1叫做变量 u 的转变量（或增量）,记作u ,即u =u2u 1；转变量u 可以是正的,也可以是负的；2、 函数的连续性名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 定义 2