2022年完整word版,数值计算方法试题及答案.docx

《2022年完整word版,数值计算方法试题及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年完整word版,数值计算方法试题及答案.docx（40页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 数值试题数值运算方法试题一一、填空题（每空 1 分,共 17 分）1、假如用二分法求方程 x 3x 4 0 在区间 ,1 2 内的根精确到三位小数,需对分（）次；22、 迭 代 格 式 x k 1 x k x k 2 局 部 收 敛 的 充 分 条 件是 取 值 在（）；3x 0 x 1S x 1 3 2 x 1 a x 1 b x 1 c 1 x 33、已知 2 是三次样条函数,就a = ,b =（）,c=（）；4、l 0 x , l 1 x , , l n x 是以整数点 x 0 , x 1 , , nx 为节点的 Lagrange 插值基

2、函数,就n nl kx x k l j x k k 0 ,k 0 ,当 n 2 时n4 2 x k x k 3 l k x k 0 ；5、设 f x 6 x 72 x 43 x 21 和节点 xk k / 2 , k 0 ,1, ,2 , 就 f x 0 , x 1 , , nx 和 7 f 0；6、5 个节点的牛顿 -柯特斯求积公式的代数精度为,5 个节点的求积公式最高代数精度为；7、k x k 0 是区间 1,0 上权函数 x x 的最高项系数为 1 的正交多项1式族,其中 0x 1,就 0 x 4 x dx；x 1 ax 2 b 18、给定方程组 ax 1 x 2 b 2,a 为实数,当

3、a 满意,且0 2 时,SOR 迭代法收敛；y f x y , 9、解 初 值 问 题 y x 0 y 0 的 改 进 欧 拉 法 0 y n 1 y n hf x n , y n h 0 y n 1 y n f x n , y n f x n 1 , y n 1 2 是阶方法；10、设A10a,当 a（）时,必有分解式AT LL,01aaa11 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数值试题其中 L 为下三角阵,当其对角线元素l iii,1,23 满意（）条件时,这种分解是唯独的；二、二、挑选题（每题 2 分） k

4、1 k 1、解方程组 Ax b 的简洁迭代格式 x Bx g 收敛的充要条件是（）；（1） A 1 , 2 B 1 , 3 A 1 , 4 B 1b n n 2、在牛顿 -柯特斯求积公式：a f x dx b a i 0 C i f x i 中,当系数 C i n 是负值时,公式的稳固性不能保证,所以实际应用中,当（）时的牛顿 -柯特斯求积公式不使用；（1）n8,（2）n7,（3）n10,（4）n6,3、有以下数表x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 fx -2 -1.75 -1 0.25 2 4.25 所确定的插值多项式的次数是（）；（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次h hy

5、n 1 y n hf x n , y n f x n , y n 4、如用二阶中点公式 2 4 求解初值问题y 2 y , y 0 1,试问为保证该公式肯定稳固,步长 h的取值范畴为（）；1 0 h 2 , 2 0 h 2 , 3 0 h 2 , 4 0 h 22三、1、（8 分）用最小二乘法求形如 y a bx 的体会公式拟合以下数据：2、（15 分）用ix819 25 30 38 1exdxiy19.0 32.3 49.0 73.3 n的复化梯形公式（或复化Simpson公式）运算0时,1 1 试用余项估量其误差；（2）用n8的复化梯形公式（或复化Simpson 公式）运算出该积分的近似值

6、；四、1、（15 分）方程x33x10在x1 . 5邻近有根,把方程写成三种1不同的等价形式 （1）xx1对应迭代格式xn13x n1；2x1x2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数值试题1对应迭代格式 x n 1 1x n；（3）x x 31 对应迭代格式 x n 1 x n 31；判断迭代格式在 x 0 1 5. 的收敛性,选一种收敛格式运算 x 1 5. 邻近的根,精确到小数点后第三位；选一种迭代格式建立 Steffensen迭代法,并进行运算与前一种结果比较,说明是否有加速成效；2、（8 分）已知方程组

7、AX f,其中4 3 24A 3 4 1 f 301 4,24（1）（1）列出 Jacobi迭代法和 Gauss-Seidel迭代法的重量形式；（2）（2）求出 Jacobi迭代矩阵的谱半径,写出 SOR 迭代法；dy y 1dx五、1、（15 分）取步长 h 0 1.,求解初值问题 y 0 1 用改进的欧拉法求 y 0 1. 的值；用经典的四阶龙格库塔法求 y 0 . 1 的值；2、（8 分）求一次数不高于 4 次的多项式 p x 使它满意p x 0 f x 0 , p x 1 f x 1 , p x 0 f x 0 , p x 1 f x 1 , p x 2 f x 2 六、（以下 2 题

8、任选一题, 4 分）1、1、 数值积分公式形如10 xf x dx S x Af 0 Bf 1 C f 0 D f 1（1）（1）试确定参数 A , B , C , D 使公式代数精度尽量高； （2）1设 f x C 4 0 1,推导余项公式 R x 0 xf x dx S x ,并估量误差；2、2、 用二步法x n,yn 1xfxn1,yn10,1,使方yn10yn1yn1h f求解常微分方程的初值问题yf,y 时,如何挑选参数yx 0y0法阶数尽可能高,并求局部截断误差主项,此时该方法是几阶的；数值运算方法试题二一、判定题：（共 16 分,每道题分）、如 A是 n n 阶非奇特阵,就必存在

9、单位下三角阵 L 和上三角阵U ,使 A LU 唯独成立；（）、当 n 8 时, Newtoncotes 型求积公式会产生数值不稳固性；3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数值试题（）b na f x dx A i f x i 3、形如 i 1 的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次数为 2n 1； （）2 1 0A 1 1 1、矩阵 0 1 2 的范数 A 2；（）2 a a 0A 0 a 05、设 0 0 a,就对任意实数 a 0,方程组 Ax b 都是病态的；（用）（）6、设 A R n n,

10、Q R n n,且有 QT Q I（单位阵）,就有 A 2 QA 2；（）7、区间 a, b 上关于权函数 W x 的直交多项式是存在的,且唯独；（）8、对矩阵 A 作如下的 Doolittle 分解：A223100223,就a, 的值分别为 a2,b2；4772100b12451a1006（）二、填空题：（共 20 分,每道题 2 分）8 4 21、设 f x 9 x 3 x 21 x 10,就均差0 1 8 0 1 9f 2 2, , , 2 _,f 3 3, , , 3 _；2、设函数 f x 于区间 a, b 上有足够阶连续导数,p a , b 为 f x 的一个m重零点, Newto

11、n 迭代公式 x k 1 x k mf f xx kk 的收敛阶至少是 _阶； 、 区 间a,b上 的 三 次 样 条 插 值 函 数Sx在a,b上 具 有 直 到_阶的连续导数；4、向量X ,12T,矩阵A72fx 1具有最高的代31,就_；AX1_,cond A 5、为使两点的数值求积公式：1fx dxfx014 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数值试题数精确度,就其求积基点应为 x 1 _, 2 x _；6、设 A R n n,AT A,就 A （谱半径） _ A 2；（此处填小于、大于、等于）1 07、设

12、 A 214 12,就 limk A k_；三、简答题：（9 分）1、1、 方程 x 4 2 x在区间 ,1 2 内有唯独根 x ,如用迭代公式：x k 1 ln 4 x k / ln 2 k 0 ,1, 2 , ,就其产生的序列 x k 是否收敛于*x ？说明理由；2、2、 使用高斯消去法解线性代数方程组, 一般为什么要用选主；元的技术？3、3、 设x0 . 001,试挑选较好的算法运算函数值fx1cosxx2四、（10 分）已知数值积分公式为：hfxdxhf0fh h2f0 fh ,试确定积分公式中的参02数,使其代数精确度尽量高,并指出其代数精确度的次数；五、（8 分）已知求aa0的迭代

13、公式为：xk11xkax00k0 2,1,2xk证明：对一切k2,1 ,x ka,且序列xk是单调递减的,从而迭代过程收敛；六、（9 分）数值求积公式3fxdx3f 1 f2是否为插值型求积公02式？为什么？其代数精度是多少？七、（9 分）设线性代数方程组AXb中系数矩阵 A非奇特, X 为精确解,b0,如向量 X 是AXb的一个近似解,残向量rbA X,X XA r（假定所用矩阵范数与向量范数证明估量式：Xcondb相容）；八、10 分设函数 f x 在区间 0 3, 上具有四阶连续导数,试求满意以下插值条件的一个次数不超过 3 的插值多项式 H x ,并导出其余项；5 名师归纳总结 - -

14、 - - - - -第 5 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数值试题i 0 1 2 ix 0 1 2 f ix -1 1 3 f ix 3 九、9 分设 n x 是区间 a , b 上关于权函数 w x 的直交多项式序列,xi i ,1 2 , , n , n 1 为 n 1x 的零点,li x i 1 2, , , n , n 1 是以 ix为基点的拉格朗日 Lagrange插值基b n 1函数,a f x w x dxk 1 A k f x k 为高斯型求积公式,证明：n 1A i k x i j x i 0（1）（1）当 0 k , j n , k j

15、时,i 1b（2）a l k x l j x w x dx 0 k j n 1 b 2 ba l k x w x dx a w x dx（3）k 1十、（选做题 8 分）如ifx ,1,n1xxx 0xx 0x 1,xpxn,pn1；xi0,n 互异,求f,x1,x的值,其中数值运算方法试题三一、（24 分）填空题11 2 分转变函数f x1x x1的形式,使计算结果较精确；22 2 分如用二分法求方程fx0在区间 1,2内的根,要3求精确到第 3 位小数,就需要对分f x次；3 2 分设fx2 x 1x2,就2x 1x 26 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 22 页精

16、选学习资料 - - - - - - - - - 数值试题44 3 分设Sx2x3,0x1c ,1x2是 3 次样条函数,x3ax 2bx就5a= , b= , c= ；x 21x edx,要求误差不超过5 3 分如用复化梯形公式运算0个求积节点；106,利用余项公式估量,至少用6x 11 6.16 6 分写出求解方程组0 . 4x 1x 22的 Gauss-Seidel迭代公式7,迭y代y矩1阵为,此迭代法是否收敛；7 4分 设A54, 就A4310y ,0,CondA；88 2 分如用 Euler 法求解初值问题,为保证算法的肯定稳固,就步长 二. 64 分h 的取值范畴为11 6 分写出求

17、方程4 xcosx1 在区间 0,1的根的收敛的迭代公式,并证明其收敛性；22 12 分以 100,121,144为插值节点,用插值法运算115 的近似值,并利用余项估量误差；33 10 分求fxex在区间 0,1上的 1 次正确平方靠近多项7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数值试题式；44 10 分用复化 Simpson 公式运算积分I1sinxdx的近0x5似值,要求误差限为05.105；5 10 分用 Gauss列主元消去法解方程组：x 14x22x 3243x 1x25x 3342x 16x2x 327

18、6 8 分求方程组13x 15的最小二乘解；6122x211177 8 分已知常微分方程的初值问题：dydxxy,1x1 . 2y 12用改进的 Euler 方法运算y . 12 的近似值,取步长h.02；三12 分,在以下 5 个题中至多项做 3 个题11 6 分求一次数不超过 4 次的多项式 px满意：并求2p115,p120,p130,p257,p2722 6 分构造代数精度最高的如下形式的求积公式,出其代数精度：31xfxdxA0f1A 1f1A101的模最大的特点值及其023 6 分用幂法求矩阵11相应的单位特点向量, 迭代至特点值的相邻两次的近似值的距离小于 0.05,取特点向量的

19、初始近似值为,10T；8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数值试题44 6 分推导求解常微分方程初值问题i, xiaih, yxfx ,yx,axb,yay0的形式为yi1yih0fi1fi1,i=1,2, ,N 的 公 式 , 使 其 精 度 尽 量 高 , 其 中fifxi,yi=0,1, ,N, h b a N5 5 6 分求出用差分方法求解常微分方程的边值问题y p x y q x y r x ,0 a x by a ,0 y b 0 所得到的三对角线性方程组；数值运算方法试题三一、（24 分）填空题91

20、 2 分转变函数f x1x x1的形式,使计算结果较精确；10 2 2 分如用二分法求方程fx0在区间 1,2内的根,要求精确到第 3 位小数,就需要对分x次；11 3 2 分设fx2 x 1x2,就f 2x 1x 212 4 3 分设Sx2x3,0x1c ,x32 axbx1x2是 3 次样条函数,就a= , b= , c= ；9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数值试题13 5 3 分如用复化梯形公式运算x 21e xdx,要求误差不超过0个求积节点；106,利用余项公式估量,至少用x 11 6.114 6

21、6 分写出求解方程组0 . 4x 1x 22的 Gauss-Seidel迭代公式,迭y代y矩1阵为,此迭代法是否收敛；15 7 4分 设A54, 就A4310y ,0,CondA；16 8 2 分如用 Euler 法求解初值问题,为保证算法的肯定稳固,就步长 二. 64 分h 的取值范畴为81 6 分写出求方程4 xcosx1 在区间 0,1的根的收敛的迭代公式,并证明其收敛性；92 12 分以 100,121,144为插值节点,用插值法运算115 的近似值,并利用余项估量误差；10 3 10 分求fxex在区间 0,1上的 1 次正确平方靠近多项式；11 4 10 分用复化 Simpson

22、公式运算积分I1sinxdx的近0x似值,要求误差限为05.105；10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数值试题12 5 10 分用 Gauss列主元消去法解方程组：x 14x22x 32413x 15的最小二乘解；3x 1x25x 3342x 16x2x 32713 6 8 分求方程组122x211114 7 8 分已知常微分方程的初值问题：dydxxy,1x1 . 2h.02；y 12用改进的 Euler 方法运算y . 12 的近似值,取步长三12 分,在以下 5 个题中至多项做 3 个题61 6 分求

23、一次数不超过 4 次的多项式 px满意：并求7p115,p120,p130,p257,p2722 6 分构造代数精度最高的如下形式的求积公式,出其代数精度：81xfxdxA0f1A 1f1A101的模最大的特点值及其023 6 分用幂法求矩阵11相应的单位特点向量, 迭代至特点值的相邻两次的近似值的距9离小于 0.05,取特点向量的初始近似值为,10T；, xiaih, 4 6 分推导求解常微分方程初值问题yxfx ,yx,axb,yay0的形式为yi1yih0fi1fi1,i=1,2, ,N 的 公 式 , 使 其 精 度 尽 量 高 , 其 中fifxi,yi11 名师归纳总结 - - -

24、 - - - -第 11 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数值试题i=0,1, ,N, hbaN10 5 6 分求出用差分方法求解常微分方程的边值问题yapxyqxyrx,0axb所得到的三对角线性方程y,0yb0组；数值运算方法试题一答案一、一、填空题（每空 1 分,共 17 分） 2 0, 0 , 2 1、（ 10 ）2、（2 2）3、a = 3 ,b =（ 3 ）,c=（ 1 ）4、 1 、 x j 、 x 4 x 2 3 5、6 、72 .7 6 9454 236 . 256、9 2 27、0 8、a 1 9、2 10、（2 ,2）、（iil 0）二、

25、二、挑选题（每题 2 分）1、（2）2、（1）3、（1）4、（3）2三、1、（8 分）解：span ,1 x T 1 1 1 1A19 225 231 238 2y T19 . 0 32 . 3 49 . 0 73 3.T T解方程组 A AC A yT 4 3391 T 173 6.A A A y其中 3391 3529603 179980 . 70 . 9255577C解得：0 . 0501025 所以 a .0 9255577,b .0 0501025b a 2 1 1 0 1RT f h f 2 e 0 . 0013022、（15 分）解：12 12 8 768h 7T 8 f a 2

26、 f x k f b 2 k 11 1 2 0 . 8824969 0 . 7788008 0 . 60653066160 . 5352614 0 . 47236655 0 . 41686207 0 . 36787947 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数值试题0 . 63294342四、1、（15 分）解：（1） x 13 x 1）3,（1 ）.0 18 1,故收敛；1 x （2）2 x 21 1x,（1 ）0 . 17 1,故收敛；（3） x 3 x 2,（1 . 5）3 .1 5 21,故发散；挑选

27、（ 1）：x 0 1 . 5,1x 1 . 3572,x 2 .1 3309,x 3 1 . 3259,x 4 .1 3249,x 5 1 . 32476,6x 1 . 324722x k 1 x k x k x k Steffensen迭代： x k 2 x k x k 3 x k 1 x k 2x k3 3 x k 1 1 2 3 x k 1 1运算结果：x 0 1 . 5,x 1 .1 324899,x 2 .1 324718 有加速成效；x 1 k 1 1 24 3 x 2 k 4x 2 k 1 1 30 3 x 1 k x 3 k 4 k 1 1 k x 3 24 x 2 42、（8

28、 分）解： Jacobi迭代法：k 0 ,1, 2 3, , k 1 1 k x 1 24 3 x 2 4 k 1 1 k 1 k x 2 30 3 x 1 x 3 4 k 1 1 k 1 x 3 24 x 2 4Gauss-Seidel迭代法：k ,1,0 2 3, ,0 34 0BJ D 1 L U 0 343 04 30 4, B J 58 或 104 0 . 790569 k 1 k k x 1 1 x 1 24 3 x 2 4 k 1 k k 1 k x 2 1 x 2 30 3 x 1 x 3 4 k 1 k k 1 x 3 1 x 3 24 x 2 4SOR 迭代法：k 0 ,1

29、, 2 ,3,五、1、（15 分）解：改进的欧拉法：13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数值试题yn1yn 0y nh2 1fynyhfxn,yny0 .9yn0.01.yn0 .095xn,nfxn1,0905n1所以y 0 . 11y1；经典的四阶龙格 库塔法：y n1ynk 1hk 12 k22 k3k 4k23k3k4x i0,所以y 0 1. 1y1；6f x nh ,2h ,2,ynk 2fxnynhk 12 hk 3fx nynk22k4fx nh ,y nhk 3k 12、（8 分）解：设H3x 为满意条件HH3x ifxix ifi1,0的 Hermite插值多项式,就pxH3xkxx02xx 12代入条件p x 2fx2得：kxfx22H3x 222x0x2x1x i1,0其中六、（以下 2 题任选一题, 4 分）1、解：将 f x ,1 x , x 2 , x 3分布代入公式得：A3,B7,B1,D120203020H3x if构造 Hermite 插值多项式H3x满意H3x ifx ii2x1 2x 00 ,x 11就有：1xH3x dxS x,fx H3xf4x0.4Rx1x fxS