2022年高考数学-基本不等式.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学基本不等式的巧用一基本不等式1.（1）如a,bR,就a2b22ab 2如a,bR,就aba22b2（当且仅当ab时取“ =” ）2. 1如a,b* R,就a2bab 2如a,bR*,就ab2ab（当且仅当ab时取“=” ）3 如a,bR*,就aba2b2 当且仅当ab时取“=” ）1时取“=” ）3. 如x0,就x12 当且仅当x1时取“=” ）; 如x0,就x12 当且仅当xxx如x0,就x12 即x12或x1-2 当且仅当ab时取“=” ）xxx3. 如ab0,就ab2 当且仅当ab时取“=” ）ba如ab0,就ab2 即ab2 或

2、ab-2 当且仅当ab时取“=” ）bababa4. 如a,bR,就a2b2a22b2（当且仅当ab时取“=” ）注：（ 1）当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“ 积定和最小,和定积最大”（2）求最值的条件“ 一正,二定,三取等”3 均值定理在求最值、比较大小、 求变量的取值范畴、证明不等式、 解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值 例 1：求以下函数的值域（1）y 3x 21 2（2）yx16 ,+）1x = 2 2xx解：（ 1）y3x 2 1 2 23x 21 2 2x6 值域为 2x（ 2）当 x0 时, yx1

3、 x2x12；x当 x0 时,yx1 x = （x1 x） 2x值域为（,2 2 ,+）解题技巧：技巧一：凑项例 1：已知x5,求函数y4x215的最大值；15不是常数, 所以对 4x2要进行拆、 凑项,44 x解：因 4x5,所以第一要 “ 调整”符号, 又4x2g 40xQx5 , 454x0,y4x241554x51x3231x4当且仅当54x51x,即x1时,上式等号成立,故当x1时,ymax1；41 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 评注：此题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值；技巧二：凑系数

4、例 1. 当 时,求 y x 8 2 x 的最大值；解析：由 知,利用基本不等式求最值,必需和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式, 但其和不是定值；留意到 2 x 8 2 8 为定值, 故只需将 y x 8 2 x 凑上一个系数即可；当,即 x2 时取等号 当 x2 时,y x 8 2 x 的最大值为 8；评注： 此题无法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,2从而可利用基本不等式求最大值；变式：设0x3,求函数y4x 32x 的最大值；2x32x292解：0x332 x0y4x 32x 22x 32x222当且仅当2x32x ,即x303 2时等号成立；4技巧三 ： 分别2

5、例 3. 求 y x 7 x 10 x 1 的值域；x 1解析一：此题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有（x1）的项,再将其分别；当, 即时,y2（x1x4159（当且仅当x1 时取“ ” 号）；技巧四 ：换元 解析二：此题看似无法运用基本不等式,可先换元,令yt2 17t1 +10=t25 t4t45tttt =x1,化简原式在分别求最值；当, 即 t =时,y2t459（当 t =2 即 x1 时取“ ” 号）；t评注：分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值；即化为 y mg x AB A 0, B 0,g x 恒正或恒负的形式

6、, 然后运用基本不等式来求最值；g x 技巧五：留意：在应用最值定理求最值时,如遇等号取不到的情形,应结合函数 f x x a的单调性；x2例：求函数 y x2 5 的值域；x 4解：令 x 24 t t 2,就 y xx 22 54 x 24x 2 14 t 1t t 2因 t 0, t 11,但 t 1解得 t 1 不在区间 2,故等号不成立,考虑单调性；t t由于 y t 1 在区间 1, 单调递增,所以在其子区间 2, 为单调递增函数,故 y 5；t 22 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以,所求函数的值

7、域为5 , 2；练习求以下函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值 . （ 1）y x 23 x 1, x 0（2）y 2 x 1 , x 3 3 y 2sin x 1, x 0, x x 3 sin x2已知 0 x 1,求函数 y x 1 x 的最大值 . ；30 x 2,求函数 y x 2 3 x 的最大值 . 3条件求最值a b1. 如实数满意 a b 2,就 3 3 的最小值是 . 分析：“ 和” 到“ 积” 是一个缩小的过程,而且 3 a 3 b定值,因此考虑利用均值定理求最小值,a b a b a b a b解：3 和 3 都是正数,3 32 3 3 2 3 6当 3 a3 b时

8、等号成立,由 a b 2 及 3 a3 b得 a b 1 即当 a b 1 时,3 a3 b的最小值是 6变式：如 log 4 x log 4 y 2,求1 1的最小值 . 并求 x, y 的值x y技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时,要留意取等号的条件的一样性,否就就会出错；2：已知 x 0, y 0,且1 91,求 x y 的最小值；x y错解：Q x 0, y 0,且1x 9y 1,x y 1x 9y x y 2xy 9 2 xy 12 故 x y min 12；错因：解法中两次连用基本不等式,在 x y 2 xy 等号成立条件是 x y ,在1 9 2 9 等号成立x y xy

9、条件是1 9即 y 9 x , 取等号的条件的不一样,产生错误；因此,在利用基本不等式处理问题时,列出x y等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法；正解 ：Qx0,y0,191,xyxy19y9x10610x16min16；xyxyxy当且仅当y9x时,上式等号成立,又191,可得x4,y12时,yxyxy变式：（1）如x,yR且2xy1,求11的最小值xy2 已知a,b,x ,yR且ab1,求xy的最小值xy技巧七、已知x, y 为正实数,且 2 x 2 y 21,求 x1y2 的最大值 . 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资

10、料 - - - - - - - - - 分析：因条件和结论分别是二次和一次,故采纳公式aba 2 b2 2；同时仍应化简1y2 中 y 2 前面的系数为1 2,x1y2 x2 2 1y22 x 2 2y 23下面将 x, 2 2y 2分别看成两个因式： 2 y 213 4即 x1 y2 2 x 2 2y 2x 2 1 2 2 y2 2xx 2 2y 2222242 1技巧八：已知 a, b 为正实数, 2b aba 30,求函数 yab的最小值 . 分析：这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对此题来说,这种途径是可行的；二是

11、直接用基本 不等式,对此题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行；法一： a302b,ab302b b2 b230bb1b1b1由 a 0 得, 0b15 2t 234t 31 16 16 16令 t b+1,1t 16,abt 2（t t） 34t t 2 t t8 1 ab18 y18当且仅当 t 4,即 b3,a6 时,等号成立；法二：由已知得：30aba2b a2b2 2 ab 30 ab2 2 ab令 uab 就 u 22 2 u300, 5 2 u3 2 1ab3 2 ,ab18, y18点评： 此题考查

12、不等式 a b ab（a, b R）的应用、 不等式的解法及运算才能；如何由已知不等2式 ab a 2 b 30（a, b R）动身求得 ab 的范畴, 关键是查找到 a b 与 ab 之间的关系, 由此想到不等式 a b ab（a, b R）,这样将已知条件转换为含 ab的不等式,进而解得 ab 的范畴 . 2变式： 1. 已知 a0,b0, ab ab1,求 ab 的最小值；2. 如直角三角形周长为 1,求它的面积最大值；技巧九、取平方5、已知 x, y 为正实数, 3x 2y10,求函数 W3x 2y 的最值 . 解法一：如利用算术平均与平方平均之间的不等关系,aba 2 b,此题很简洁

13、 22 23x 2y2 （3x ）2（2y ）2 2 3x2y 2 5 解法二：条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向“ 和为定值” 条件靠拢；W0,W 23x2y23x 2y 1023x 2y 10 3x 22y 2 10 3 x2y 20 W20 25 2 1x5 2的最大值；变式 : 求函数y2x1524 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解析：留意到 2x1 与 52x 的和为定值；y22x152 242 2x152 42x152 8又y0,所以 0y22当且仅当 2

14、x1=52x ,即x3时取等号；故y max2 2；2评注：此题将解析式两边平方构造出“ 和为定值” ,为利用基本不等式制造了条件；总之,我们利用基本不等式求最值时,肯定要留意“ 一正二定三相等” ,同时仍要留意一些变形技巧,积极制造条件利用基本不等式；应用二：利用基本不等式证明不等式1已知a,b,c为两两不相等的实数,求证：a2b2c2abbcca1）正数 a, b,c 满意 a bc1,求证： 1 a1 b1 c 8abc例 6：已知 a、b、cR ,且abc1；求证：111111812ac2” 连乘,又；abc分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“111

15、aabac2bc,可由此变形入手；aa,1 c12ab解： Q a、b、cR ,abc1；111aabac2bc；同理1 baabc上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得1111112bc2 gac2 gab8；当且仅当abc1时取等号；3abcabc应用三：基本不等式与恒成立问题例：已知xx0,y30且1 x91,求使不等式xxyym恒成立的实数m 的取值范畴；1y解：令yk x0,y0,191,kx9x9y1.10y9xxykykkxky110 k2；k16,m,16k应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：如ab1 ,Plgalgb,Q1lgalgb ,Rlga2b,就P,Q,R的大小关系是 . 2分析：ab1lga0,lgb0RQP；Q1（lgalgb lgalgbp22b1lgabRlgalgabQ25 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页