2022年高中数学-椭圆-超经典-知识点+典型例题讲解.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 同学姓名性别名师总结优秀学问点高二学科数学男年级授课老师椭圆上课时间2022 年 12 月 13 日第（ ）次课课时：课时共（ ）次课教学课题教学目标教学重点与难点选修 2-1 椭圆学问点一：椭圆的定义点平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 . ,这个动的轨迹叫椭圆 .这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距留意： 如,就动点的轨迹为线段；如,就动点的轨迹无图形 . 讲练结合一 .椭圆的定义2 2 2 2方程 x 2 y x 2 y 10 化简的结果是2如 ABC 的两个顶点 A 4,0 , B 4,0,ABC 的周长为 18

2、,就顶点 C 的轨迹方程是2 23. 已知椭圆 xy =1 上的一点 P到椭圆一个焦点的距离为 3, 就 P 到另一焦点距离为16 9学问点二：椭圆的标准方程1当焦点在轴上时,椭圆的标准方程：,其中；2当焦点在轴上时,椭圆的标准方程：,其中；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点留意：1只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程；2在椭圆的两种标准方程中,都有和；,；当焦点在3椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为轴上时,椭圆的焦点坐标为,；讲练

3、结合二利用标准方程确定参数1. 如方程5x2k+ky23=1（1）表示圆,就实数k 的取值是 . （2）表示焦点在 x 轴上的椭圆,就实数（3）表示焦点在 y 型上的椭圆,就实数k 的取值范畴是 . k 的取值范畴是 . （4）表示椭圆,就实数k 的取值范畴是 . 焦距是, 顶 点 坐 标2. 椭 圆4x225y2100的 长 轴 长 等 于, 短 轴 长 等 于焦点的坐标是 ,离心率是 ,等于 , 3椭圆x22y221的焦距为 2 ,就 m = ,那么 k；4m4椭圆5xky5的一个焦点是,02 ；讲练结合三待定系数法求椭圆标准方程1如椭圆经过点 4,0 , 0,3 ,就该椭圆的标准方程为；

4、P 的椭圆的标准方2焦点在坐标轴上,且a213,c212的椭圆的标准方程为F 为焦点且过点3焦点在 x 轴上,a: b2:1,c6椭圆的标准方程为4. 已知三点 P（5,2）、F （6,0）、F （6,0）,求以F 、程；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点学问点三：椭圆的简洁几何性质椭圆 的的简洁几何性质（1）对称性对于椭圆标准方程,把 x 换成 x,或把 y 换成 y,或把 x、y 同时换成 x、y,方程都不变,所以椭圆 是以 x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心对称

5、图形,这个对称中心称为椭圆的中心；（2）范畴椭圆上全部的点都位于直线 |y|b；（3）顶点x= a 和 y= b 所围成的矩形内, 所以椭圆上点的坐标满意 |x|a,椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点；椭圆（ab0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为 A 1（ a,0）,A 2（a,0）,B1（0,b）,B2（0,b）；线段 A 1A 2,B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,的长半轴长和短半轴长；（4）离心率|A1A 2|=2a,|B1B2|=2b；a 和 b 分别叫做椭圆椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e 表示,记作；由于 ac0,所以 e 的取值范畴是 0e1

6、；e 越接近 1,就 c 就越接近 a,从而越小,因 此椭圆越扁；反之, e 越接近于 0,c 就越接近 0,从而 b 越接近于 a,这时椭圆就越接近于圆；当且仅当 a=b 时, c=0,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为x2+y2=a2；留意：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点椭圆 的图像中线段的几何特点（如下图） ：（1）,；（2）,；（3）讲练结合四焦点三角形2 21椭圆 x y1 的焦点为 F 、F , AB 是椭圆过焦点 F 的弦,就 ABF 的周长是；9 252设 F ,F 为椭圆

7、16 x 225 y 2400 的焦点, P 为椭圆上的任一点,就 PF 1F 2 的周长是多少？PF 1F 2 的面积的最大值是多少？2 23设点 P 是椭圆 x y1 上的一点,F 1 , F 是焦点,如 F PF 是直角,就 F PF 的面积25 16为；9x216y2144,焦点为F 、F , P 是椭圆上一点如F 1PF260,变式：已知椭圆求PF1F2的面积五离心率的有关问题名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点e为1. 椭圆x2y21 的离心率为1 ,就 m 24m0 120 ,就此椭圆的

8、离心率2. 从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为3椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形,就椭圆的离心率为4. 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,如 F1PF2 为等腰直角三角形,求椭圆的离心率；5. 在ABC中,A0 30|,AB|,2SABC3如以 A,B为焦点的椭圆经过点C ,就该椭圆的离心率 e讲练结合六 . 最值问题1. 椭圆x2y21两焦点为 F1、F2,点 P 在椭圆上,就|PF1| |PF2| 的最大值为 _,最小值为 _ 42、椭圆x2y21两焦点为 F1、F2,A3,1 点 P 在椭圆上,就 |PF1|+|PA| 的最大值为 _

9、,最2516小值为 _ 3、已知椭圆x2y21,A1,0 ,P 为椭圆上任意一点, 求|PA| 的最大值最小值；44. 设 F 是椭圆x 32y =1 的右焦点 , 定点 A2,3 在椭圆内 , 在椭圆上求一点 24P 使|PA|+2|PF| 最小,求 P点坐标最小值 . 学问点四：椭圆与（ab0）的区分和联系名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点标准方程图形焦点,焦距性质范畴,对称性关于 x 轴、 y 轴和原点对称,顶点,轴长轴长 =,短轴长 =离心率准线方程焦半径,留意： 椭圆（ab0）的相同点为

10、外形、大小都相同,参数间的关系都有 ab0 和,a 2=b 2+c 2；不同点为两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不相同；1如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴； 当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式；此时,椭圆焦点在坐标轴上；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件 点坐标的形式确定标准方程的类型；2椭圆标准方程中的三个量 a、b、c 的几何意义a、b,一个定位条件焦点坐标,由焦椭圆标准方

11、程中, a、b、c 三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的外形大小所确定的,分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为：c0,且 a2=b 2+c 2；可借助下图帮忙记忆：ab0,aa、b、c 恰构成一个直角三角形的三条边,其中a 是斜边, b、c 为两条直角边；3如何由椭圆标准方程判定焦点位置 椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判定焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上；4方程 Ax 2+By 2=C（A、B、C均不为零）表示椭圆的条件方程 Ax2+By2=C 可化为,即,所以只有 A、B、C 同号,且 A B 时

12、,方程表示椭圆；当时,椭圆的焦点在x 轴上；当时,椭圆的焦点在y 轴上；5求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由题目条件确定焦点的位置,从而确定方程的类型,设出标准方程,再由条件确定方程中的参数、的值；其主要步骤是“ 先定型,再定量”；定义法：由题目条件判定出动点的轨迹是什么图形,然后再依据定义确定方程；6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点,就 c 相同；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 与椭圆名师总结优秀学问点（k b2）；此类问（ab0）共焦点的椭圆方程可设为题常用待定系数法求解；7判定曲线关于 x 轴、

13、y 轴、原点对称的依据：如把曲线方程中的 x 换成 x,方程不变,就曲线关于 y 轴对称；如把曲线方程中的 y 换成 y,方程不变,就曲线关于 x 轴对称；如把曲线方程中的 x、y 同时换成 x、 y,方程不变,就曲线关于原点对称；8如何解决与焦点三角形 PF1F2（P为椭圆上的点）有关的运算问题？与焦点三角形有关的运算问题时,常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行运算与解题,将有关线段、,有关角结合起来,建立、之间的关系. 9如何讨论椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系打算椭圆外形的变化；离心率,由于 c 2=a 2b 2,ac0,用 a、

14、b 表示为,当越小时,椭圆越扁, e 越大；当越大,椭圆趋近圆, e 越小,并且 0e1；课后作业1 已知 F1- 8,0,F28, 0,动点 P 满意 |PF1|+|PF2|=16,就点 P 的轨迹为 A 圆 B 椭圆 C 线段 D 直线2 2x y2、椭圆 1 左右焦点为 F1、 F2,CD 为过 F1 的弦,就 CDF 1 的周长为 _ 16 92 2x y3 已知方程 1 表示椭圆,就 k 的取值范畴是 1 k 1 kA - 1k0 C k0 D k1 或 k-1 4、求满意以下条件的椭圆的标准方程1长轴长为 10,短轴长为 6 2长轴是短轴的 2 倍,且过点 2,1 3 经过点 5,

15、1, 3, 2 5、如 ABC 顶点 B、C 坐标分别为 - 4,0,4,0,AC 、AB 边上的中线长之和为 30,就 ABC 的重心 G 的轨迹方程为 _ 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点2 2x y6.椭圆 2 2 1 a b 0 的左右焦点分别是 F1、F2,过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于 P 点；a b如 F1PF2=60 ,就椭圆的离心率为 _ 7、已知正方形 ABCD ,就以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的的离心率为 _ 椭圆方程为 _. 8 已知椭圆的方程为x2

16、y21, P点是椭圆上的点且F PF 260,求PF F 的面积ABF 的周长；10 和 14, 就椭圆439. 如椭圆的短轴为AB,它的一个焦点为F1,就满意ABF1为等边三角形的椭圆的离心率为10. 椭圆x2y21上的点 P 到它的左焦点的距离是12,那么点 P到它的右焦点的距离是1003611已知椭圆x2y21a5 的两个焦点为F 、F ,且F 1F28,弦 AB过点F ,就a22512. 在椭圆x2+y2=1 上求一点 P,使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍25913、中心在原点、长轴是短轴的两倍,一条准线方程为x4,那么这个椭圆的方程为14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的

17、距离, 就椭圆的离心率e=_. 15、椭圆的中心在原点, 焦点在 x 轴上 , 准线方程为y18, 椭圆上一点到两焦点的距离分别为方程为 _. 2 216.已知 P 是椭圆 9 x 25 y 900 上的点 ,如 P 到椭圆右准线的距离为 8.5,就 P 到左焦点的距离为 _. 2 217椭圆 x y 1 内有两点 A 2 , 2,B 0,3, P为椭圆上一点,如使 PA 5 PB最小,就最小值为25 16 32 2 2 218、椭圆 xy=1 与椭圆 xy= 0有3 2 2 3A 相等的焦距 B 相同的离心率 C相同的准线 D以上都不对2 2 2 219、椭圆 x y 1 与 x y 1（0k9）的关系为25 9 9 25A 相等的焦距 B 相同的的焦点 C相同的准线 D 有相等的长轴、短轴2 220、椭圆 x y 1 上一点 P 到左准线的距离为 2,就点 P 到右准线的距离为6 22 221、点 P 为椭圆 x y 1 上的动点 , F 1, F 2 为椭圆的左、右焦点 ,就 PF 1PF 2 的最小值为 _ , 此时点25 16P 的坐标为 _. 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页