2022年高中数学双曲线抛物线知识点总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点双曲线平面内到两个定点,的距离之差的肯定值是常数a22a2a的点的轨迹；方程x2y21 a0,b0y22 x1 a0,b0a2b2a2b2简图_y_y_O_x_O_x范畴xa 或xa yRya 或ya xR顶点a ,00,a焦点c,00,c 渐近线ybxyaxab离心率ece1ece1aa对称轴关于 x 轴、 y 轴及原点对称关于 x 轴、 y 轴及原点对称准线方程xa2ya2ca、b、c 的关c22 b系考点题型一求双曲线的标准方程的 双 曲 线 方 程 可 设 为x2y20, 与 双 曲 线1、 给 出 渐 近 线 方

2、程ynxmm22 nx2y20；2 xy21共渐近线的方程可设为a2b2a2b22、留意：定义法、待定系数法、方程与数形结合；【例 1】求适合以下条件的双曲线标准方程；名师归纳总结 （1）虚轴长为12,离心率为5 4；A3,2 3；第 1 页,共 14 页（2）焦距为 26,且经过点M （0,12）；（3）与双曲线x2y21有公共渐进线,且经过点916- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点2 2 2 2解：（1）设双曲线的标准方程为 x2 y2 1 或 y2 x2 1 a 0, b 0；a b a b由题意知, 2b=12,e c =5

3、；a 4b=6,c=10,a=8；2 2 2标准方程为 x36 1 或 y x1；64 64 36（2）双曲线经过点 M （ 0,12）,M （ 0,12）为双曲线的一个顶点,故焦点在 y 轴上,且 a=12；2 2 2又 2c=26, c=13；b c a 144；2 2标准方程为 y x1；144 252 2x y（3）设双曲线的方程为 2 2a bA 3,2 3 在双曲线上23 2 2 31 得 19 16 42 24 x y所以双曲线方程为 19 4题型二 双曲线的几何性质方法思路：解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特殊是 e、a、b、c 四者的关系,构造出 e c和 c

4、 2a 2b 的关系式；2a2 2【例 2】双曲线 x2 y2 1 a 0, b 0 的焦距为 2c,直线 l 过点（ a, 0）和（ 0,b）,且a b点（ 1,0）到直线 l 的距离与点（ -1,0）到直线 l 的距离之和 s4 c ；求双曲线的离心率5e 的取值范畴；名师归纳总结 解：直线 l 的方程为xy1,级 bx+ay-ab=0 ；d 1b a1,第 2 页,共 14 页ab由点到直线的距离公式,且a1,得到点（ 1,0）到直线 l 的距离a22 b同理得到点（ -1,0）到直线 l 的距离d2b a1,a2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -

5、 - 名师总结优秀学问点A ,使sd1d22abb22ab；a2c由 s4 5c ,得2ab c4 5c ,即5 a c2a 22 c ；2于是得52 e12 2 e ,即44 e25 e2250；解不等式,得52 e5；由于 e10,所以 e 的取值范畴是5e5；42【例3】设F1、F2 分别是双曲线x2y21的左、右焦点,如双曲线上存在点22 baF AF290,且 AF 1=3AF2,求双曲线的离心率；解：F AF290AF 12AF 222 4 c又 AF 1 =3AF 2,AF 1AF 22AF 22 a 即AF 2a ,210 a22 4 c ,AF 12AF 229AF 22AF

6、 2210AF 2c a1010即e10；422题型三直线与双曲线的位置关系方法思路： 1、争论双曲线与直线的位置关系,一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程组,即AxByC02,对解的个数进行争论,但必需留意直线与双曲线有一个公共2 2b x2 a y22 a b点和相切不是等价的；2、直线与双曲线相交所截得的弦长：l1k2x 2x 111y 2y 1PF2PF12的点 P 的轨迹k2【例 4】如图, 已知两定点F 12,0,F 2 2,0,满意条件是曲线 E,直线 y=kx-1 与曲线 E 交于 A、B 两点, 假如AB6 3,且曲线 E 上存在点 C,y 名师归纳总结 使 OAOBmOC

7、 ,求A C B O x （1）曲线 E 的方程；（2）直线 AB 的方程；（3）m 的值和ABC 的面积 S；第 3 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点解：由双曲线的定义可知,名师归纳总结 曲线 E 是以F 12,0,F 2 2,0为焦点的双曲线的左支,0,mx c,my c,第 4 页,共 14 页且c2, a=1,易知b2 ca21；故直线 E 的方程为x2y21x0,2设Ax ,y , Bx ,y , 由题意建立方程组y=kx-1消去 y,得1k2x22 kx20；x -y =1 2 2又已知直线与双曲线左支

8、交于两点A、B,有1k20,2 281k20,x 1x 212k0,解得2k1；k2x x21220.k又AB1k2x 1x 21k2x 1x 224x x 1 21k212 k412221k222 k2k2k1k2依题意得21k222k26 3,整理后得28k455k2251k2k25或k25；74但2k1,k5；2故直线 AB 的方程为5xy10；2（3）设C xc,y c,由已知 OAOBmOC ,得x1,y 1x2,y2x c,y cx 1mx 2,y 1my 2m0；228,又x 1x 2k2k14 5,y 1y2k x 1x222k22k21k21- - - - - - -精选学习

9、资料 - - - - - - - - - 点C4 5,8；名师总结优秀学问点mm将点 C 的坐标代入曲线得m4,但当mE 的方程,的m 802 m 642 1,4 时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意；m4,C 点的坐标为 5, 2 ,11,C 到 AB 的距离为5552222 1332 ABC 的面积S16 31；23一、抛物线高考动向： 抛物线是高考每年必考之点,挑选题、 填空题、 解答题皆有, 要求对抛物线定义、性质、直线与其关系做到了如指掌,在高考中才能做到应用自如；（一）学问归纳y22px p0x22py p0x22py p0x方程y22px p0图形yylyxlyOOFxFOxF

10、FOll顶点x 轴（0,0）y 轴对 称轴焦点Fp,0Fp,0e=1 F0,pF0,p离 心2222率准线l:xpl:xpl:ypl:yp2222（二）典例讲解题型一抛物线的定义及其标准方程因开口方向不同必要时要进行分类争论,标准方法思路： 求抛物线标准方程要先确定形式,方程有时可设为y2mx 或x2my m0；【例 5】依据以下条件求抛物线的标准方程；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）抛物线的焦点是双曲线16x2名师总结144优秀学问点9y2的左顶点；（2）经过点 A（ 2, 3）；（3）焦点在直线 x-2

11、y-4=0 上；（4）抛物线焦点在 x 轴上,直线 y=-3 与抛物线交于点 A, AF=5. 2 2解：（1）双曲线方程可化为 x y1,左顶点是（ -3,0）9 16由题意设抛物线方程为 y 22 px p 0 且 p 3,2p=6.方程为y212xy2mx 或x2ny ,（2）解法一：经过点A（2, 3）的抛物线可能有两种标准形式：y 22px 或 x 2 2py点 A（2, 3）坐标代入,即94p,得 2p92点 A（2, 3）坐标代入x2 2py,即 46p,得 2p43所求抛物线的标准方程是y29 x 或 x 224 y 3解法二：由于A（2,-3 ）在第四象限且对称轴为坐标轴,可

12、设方程为代入 A 点坐标求得m=9 ,n=-24 ,3所求抛物线的标准方程是y29 x 或 x 224 y 3（3）令 x=0 得 y=2,令 y=0 得 x=4 ,直线 x-2y-4=0与坐标轴的交点为（0,-2 ）,（4,0）；焦点为（ 0,-2 ）,（4,0）；名师归纳总结 抛物线方程为x28y 或y216x ；第 6 页,共 14 页（4）设所求焦点在x 轴上的抛物线方程为y22px p0,A （ m,-3）,由抛物线定义得5AFmp,2又 322pm ,p1或p9,故所求抛物线方程为y22x 或y218x ；题型二抛物线的几何性质方法思路： 1、凡设计抛物线上的点到焦点距离时,一般运

13、用定义转化为到准线l 的距离处- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点理,例如如 P（x 0,y0）为抛物线 y 22 px p 0 上一点,就 PF x 0 p；22、如过焦点的弦 AB ,A x 1 , y 1 ,B x 2 , y 2 ,就弦长 AB x 1 x 2 p ,x 1 x 可由韦达定理整体求出,如遇到其他标准方程,就焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似得到；【例 6】设 P 是抛物线y24x 上的一个动点；x （1）求点 P 到点 A （-1,1）的距离与点P 到直线x1的距离之和的最小值；（2）如 B（ 3,2）

14、,求 PBPF 的最小值；解：（1）抛物线焦点为F（ 1,0）,准线方程为x1；P 点到准线x1的距离等于P 点到 F（1,0）的距离,问题转化为：在曲线上求一点P,使点 P 到 A （-1,1）的距离与P 到 F（1,0）的距离之和最小；明显 P是 AF 的连线与抛物线的交点,y 最小值为AF5（ 2）同理 PF 与 P 点到准线的距离相等,如图：A 过 B 做 BQ准线于 Q点,交抛物线与P1 点；P PQPF ,O F PBPFPB 1PQ 1BQ4； PBPF 的最小值是4；题型三利用函数思想求抛物线中的最值问题方法思路：函数思想、数形结合思想是解决解析几何问题的两种重要的思想方法；【

15、例 7】已知抛物线yx2,动弦 AB 的长为 2,求 AB 的中点纵坐标的最小值；分析一：要求 AB 中点纵坐标最小值,可求出 y1y2 的最小值,从形式上看变量较多,结合图形可以观看到 y 1、y 2 是梯形 ABCD 的两底,这样使得中点纵坐标 y 成为中位线,可以利用几何图形的性质和抛物线定义求解；y解法一：设Ax 1,y1,Bx 2,y2,AB 的中点为 Mx,y 由抛物线方程yx2 知焦点F0,1,准线方程41,设点 A、B、M 到准线的距离分别为|AD 1|、4|BC1| 、 |MN| , 就 |AD 1| |BC1| 2|MN| , 且名师归纳总结 M N= 2 y + 1,依据

16、抛物线的定义,有 4|AD 1|AF|、第 7 页,共 14 页|BC1|BF|,2y+1|AF|BF|AB|2,4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点2y+ 1 24y 3, 即点 M纵坐标的最小值为 3；4 4分析二：要求 AB中点 M的纵坐标 y 的最小值,可列出y 关于某一变量的函数,然后求此函数的最小值；解法二：设抛物线 yx 2 上点 Aa,a 2,Bb,b 2 , AB的中点为 Mx,y ,就2 2x a b , y a b2 2|AB| 2, a b 2a 2b 2 4,就 a b 24aba 2b 2 24a 2b

17、24 就 2xab,2y a 2b 2, 得 ab2x 2y, 4x 242x 2 y 4y 2 42x 2y 4 整理得 y x 24 x 2 111 2 1 1 1 1 1 3y 4 x 1 2 2 14 4 x 1 4 4 4 4 4即点 M纵坐标的最小值为 3/4 ；练习：1、以 y=2 x 为渐近线的双曲线的方程是（3、 3y 22x 2=6 、 9y 28x 2=1 C 、3y）22x 2=1 D 、 9y 24x 2=36 【答案 D】解析： A 的渐近线为y=2x ,B 的渐近线为y=2 2x2 ,就 a+b 的值为33C 的渐近线为y=2 3x ,只有 D 的渐近线符合题意；

18、2、如双曲线x2y21的左支上一点P（a,b）到直线y=x 的距离为C、2D、2 （）A 、1B、1 22【答案 A】解析： P 在双曲线上,名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点3x4y120上,那么抛物线a22 b1即（ a+b）（ a-b）=1 又 P（a,b）到直线 y=x 的距离为2ab2且 ab2即ab2a+b=1 23、假如抛物线的顶点在原点、对称轴为x 轴,焦点在直线的方程是（）2 2A、y 16 x B、y 12 x2 2C、y 16 x D、y 12 x【答案 C】解析：令 x=0

19、 得 y= 3,令 y=0 得 x=4,直线 3 x 4 y 12 0 与坐标轴的交点为（0, -3 ）,（4,0）；焦点为（ 0,-3 ）,（ 4,0）；抛物线方程为x212y 或y216x ；79 ,879 ）164、如抛物线y= 4 1 x2上一点 P 到焦点 F 的距离为 5,就 P点的坐标是A. （4, 4）B.（ 4,4）C.（79 ,1679 ） D. 8（【答案 B】解析：抛物线的焦点是（0,1）,准线是y1,P到焦点的距离可以转化为到准线的距离；设 P（x,y）,就 y=4,x 4 y 16 45、如点 A 的坐标为（3,2）,F 为抛物线 y 2 x 的焦点,点 P 是抛物

20、线上的一动点, 就 PA PF2取得最小值时点 P 的坐标是（C ）1A（0,0）B（1,1）C（2,2）D 1, 2【答案 C】解析：抛物线焦点为 F（1,0）,准线方程为 x 1；P 点到准线 x 1 的距离等于 P 点到 F（1,0）的距离,问题转化为：在曲线上求一点 P,使点 P 到 A （3,2）的距离与 P 到 F（1,0）的距离之和最小；明显 P是 A 到准线的垂线与抛物线的交点,P 的坐标为（ 2, 2）名师归纳总结 6、已知 A、 B 是抛物线y22px p0上两点, O 为坐标原点,如OA=OB,且第 9 页,共 14 页AB的方程是（） AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,就

21、直线- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A、x=p B名师总结优秀学问点D、x=5 2p 、x=3p C、x=3 2p 【答案 D】解析：设A（y2,y）,B（y2,-y）,2p2p F（p,0）是 AOB的垂心,y2ypy11只有一个公共点的直线有条；y22p22py2整理得y25p2xy25 2pp2x27、过点 P（4,1）,且与双曲线916【答案】两条解析：由于 P（ 4,1）位于双曲线的右支里面,故只有两条直线与双曲线有一个公共点,分别与双曲线的两条渐近线平行；这两条直线是：y14x4和y14x4338、双曲线 C 与双曲线2 xy21有共同的

22、渐近线,且过点A2,-2 ,就 C 的两条准线之间2的距离为；【答案】2 63解析：设双曲线C 的方程为x2y2k k0,2将点 A 代入,得 k= -2 ；2 2y x故双曲线 C 的方程为：12 4a 2,b=2, c 622 a 2 6所以两条准线之间的距离是；c 329、已知抛物线 y 2 px p 0,一条长为 4P 的弦,其两个端点在抛物线上滑动,就此弦中点到 y 轴的最小距离是名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【答案】3 2p名师总结优秀学问点解析：设动弦两个端点为A、B,中点为 C,作 AA ,B

23、B ,CC 垂直于准线的垂线,垂足分别为 A 、 B 、 C ,连接 AF、BF,由抛物线定义可知,A F=AA ,；BF= BBCC 是梯形 ABBA 的中位线 CC =1 2AA BB= 1 2AFBF1AB =2p 2当 AB 经过点 F 时取等号,所以C 点到 y 轴的距离最小值为2p-p3p；2210、抛物线y212x 的一条弦的中点为M 2, 3 ,就此弦所在的直线方程是【答案】 2x-y+1=0 解析：设此弦所在的直线l 方程为y3k x2,l 与抛物线的交点坐标分别是Ax 1,y1,Bx 2,y2, 就x 1x 24将 l 的方程代入抛物线方程整理得2 k x24k26k12x

24、2k320由韦达定理得x 1yx 24k26 k124k2解得k232x2即 2x-y+1=0 此直线方程为11、已知双曲线的中心在原点,焦点在y 轴上,焦距为16,离心率为4 3,求双曲线的方程；解：由题意知,2 c16c8又ec4a6a30的离心率e23,过点A0,b 和 B（a,0）b2c2a228y2x21362812、已知双曲线x2y21 a0,b22ab3的直线与原点的距离为3；2（1）求双曲线的方程；名师归纳总结 （2）直线ykxm k0,m0与该双曲线交于不同的两点C、D,且 C、D 两点都在第 11 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - -

25、- - - - 名师总结优秀学问点以 A 为圆心的同一圆上,求m 的取值范畴；解：（1）由题设,得e21b24a23ab3a2b22解得a23,2 b1双曲线的方程为x2y21；3（2）把直线方程ykxm 代入双曲线方程,并整理得13k22 x6 kmx2 3 m30由于直线与双曲线交于不同的两点,12m21236k201x 22m2设C x 1,y 1,D x2,y 22m就x 1x 216km,y 1y 2k x 13 k213 k设 CD 的中点为P x 0,y0,其中x 0x 12x 2,y 0y 12y2,就x 03 km,y 0m21 3 k21 3 k1m依题意, APCD,kA

26、P21 3 k3 kmk13 k2整理得3k24m1将式代入式得m24m0m4 或 m 0 又3 k24m10,即m11m0；y22px 上, ABC的重心与此抛4m 的取值范畴为m4 或413、已知点 A（2,8）,B（x1,y1）,C（x2,y2）在抛物线物线的焦点F 重合（如图）（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标；（2）求线段 BC中点 M的坐标；名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点x ,（3）求 BC所在直线的方程. （12 分）解：（1）由点 A（2,8）在抛物线y22px 上,有

27、2 82p2,解得 p=16. 所以抛物线方程为y232焦点 F 的坐标为（ 8,0）. （2）如图,由于 F（8, 0）是 ABC的重心,M是 BC的中点,所以 F 是线段 AM的定比分点,且 AF 2,设点 M的坐标为 x 0 , y 0 ,就FM2 2 x 0 8, 8 2 y 0 0,解得 x 0 11, y 0 4,1 2 1 2所以点 M的坐标为（ 11, 4）（3）由于线段 BC的中点 M不在 x 轴上,所以 BC所在的直线不垂直于 x 轴. 设 BC所在直线的方程为：y 4 k x 11 k 0.y 4 k x 11 2由2,消 x 得 ky 32 y 3211 k 4 0,y

28、 32 x所以 y 1 y 2 32,由（ 2）的结论得 y 1 y 24,解得 k 4.k 2BC所在直线的方程是 y 4 4 x 11 即 4 x y 40 0；14、如图 , 直线 y= 1x 与抛物线 y= 1x 24 交于 A、 B 两点 , 线段 AB 的垂直平分线与直线2 8y=5 交于 Q 点. （1）求点 Q 的坐标；（2）当 P 为抛物线上位于线段（14 分）解： 1 解方程组y1x42y1x28得x 1y 14或x 282y 24AB 下方（含 A、B）的动点时 , 求 OPQ面积的最大值 .即 A4, 2,B8,4, 从而 AB的中点为 M2,1. 由 k AB = 1

29、,直线 AB的垂直平分线方程2y1=-2x 2. 令 y=5, 得 x=5, Q5, 5 2 直线 OQ的方程为 x+y=0, 设 Px, 1 x 24 8点 P到直线 OQ的距离名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点x 1 x 24d= 8 = 1x 28 x 32 , OQ 5 22 8 2S OPQ=1 OQ d = 5 x 28 x 32 . 2 16 P为抛物线上位于线段 AB下方的点 , 且 P 不在直线 OQ上, 4x4 3 4 或 4 3 4x8.函数 y=x2+8x 32 在区间 4,8 上单调递增 , 当 x=8 时, OPQ的面积取到最大值为 30名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 14 页