2022年高中数学必修一至必修五知识点总结人教版.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 必修 1 第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素；2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性说明： 1对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素；2任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素；3集合中的元素是公平的,没有先后次序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列次序是否一样；4集合元素的三个特性使集合本身具有了

2、确定性和整体性；3、集合的表示： 如 我校的篮球队员 ,太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 1. 用拉丁字母表示集合：A= 我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5 2集合的表示方法：列举法与描述法；非负整数集（即自然数集）记作：N 实数集 R 正整数集N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 关于“ 属于” 的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,相反, a 不属于集合A 记作 aA 如：a 是集合 A 的元素, 就说 a 属于集合 A 记作 aA ,列举法：把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上；描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法；用确定的条

3、件表 示某些对象是否属于这个集合的方法；语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式4、集合的分类：x-32 的解集是 x R| x-32 或x| x-32 （1）有限集含有有限个元素的集合例：x|x25（2）无限集含有无限个元素的集合（3）空集不含任何元素的集合二、集合间的基本关系1.“ 包含” 关系子集名师归纳总结 留意：有两种可能（1）A 是 B 的一部分,；（2）A 与 B 是同一集合；第 1 页,共 45 页反之 : 集合 A 不包含于集合B,或集合 B 不包含集合A,记作 A B 或 B A 2“ 相等” 关系55,且 55,就 5=5 实例：设A=x|x2

4、10 B=-1,1 “ 元素相同”结论：对于两个集合A 与 B,假如集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,同时 ,集合 B 的任何一个元素都是集合A 的元素,我们就说集合A 等于集合 B,即： A=B 任何一个集合是它本身的子集；AA - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 真子集 :假如 AB,且 BA 那就说集合A 是集合 B 的真子集,记作AB或 BA 假如 A B, B C ,那么 A C 假如 A B 同时 B A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为规定 : 空集是任何集合的子集,三、集合的运算空集是任何非空集合的真子集；1交

5、集的定义：一般地,由全部属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合 ,叫做 A,B 的交集记作 A B读作”A 交 B”,即 A B=x|x A ,且 xB 2、并集的定义：一般地,由全部属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集；记作： AB读作”A 并 B” ,即 AB=x|x A,或 x B 3、交集与并集的性质：A A = A, A = , AB = B A ,AA = A, A = A ,A B = B A. 4、全集与补集（1）补集：设S 是一个集合, A 是 S 的一个子集（即）,由 S 中全部不属于A 的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集（或

6、余集）（2）全集：假如集合 S 含有我们所要争论的各个集合的全部元素,通常用 U 来表示；四、函数的有关概念这个集合就可以看作一个全集；1函数的概念：设A、B 是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系f,使对于集合A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯独确定的数fx 和它对应,那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 记作：y=fx ,xA 其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 fx| x A 叫做函数的值域留意：假如只给出解析式 y=fx ,而没有指明它的定义域,就函数的定义域即是指能使这个

7、式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式定义域补充能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：1分式的分母不等于零；2偶次方根的被开方数不小于零；3 对数式的真数必需大于零；4指数、对数式的底必需大于零且不等于 1. 5假如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的 .那么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 .（ 6）指数为零底不行以等于零 6实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义 . 又留意：求出不等式组的解集即为函数的定义域； 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域留意：（1）构成函数三个要

8、素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系打算的,所以,假如两个函数的定义域和对应关系完全一样,即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一样,而与表示自变量和函数值的字母无关；相同函数的判定方法：表达式相同；定义域一样两点必需同时具备 见课本 21 页相关例 2 值域补充1、函数的值域取决于定义域和对应法就,不论实行什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. 2.应熟识把握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础；3. 函数图象学问归纳名师归纳总结 1定义：在平面直角坐标系中,以函数y=fx , x

9、 A 中的 x 为横坐标, 函数值 y 为纵坐标的点Px,第 2 页,共 45 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y的集合 C,叫做函数 y=fx,x A 的图象集合 C 上每一点的坐标x,y均满意函数关系y=fx ,反过来,以满意y=fx 的每一组有序实数对x、y 为坐标的点 x,y,均在 C 上 . 即记为 C= Px,y | y= fx , xA , 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线或直线 ,也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的如干条曲线或离散点组成；2 画法A 、描点法： 依据函数解析式和定义域,求出 x,y 的一些对应

10、值并列表,以 x,y 为坐标在坐标系内描出相应的点 Px, y ,最终用平滑的曲线将这些点连接起来 . B、图象变换法（请参考必修 4 三角函数）常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换3作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路；提高解题的速度；发觉解题中的错误；4明白区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；5什么叫做映射（2）无穷区间； （3）区间的数轴表示一般地,设 A 、B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯独确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f： A

11、B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射；记作“f：A B”给定一个集合 A 到 B 的映射,假如 aA,b B.且元素 a 和元素 b 对应,那么,我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象说明：函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,集合 A、B 及对应法就 f 是确定的；对应法就有“ 方向性”,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的；对于映射 f：AB 来说,就应满意：（）集合 A 中的每一个元素, 在集合 B 中都有象, 并且象是唯独的； （）集合 A 中不同的元素,在集合B 中对应的象可以是同一个；（）不要求集合B

12、 中的每一个元素在集合A中都有原象；常用的函数表示法及各自的优点：1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,留意判定一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必需注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要留意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观看函数的特点；4 列表法：选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特点解析法：便于算出函数值；列表法：便于查出函数值；图象法：便于量出函数值 . 补充一：分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；在不同的范畴里求函数值时必需把自变量代入相应的表达式；分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表

13、达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情形（1）分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集补充二：复合函数假如 y=fu,u M,u=gx,x A, 就 y=fgx=Fx ,x A 例如 : y=2sinx y=2cos2x+1 7函数单调性（1）增函数称为 f、g 的复合函数；名师归纳总结 - - - - - - -设函数 y=fx 的定义域为I,假如对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量a,b,当 ab 时,都有 fafb ,那么就说fx 在区间 D 上是增函数；区间D 称为 y=fx 的单调增

14、区间（睇清晰课本单调区第 3 页,共 45 页精选学习资料 - - - - - - - - - 间的概念）假如对于区间D 上的任意两个自变量的值a,b,当 ab 时,都有fafb ,那么就说fx 在这个区间上是减函数 .区间 D 称为 y=fx 的单调减区间 . 留意： 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质；2 必需是对于区间D 内的任意两个自变量a,b；当 ab 时,总有 fafb ；（2） 图象的特点假如函数 y=fx 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=fx 在这一区间上具有 严格的 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减 函数的图象从左

15、到右是下降的 . 3.函数单调区间与单调性的判定方法A 定义法： 任取 a,bD,且 a1,且 n N *当 n 是奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数此时,a 的 n 次方根用符号 n a 表示式子 n a 叫做根式（ radical）,这里 n 叫做根指数（ radical exponent）, a 叫做被开方数（ radicand）当 n 是偶数时,正数的 n 次方根有两个,这两个数互为相反数此时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号n a 表示正的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并成n a（ a 0）由此可得：负数没

16、有偶次方根；0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 0；留意：当 n 是奇数时,n a n a,当 n 是偶数时,n a n | a | a a 0 a a 0 2分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定：mnN* n1 ,am1n1ma0 ,m ,nN* n1annama0 ,m ,nma0 的正分数指数幂等于an0,0 的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂3实数指数幂的运算性质（1）r a saraarsa0 ,r,sR；（2）r a rsaa0 ,r,sR；rabaras（3）,

17、0r,sR（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地,函数yaxa0,且a1 叫做指数函数（exponential function ）,其中 x 是自变量,函数的定义域为R1留意：指数函数的底数的取值范畴,底数不能是负数、零和2、指数函数的图象和性质名师归纳总结 a1 0a1 0a L A LBL A B公理 1 作用：判定直线是否在平面内. A C B （2）公理 2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面；符号表示为： A 、B、C 三点不共线= 有且只有一个平面 ,使 A 、 B 、 C ；公理 2 作用：确定一个平面的依据；（3）公理 3：假如两个不重合的平面有一个公共点,那

18、么它们有且只有一条过该点的公共直线；符号表示为： P = =L ,且 PL P L公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据. 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：共面直线 相交直线：同一平面内,有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内,没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内,没有公共点；2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线相互平行；符号表示为：设 a、b、c 是三条直线 a b =a c c b 强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用；公理 4 作用：判定空间两条直线平行的依据；3 等角定理：空间中假如两个角的两边

19、分别对应平行,那么这两个角相等或互补 . 4 留意点： a与 b所成的角的大小只由a、b 的相互位置来确定,与O 的挑选无关,a b；为了简便,点O一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角 0,2； 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线相互垂直,记作 两条直线相互垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形； 运算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系：名师归纳总结 （1）直线在平面内 有许多个公共点a 来表示第 11 页,共 45 页（2）直线与平面相交 有且只

20、有一个公共点（3）直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情形统称为直线在平面外,可用- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a a =A a 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,就该直线与此平面平 行；简记为：线线平行,就线面平行；符号表示：a = a b a b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,就这两个平面平行；符号表示：a b a b = P = a b 2、判定两

21、平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行,就过这条直线的任一平面与此平面的交 线与该直线平行；简记为：线面平行就线线平行；符号表示：a a = a b = b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题；2、两个平面平行的性质定理：假如两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行；符号表示： = a = a b = b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判

22、定名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 45 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、定义：假如直线L 与平面 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L 与平面 相互垂直,记作L ,直线L 叫做平面 的垂线,平面 叫做直线L 的垂面；如图,直线与平面垂直时,它们唯独公共点P 叫做垂足；P a L 2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,就该直线与此平面 垂直；留意点：a定理中的“ 两条相交直线” 这一条件不行忽视；b定理表达了“ 直线与平面垂直” 与“ 直线与直线垂直” 相互转化的数学思想；2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间始终线动身的两个半平面所组成的图形