2022年高中数学教案函数的单调性与极值.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 专题六函数导数专题学习必备欢迎下载【命题趋向 】函数是高考考查能力的重要素材，以函数为基础编制的考查能力的试题在历年的高考试卷中占有较大的比重这部分内容既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题一般说来，选择题、填空题主要考查函数的概念、单调性与奇偶性、函数图象、导数的几何意义等重要知识，关注函数知识的应用以及函数思想方法的渗透，着力体现概念性、 思辨性和应用意识解答题大多以基本初等函数为载体，综合应用函数、导数、方程、不等式等知识，并与数学思想方法紧密结合，对函数与方程思想、数形结合思想、 分类与整合思想、有限与无限思想等

2、进行较为深入的考查，体现了能力立意的命题原则这些综合地统揽各种知识、 应用各种方法和能力的试题充分显示了函数与导数的主干知识地位在中学引入导数知识，为研究函数的性质提供了简单有效的方法解决函数与导数结合的问题，一般有规范的方法，利用导数判断函数的单调性也有规定的步骤，具有较强的可操作性高考中， 函数与导数的结合，往往不是简单地考查公式的应用， 而是与数学思想方法相结合，突出考查函数与方程思想、有限与无限思想等，所考查的问题具有一定的综合性 在一套高考试卷中一般有 2-3 个小题有针对性地考查函数与导数的重要知识和方法，有一道解答题综合考查函数与导数，特别是导数在研究函数问题中的应用，这道解答题

3、是试卷的把关题之一【考点透析 】函数和导数的主要考点包括函数的概念、图象与性质，函数与方程，函数模型及其应用，导数及其应用、微积分及微积分基本定理等【例题解析 】题型 1 函数的概念及其表示例 1 （2008 高考山东文5）设函数f x ( )1x2，2，x1，则1，ff1的值为（）x2xx(2)A 15 16B27C8 9D1816分析 ：由内向外逐步计算解析：f24,f11，故ff1f111215 16答案 A求24244点评 ：本 题考查分段函数的概念和运算能力解决的关键是由内到外“ 逐步有选择 ” 的代入函数解析式，出函数值例 2（绍兴市 2008 学年第一学期统考数学试题第14 题）

4、 如图，函数fx 的图象是曲线 OAB ，其中点O A B 的坐标分别为0,0 ,(1,2),(3,1) ，则ff1的值等于3分析 ：从图象上理解自变量与函数值的对应关系解析 ：对于f(3)1,f(1)2点评：图象是表示函数的一种方法，图象上反应了这个函数的一切性质题型 2 函数的图象与性质例 3（浙江省 20XX 年高考省教研室第一次抽样测试理科第14 题） 已知 m 为非零实数，若函数名师归纳总结 yln(xm11)的图象关于原点中心对称，则m第 1 页，共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ln(学习必备欢迎下载分析 ：图象的对称性反应在

5、函数性质上就是这个函数是奇函数，根据奇函数对定义域内任意x 都有fxfx 点特点可得一个关于x 的恒等式，根据这个恒等式就可以确定m 的值，特别地f0f0f00也可以解决问题解析：对于函数yln(m x121)的图象关于原点中心对称,则对于f00，因此有m1)0,m答案211,m点评 ：函数的奇偶性是函数的重要性质之一，这两个性质反应了函数图象的某种对称性，这二者之间是可以相互转换的例 4 （绍兴市 2008 学年第一学期统考数学试题第5 题） 设alog 3,b10.2,c21，则（）332不能归结为某个A abcB cbaC cabD bac分析 ：以 0 和1为分界线，根据指数函数与对数

6、和的性质解决解析 ：对于alog 30,1b10.2o c11，因此 abc 答案 A 2 332点评 ：大小比较问题， 可以归结为某个函数就归结为一个函数、利用函数的单调性比较，函数一般就是找分界线题型 3 函数与方程例 5（浙江省20XX 年高考省教研室第一次抽样测试理科第3 题） 函数fx1xx2x3的零点23的个数是A 0B 1C 2D 3分析 ：这是一个三次函数，可以通过研究这个函数的单调性与极值，结合函数图象的基本特征解决解 析 ： 对 于 f x 1 x x 2( x 1) 2 30， 因 此 函 数 f x 在 R 上 单 调 递 增 ， 而 对 于2 4f ( 2) 5 0,

7、 f (2) 23 0，因此其零点的个数为 1个答案 B3 3点评： 本例和例 9 在本质方法上是一致的，其基本道理就是“单调函数至多有一个零点”，再结合连续函数的零点定理，探究问题的答案例 6（浙江省五校20XX 届高三第一次联考理科第题）函数fx2 mx2x1有且仅有一个正实数的零点，则实数m 的取值范围是D,1二次函数的图象布列不A ,1B,01C,00,1分析 ：函数中的二次项系数是个参数，先要确定对其分类讨论，再结合一次函数、等式解决解析： 当 m 0 时，x 1为函数的零点；当 m 0 是，若 0 ，即 m 1 时，x 1 是函数唯一的零点，2若 0 ， 显 然 函 数 x 0 不

8、 是 函 数 的 零 点 ， 这 样 函 数 有 且 仅 有 一 个 正 实 数 零 点 等 价 与 方 程2f x mx 2 x 1 0 有一个正根一个负根，即 mf 0 0，即 m 0综合知答案 B点评： 分类讨论思想、 函数与方程思想是高考所着重考查的两种数学思想，在本题体现的淋漓尽致还要注意函数的零点有“变号零点 ” 和“不变号零点 ” ，如本题中的 x 1 就是函数的 “ 不变号零点 ”，对于 “ 不变号零点 ” ，函数的零点定理是“ 无能为力 ” 的，在解决函数的零点时要注意这个问题题型 4 简单的函数模型及其应用名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页精选

9、学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例 7（苏州市 20XX 届高三教学调研测试第 18 题） 经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近 20 天内的销售量（件）与价格（元）均为时间 t （天）的函数，且销售量近似满足 g t 80 2 t （件），价格近似满足 f t ( ) 20 1 | t 10 |（元）2（1）试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t （ 0 t 20）的函数表达式；（2）求该种商品的日销售额 y的最大值与最小值分析 ：函数模型就是销售量乘以价格，价格函数带有绝对值，去掉绝对值后本质上是一个分段函数，建立起这个分段函数模型后，求其最值即可解析

10、： （ 1）y g t ( ) f t ( ) (80 2 ) (20 1| t 10 |) (40 t )(40 | t 10 |)2(30 t )(40 t ), (0t 10),(40 t )(50 t ), (10 20).（2）当 0 t 10 时， y 的取值范围是 1200,1225 ，在 t 5 时， y 取得最大值为 1225；当 10 t 20 1 时， y 的取值范围是 600,1200 ，在 t 20 时， y 取得最小值为 600答案 ：总之，第 5天，日销售额 y 取得最大为 1225元；第 20 天，日销售额 y 取得最小为 600元点评：分段函数模型是课标的考试

11、大纲所明确提出要求的一个，分段函数在一些情况下可以用一个带有绝对值的解析式统一表达，要知道带有绝对值的函数本质上是分段函数，可以通过 “零点分区 ”的方法去掉绝对值号再把它化为分段函数题型 5 导数的意义、运算以及简单应用例 8（ 2008 高考江苏8） 直线y1xb是曲线ylnx(x0)的一条切线，则实数b2分析 ：切线的斜率是1 2，就可以确定切点的坐标，切点在切线上，就求出来b 的值解析 ：方法一y1，令 y1得x2，即切点的横坐标是2 ，则纵坐标是ln 2，切线过点2,ln 2 ，所以x2bln 211 x 0，故过该点方法二：设曲线上一点点坐标是x 0,lnx 0，由y1知道过该点的

12、曲线的切线的斜率是x的曲线的切线方程是ylnx 01xx 0，即y1lnx 01，根据已知这条直线和直线y1xbx0x 02重合，故x 02,blnx 01ln 21解题的突破“ 切点在答案： ln21点评 ：本题考查导数几何意义的应用，即曲线上一点处的导数值是曲线在该点的切线的斜率，口是切点坐标，这也是解决曲线的切线问题时的一个重要思维策略在解题中不少考生往往忽视切线上 ” 这个简单的事实，要引以为戒名师归纳总结 例 9（中山市高三级20082009 学年度第一学期期末统一考试理科第2 题） 已知物体的运动方程为第 3 页，共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - -

13、- - - - - st23学习必备欢迎下载时的速度为（ t 是时间， s 是位移），则物体在时刻t2tA 19D13 4B17C15444分析 ：对运动方程求导就是速度非常解析：s 2 t 32，将 t 2 代入即得答案 Dt点评 ：本题考查导数概念的实际背景，考试大纲明确提出“ 了解导数概念的实际背景” ，要注意这样的考点例 10（江苏扬州市 2008-2009 学年度第一学期期未调研测试第 14 题） 若函数 f x 1x 3a x 满足：23对于任意的 x x 2 0,1 都有 | f x 1 f x 2 | 1 恒成立，则 a 的 取值范围是分析 ：问题等价于函数 f x 在区间 0

14、,1 的最大值与最小值的差不大于 1，可以通过求函数 f x 在 0,1上的最值解决解析 ：问题等价于函数在 0,1 的 f x max f x min 1f x x 2 a ，函数 2f x 1x 3a x 的 23极小值点是 x a ，若 a 1，则函数 f x 在 0,1 上单调递减， 故只要 f 0 f 1 1，即只要 a 2 4，3即 1 a 2 3；若 a 1，此 时 f x min f a 1 a 3a 2a 2 a 2a，由 于3 3 3f 0 0, f 1 13 a ，故当 2a3 3时，f x max f 1，此时只要 13 a 2 23 a 2a 1 即可，即a 2 2a

15、 1 2，由于 a 3，故2 a 1 2 31 0，故此时成立；当 3a 1 时，此时3 3 3 3 3 3 3f x max f 0，故只要 23 a 2a 1 即可，此显然故 a 43，即 a 的取值范围是 23 3, 23 3点评 ：三次函数一直以来都是大纲区高考的一个主要考点，主要用这个函数考查考生对用导数研究函数性质、研究不等式等问题的理解和掌握程度，随着课标的考试大纲对导数公式的强化，课标区高考的函数导数解答题已经把函数的范围拓宽到了指数函数、对数函数、三角函数等（包括文科），但三次函数是高中阶段可以用导数研究的最为透彻的函数之一，高考也不会忽视了这个函数 ! 题型 6 导数在研究

16、函数、方程、不等式等问题中的综合运用名师归纳总结 例 11（安徽省* MERGEFORMAT 皖南八校20XX届高三第二次联考理科数学第22 题） 已知函数f x ( )lnxa，1, e 上确立x（1）当a0时，判断f x 在定义域上的单调性；（2）若f x 在 1, e 上的最小值为3，求 a 的值；2（3）若f x ( )2 x 在 (1,) 上恒成立，求a 的取值范围分析 ：（ 1）通过判断导数的符号解决；（2）确立函数的极值点，根据极值点是不是在区间第 4 页，共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载是不是要进行分类讨

17、论和分类讨论的标准；（数的单调性或最值等解决3）由于参数 a 是“孤立 ” 的，可以分离参数后转化为一个函解析 ：（ 1）由题意：f ( ) x 的定义域为 (0, ) ，且 f ( ) 1 a2 x2 ax x xa 0, f ( ) 0，故 f x 在 (0, ) 上是单调递增函数（2）由（ 1）可知：f ( ) xx 2 a 若 a 1，则 x a 0，即 f ( ) 0 在 1, e 上恒成立，此时 f x 在 1, e 上为增函数，3 3 f x ( ) min f (1) a , a（舍去）2 2 若 a e，则 x a 0，即 f ( ) 0 在 1, e 上恒成立，此时 f x

18、 在 1, e 上为减函数， f x ( ) min f e ( ) 1 a 3 a e（舍去）e 2 2 若 e a 1，令 f ( ) 0 得 x a ，当 1 x a 时，f ( ) 0, f x 在 (1, a 上为减函数，当 a x e时，f ( ) 0, f x 在 ( a e 上为增函数， f x ( ) min f ( a ) ln( a ) 1 3 a e ，2综上可知： a e （3）f x ( ) x 2, ln x a x 2x又 x 0, a x ln x x 323 2 1 1 6 x令 g x ( ) x ln x x , ( ) g ( ) 1 ln x 3 x

19、 , h x ( ) 6 x，x xh x 在 1, ) 上是减函数，h x ( ) h (1) 2，即 g x ( ) 0，g x 在 1, ) 上也是减函数，g x ( ) g (1) 1令 a 1 得 a g x ，当 f x ( ) x 在 (1, 2) 恒成立时，a 1点评 ：本题前两问是借助于导数和不等式这两个工具研究函数的性质，地三问是借助于导数研究不等式，名师归纳总结 这是目前课标区高考中函数导数解答题的主要命题模式求一个函数在一个指定的闭区间上的最值的主要本题思考方向就是考虑这个函数的极值点是不是在这个区间内，结合函数的单调性确立分类讨论的标准第三问实际上是对函数g x 两次

20、求导，也要注意这个方法,0)，例 12（浙江宁波市2008 学年度第一学期期末理科第22 题）已知函数f(x)xt(t0)和点P( 1x过点 P 作曲线yf(x)的两条切线 PM 、 PN ，切点分别为M(x 1y 1)、N(x2y2)第 5 页，共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（1）求证：x 1,x 2 为关于 x 的方程 x 22 tx t 0 的两根；（2）设 MN g (t )，求函数 g (t ) 的表达式；（3）在（ 2）的条件下，若在区间 2 , 16 内总存在 m 1 个实数 a a 2 , , a m

21、1（可以相同），使得不等式g ( a 1 ) g ( a 2 ) g ( a m ) g ( a m 1 ) 成立，求 m 的最大值分析 ：（ 1）写出曲线上任意一点处的切线方程后，把点 P 点坐标代入，就会得到一个仅仅含有参数 t 的方程，而两个切点的横坐标都适合这个方程，则两个切点的横坐标必是一个以参数 t 为系数的一个方程的两个解；（ 2）根据第一的结果和两点间距离公式解决；（3）根据第二问的结果探究解题方案名师归纳总结 解析 ：（ 1）由题意可知：y 1x 1t,y2x2t，t2)(xx 1)，第 6 页，共 16 页x 1x 2f(x)1t2， 切线 PM 的方程为：y(x 1t)1

22、(x 1x 1x又切线 PM 过点P1( 0, )，有0(x 1t)( 1t2)( 1x 1)，x 1x 1即x 122 tx1t0，同理，由切线PN 也过点P( ,10)，得x222 tx2t0由、，可得x 1, x2是方程x22 txt0（ * ）的两根（2）由（* ）知x 1x2t2 t,x 1x 2.MN(x 1x2)2(x 1tx 2t)2x 1x2(x 1x2)24x 1x 21( 1t)220 t220 t，x 1x 2g( t)20 t220 t(t0 )（3）易知g(t)在区间2,16上为增函数，g(2 )g(ai)g(16)(i,1,2,m1 )，则mg(2)g(a 1)g

23、(a2)g(am)g(am1)g( 16)即mg(2)g( 16)，即m2022202201 622016，所以m136，由于 m 为正整数，所以m63- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载又当 m 6 时，存在 a 1 a 2 a 6 2，a 7 16 满足条件，所以 m 的最大值为 6 点评 ：本题第一问的解决方法具有一般的意义，许多过一点作曲线的两条切线、两个切点的横坐标之间的关系都可以得到这个结论，这对进一步解决问题往往是关键的一步本题第三问的解决方法用的是先估计、再确定的方法，也只得仔细体会例 13(2009 江苏泰州期末20)

24、已知fxaxlnx,xe ,0 , ( )ln(xx )，其中 e是自然常数，aR.（1）讨论a1时, f( ) x 的单调性、极值；（2）求证：在（ 1）的条件下，|f x ( ) |g x ( )1；a 的值；如果不存在，说明理由2（3）是否存在实数a ，使f x 的最小值是 3，如果存在，求出分析 ：（ 1）求导后解决；（2 ）去绝对值后构造函数、利用函数的单调性解决，或是证明函数名师归纳总结 fxm i ngx1m ax；（ 3）根据极值点是不是在区间e ,0确立分类讨论的标准，分类解决第 7 页，共 16 页2解析 ：（ 1）fxxlnxfx11x1xx当ex1时，f x0，此时fx

25、为单调递减，当1x0时，f x0，此时fx为单调递增，fx的极小值为f11（2）fx的极小值，即fx在0,e的最小值为 1，又fxmin1x令hxgx10lnxx0122hxln()1， 当e时hx,e0，fxa1x xx2hx在,e 0上单调递减hxmaxhe1x11x111fxmine222当x0,e时，fg2（3）假设存在实数a ，使fxaxlnx有最小值 3 ，x当a1 时，由于 ex,e 0，则fxa10x函数fxaxlnx是,e 0上的增函数fxminfeae13解得a41（舍去）ee当a1时，则当ex1时，fxa10eaxx是增函数此时fxaxlnx是减函数当1x0时，fxa10

26、，此时fxaxlnaxfxminf11ln13aa- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解得 a e 2点评： 本题的第二问实际上可以加强为证明对任意的 x x 1 2 e ,0 证明 f x 1 g x 2 1；第三问的2解答方法具有一般的意义，即求函数在指定闭区间上的最值分类就是按照极值点是不是在这个区间上进行的题型 7 函数的应用、生活中的优化问题例 14（2008 高考江苏卷 17）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A, B 及 CD的中点P处，已知 AB 20 km BC 10 km，为了处理三家工厂的污水，

27、现要在该矩形 ABCD 的区域上（含边界），且与 A, B 等距离的一点 O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道 AO , BO , OP，设排污管道的总长为 ykm（1）按下列要求建立函数关系式：设 BAO ( rad ，将 y 表示为 的函数；设 OP x km ，将 y表示为 x的函数关（2）请你选用（ 1）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短分析 ：（ 1）已经指明了变量，只需按照有关知识解决即可；和方法解决（2）根据建立的函数模型，选择合理的模型解析 ：（ 1）如图，延长PO 交 AB 于点 Q ，由条件知PQ 垂直平分AB ，若BAOrad，则

28、OAcosAQ10，故OB10BAOcoscos101010tan又OP1010 tan，所以yOAOBOP10coscos所求函数关系式为y20 10sin10(04)cos若OPx km ，则OQ210x ，所以OAOBx(10x2 )2 10x220x200所求函数关系式为yxx220x200(010)（2）选择函数模型方法一 ：（使用导数的方法）名师归纳总结 y10coscos(2010sin)(sin)10(2sin1)第 8 页，共 16 页cos22 cos- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 令y0得sin1，04学习必备欢迎下载4(6,4

29、)6，当(0, ) 6时y0，y 是的减函数； 当2时y0， y 是的增函数所以函数在6处取得极小值，这个极小值就是函数y 在 0,的最小值，y min201011010 310232当6时，AOBO10620 3km 因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到A B 两点的cos3距离均为20 3 3km 时，铺设的排污管道的总长度最短方法二 ：（传统的方法）y2010sin10102sin10，记t2sin，则coscoscossintcos2，化为sin12t2，其中cos11t2,sin1tt2，由正弦函数的有界性知12t21，解得t3或t3，又当 04时t2sin0，故t3，cos即 t

30、的最小值为3 ，当t3时，sin1,cos1,sin3，22由此知可以取3，此时6，即当6时，函数 y 有最小值（下同方法一）方法三 ：（从几何意义上考虑）同方法二，t2sin，cos则 t 可以看作是平面上的定点M0,2，与动点Ncos ,sin上连点的斜率，而动点 N 是单位圆x2y21 在第二象限的后半区的一段弧，设过点M0,2的直线方程为ytx2，由于圆心到直线的距离不大于圆的半径，则12t21(下面的分析类似解法一)选用函数模型：方法一：（导数的方法）名师归纳总结 y1x22x20200，令y0则x220x200202x ，第 9 页，共 16 页20x- - - - - - -精选

31、学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载平方得 3 x 260 x 200 0，解得 x 10 10 3，由于 0 x 10，310 3故 x 10，并且可以判断这个是函数的最小值点，3此时 OQ 10 3，下面对实际问题的解释类似上面的解法3方法二 ：（判别式的方法）将函数 y看作常数，移项，平方，2 2整理得 3 x 2 y 40 x 800-y 0，由于 x 是实数，故 4 y 40 212 800 y 2 0，即 y 220 y 800 0，解得 y 10 10 3，或 y 10 10 3，由于 y 0，舍掉这个解，故函数 y 的最小值是 10 10 3 ，当

32、y 10 10 3 时，2 2方程 3 x 2 y 40 x 800-y 0 有两个相等的实数根x 2 y 40 2 10 10 3 4010 10 3（下面对实际问题的解释类似于上面的解法）2 3 6 3点评：本题考查函数的概念、解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力 命题者匠心独具地把对同一个问题让考生用不同的变量建立数学模型，而在接下来的第二问中又要求考生选用所建立的两个函数模型中的一个来解决优化问题，这就要求考生有对数学模型较高的鉴赏能力， 选用的模型不同，其简繁程度就不同，使考生在比较鉴别中体会数学的美学价值，是一道值得称道的优秀试题题型 8 定

33、积分（理科）例 15 （ 安徽省* MERGEFORMAT 皖南八校20XX届高三第二次联考理科数学第5 题） 若0(sinxacos ) x dx2，则实数 a 等于D3A 1B1C3分析 ：根据微积分基本定理计算定积分，利用方程解决解析：0(sinxacos ) x dx(cosxasinx)2a12,a1答案 A同时要0使这个函数的导数等于被积函数，点评 ：根据微积分基本定理计算定积分的关键是找到一个函数，合理地利用定积分的性质和函数的性质简化计算例 16（广东潮州市20082009 学年度第一学期高三级期末质量检测理科第13 题） 两曲线xy0,yx22x所围成的图形的面积是_分析：根

34、据函数图象把所求的面积表示为函数的定积分，根据微积分基本定理求出这个定积分即可名师归纳总结 解析 ：由xy02x，解得x0，或x3，即两曲线的交点O(0,0)和A(3,3)，所求图形的y2 xy0y3第 10 页，共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 面积为S3(x2 x2x )dx(3x2学习必备3 | 0欢迎下载9 21x3)9 2答案023点评 ：定积分的简单应用主要就是求曲边形的面积，注意根据函数图象准确地地用定积分表示这个面积【专题训练与高考预测】一、选择题1已知函数f(x )ax(x0 ),4 a(x0 )满足对任意x 1x ，都有f x 1)f x2)0成立，则 a 的取值范(a3 )xx 1x 2围是C11,D 0,3（）A ,01B 0,144x 都有f x ( )= -f x+3)，且(3, 0)成中心对称，对任意的实数2定义在R 上的函数f x 的图象关于点42f -1)=1,f(0)= -2，则f(1)+f(2)+f(3)+ 鬃?f(2008)的值为（）A -2B-1C0 D1 3cosx其中对于f(x