2022年高等数学上册复习资料.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学（上册）复习资料一： 函数的两个要素：定义域 对应法就1 两个函数相同：（1）定义域相同（2）对应法就相同至于自变量与因变量用什么符合来表示无所谓；例如：y sin x x 与 u sin t t 是同一个函数； 2 函数的几种特性（1）有界性 y f x x D假如存在实数 1k,使得 f x k 1,就称 f x 在 D 上有上界假如存在实数 2k,使得 f x k 1,就称 f x 在 D 上有下界 ；有界 ：既有上界,又有下界；即存在实数 1k,k 2 使得 k 2 f x k 1 等价于存在 k 0,使得 f x k x D（

2、2）单调性如对区间I内任意两点x 1x 2,都有f x 1 f x 2,就称yf x 在I内单调增加（削减）；如将 “ ” 改成 “ ” 称为严格单调增加（削减） ；（3）奇偶性设函数fyf x 的定义域关于原点对称假如x f x ,就称f x 为偶函数假如fxf x ,就称f x 为奇函数（4） 周期性如f xlf x 就称f x 是以 为周期的函数注：周期通常指的是它的最小正周期3 复合函数名师归纳总结 设yf u 的定义域为D 1,又ug x 的定义域为D,且g DD 1,就函第 1 页,共 20 页数yf g x xD称为由函数ug x 和函数yf u 构成的复合函数；u称为 中间变量

3、, 记为：fog fg x - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4 基本初等函数 ：（1）幂函数 y x（2）指数函数 y a x a 0 , a 1（3）对数函数 y loga x 特例 a e , y ln x（4）三角函数 y sin x , y cos x 等（5）反三角函数 y arcsin x , y arccos x 等5 初等函数： 由常数和基本初等函数经过有限次四就运算和有限次复合运算得到的并可以用一个式子表示的函数；x 1 x 0例：f x x 2 1 x 0 两个式子,故不是初等函数6 函数的极限名师归纳总结 当x时,如f x 无限

4、地接近于某个确定的数A,就称A为f x 当x时第 2 页,共 20 页的极限；记为 lim xf x A重要结论 ： lim xf x Alim xf x lim xf Alim xf x A的几何意义：一、yA是他的水平渐近线例如：lim x10x二、lim xf Alim xf x B而AB,就说明它有两条渐近线；例如：lim arctan xx,y2,y2两条渐近线；当xx 0时,假如f x 无限地接近于某一确定的常数A,就称A为f x 当xx 0时的极限；记为：lim x xf x 0 A注：（ 1）f x 在x 0处的极限存在与否与f x 在xx 0处有无定义没有关系；由于定义中没有

5、要求xx 0,只是xx 0（2）x趋近于x 0的方式是任意的；（即 可以从左边,也可以从右边）左极限： 当x从左边趋近于x 0（记为：xx 0）时,f x A,就称A为f x 当xx 0时的左极限；记为：x lim xf x 0 A或f x 0A；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 右极限 ：x lim xf x 0 Alim x xf x 0 Ax lim xf x 0 x lim xf x 0 A即左右极限存在且相等如：f x 0f x 0,就x lim xf x 0 不存在f x 无限增大7 无穷小量0为极限的 变量 称为无穷小（量）定义：以定义：

6、 当xx 0（或x）时 ,对应的函数值的肯定值留意 无穷大是一种特殊的无界变量,但无界变量不肯定是无穷大 无穷大的几何意义：lim x xf x 0 ,直线xx 0是函数yf x 图形的铅直渐近线（回忆水平渐近线定理二： 在自变量的同一变化过程中,假如f x 为无穷大,就1 f x 为无穷小；反之,假如f x 为无穷小,且f x 0,就1为无穷大；f x 无穷小的性质：定理三：有限 个无穷小的和仍是无穷小 定理二： 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论：（ 1） 有极限的量与无穷小的量的乘积是无穷小；（有极限 有界）（2）常数与无穷小量的乘积是无穷小（3）有限个无穷小量的乘积也是无穷小 8 无

7、穷小的比较定义： 设,都是无穷小0 1 如lim0,就称是比高阶的无穷小,记为：2 如lim,就称是比低阶的无穷小3 如limc0,就称与是同阶无穷小4 如lim1,就称与是等价无穷小,记为：最重要是等价无穷小,关于等价无穷小,我们要记住以下结论名师归纳总结 当x0时,sinxx, tanxx,ln1x x,x e1 x,arcsinxx第 3 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ,arctan x,n1x11x,1cosx1x2,ax1xlna,n21x 1xkxkx, tankxkx即上面的无穷小可换成其他无穷小留意其引申sin定理一

8、 ：设,且lim 存在,就limlim9 函数的连续性定义 ：设函数yf x 在点x0的某一邻域内有定义,假如x0处连续；lim x 0ylim x0f x 0xf x 00,就称yf x 在点强调：x0包含x0,x0；x0,x0f x 0记：x 0xx,就yf x 0x f x 0f x f x f x 0yx0相当于xx 0y0相当于f x f x 0由此 ,我们得到连续的另一个等价定义名师归纳总结 定义 2 ：设yf x 在点x0的某一邻域内有定义,假如lim x xf 0 f x 0,就第 4 页,共 20 页称yf x 在点x0处连续；0x称为即 ：在x0处的极限等于它在该点的函数值

9、与左、右极限相对应,也有左、右连续的概念如lim x 0y0,即x lim xf x 0 f x 0,就称f x 在点0x处左连续如lim x 0y0,即x lim xf x 0 f x 0,就称f x 在点0x处右连续yf x 在点x0处连续左右都连续即lim x 0f x lim x 0f x f x 0如函数yf x 在点x 0处不连续,就称yf x 在点0x处间断- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yf x 的间断点；（1）可去间断点,但yf x 在点x 0处无定义或yf x 在点0x处有定极限lim x xf x 0 存在义 ,但lim x x

10、f 0 f x 0；就称0x为f x 的可去间断点；（2 ）跳动间断点如x lim xf x 0 与x lim xf x 0 存在,但lim x x 0f x lim x x 0f x 可去间断点和跳动间断点统称为第一类间断点 极限都存在；第一类间断点的特点是左右第一类间断点以外的间断点称为其次类间断点；特点：是至少有一个单侧极限不存在；常见的有 无穷间断点；特点：至少有一个单侧极限为无穷大；一切初等函数在其定义区间内是连续的10 函数的导数定义：设函数yf x 在点0x处的某个邻域U x 0内有定义,给x 0以增量x（x0 ,x 0x U x 0仍旧在该邻域内）,如并称这个极限lim x0y

11、lim x0f x0xf x 0存在；就称f x 在0x处可导；xx值为f x 在x 0处的导数；记为：f ,yx x 0,df x x x0,dyx x 0即dxdxf lim x0f x0xf x 0x关于导数的几点说明：（1）导数反映因变量关于自变量的变化率,即反映了因变量随自变量的变 化而变化的快慢程度；名师归纳总结 （2） 令x 0xx,当x0时xx 0等价定义第 5 页,共 20 页fx0lim x x 0f x f x 0或xx 0fx0lim h 0f x 0hfx 0h（1） 如定义中极限不存在,就称f x 在0x处不行导；在不行导中有一个特殊情形；当lim x0y,就称f

12、x 在0x处的导数为无穷大；x（2） 假如函数yf x 在开区间I内的每一点处都可导,就称函数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yf x 在开区间I内可导；（3） 对于任一个xI,都对应着f x 的一个确定的导数值y,xf ；这个函数叫做原先函数f x 的导函数；记作：f dy dx或df xf x 或dx即ylim x0f xxf lim h 0f xh f x h 简称为导数注 ：（1）导函数f（2）fx 0f x x 0（6）单侧导数1、 左导数fx0lim x x 0f x f x 0lim x 0f xxf x xx0x2、 右导数名师归纳总

13、结 fx 0lim x x 0f x f x 0lim x 0f xx f x 在闭第 6 页,共 20 页xx 0xfx 0存在fx 0fx 0（7）假如f x 在开区间a b , 内可导,且f 及f 都存在,就说f x 区间a b上可导；函数f x 在点0x处的导数fx 0的几何意义 就是曲线yf x 在对应点A x 0,y 0处的切线的斜率；于是：曲线yf x 在点A x 0,y 0处的切线方程可写成：（1）fx 0存在,就切线方程：yy 0fx 0xx 0法线方程：yy0f1xx 0x 0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）如fx 0切线方

14、程：xx 0f x 在x 0处必连续法线方程：yy 0定理：如f x 在x 0处可导 ；就连续但不行导的例子：yx在xf0处lim x 0x00所以连续,但不行导注： 如不连续,就肯定不行导11 函数的微分定义： 设函数 y f x 在某区间内有定义,在 x x 0 处给自变量以增量 x,假如相应的函数的增量 y 总能表示 为：y A x o x ,其中 A 与 x 无关,o x 是 x 的高阶无穷小；就称函数 y f x 在点 x 0 处可微；并称 A x 为f x 在点 x 0 处的微分；记作：dy 或 df x 即：dy A x A 称为微分系数；定理：函数 y f x 在 x 0 处可

15、微 函数 y f x 在 x 0 处可导我们得到函数的可微性与可导性是等价的；（可微 可导）；函数在 x 处的微分 dy f x dx12 函数的不定积分定义 1设函数 F（x）在某区间 I 上可导,且xI 有 F x=f（x）,就称 F（x）为函数 f（x）在区间 I 上的一个 原函数 .定理 1 设 F（x）是 f（x）在区间 I 上的一个原函数,就F（x）+C（C 为任意常数 ）为 f（x）的全体原函数 .定义 设函数 f（x）在区间 I 上有定义,称 f（x）在区间 I 上的原函数的全体为 f（x）在 I 上的不定积分,记作 f x d x,其中记号 “” 称为积分号, f（x）称为被

16、积函数,x 称为积分变量 .定理 1 设 F（x）是 f（x）在区间 I 上的一个原函数,就f x dx=F（x）+C,C 为任意常数 .名师归纳总结 强调：c不能丢,F x 仅是一个原函数,不定积分是原函数的全体；第 7 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 通常,我们把f（x）在区间 I 上的原函数的图形称为f（x）的 积分曲线 ,不定积分的性质（1）df x g x dx=f x dx+g x dx,其中 , 为常数；（2）f dx=f（x）；d x（3）f dx=f x+ C, C 为任意常数 .13 函数的定积分定义 设函数 f（

17、x 在区间 a,b上有界,今取 n+1 个分点：a=x0x1x2 xi 1xi xn 1xn=b,将 a,b分成 n 个小区间 xi 1,xi,其长度记为 xi=xi xi 1（i=1,2, ,n）,并令 = 1max x i ,如 i xi 1, xi（i=1,2, ,n）,极限nlim 0 f i xii 1存在,且该极限值与对区间a,b的分划及 i的取法无关,就称 f（x）在ba,b上可积,且称该极限值为 f（x）在 a,b上的定积分,记为 af x d x,其中 ,f（x）称为被积函数,x 称为积分变量,a 和 b 分别称为积分下限和上限,a,b称为积n分区间,i1f（i） xi称为积

18、分和 .留意：（1）（2）（3）（4）（5）定积分是一个和式的极限,它是一个 数；和式很复杂,区间的分法无穷多 ,点的取法也无穷多；但是,极限与取法、分法无关；定积分由被积函数f x 与积分区间a b确定,与积分变量无关；即bf x dxbf t dtbf u du；aaa曲边梯形的面积Abf x dxa当被积函数在积分区间上恒等于1 时,其积分值即为积分区间长度,即b af x d x=ba；可积条件为便利起见,我们用R（ a,b）表示区间a,b上全部可积函数的集合,可以证明：（1）如 f（x） C（ a,b）,就 f（x） R（ a,b）；（2）如 f（x）为 a, b上的单调有界函数,就

19、 f（x） R（ a,b）；（3）如 f（x）在 a, b上仅有有限个第一类间断点,名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就 f（x） R（ a,b）.定积分的几何意义：b（1）f x 0 ,a f x dx S 图b（2）f x 0 ,a f x dx S 图（3）f x 在 a b 上有正有负 图baf x dx S 1 S 2 S 3 面积的代数和b总之,如 f（x） C（ a,b）,就定积分 af x d x 的几何意义是表示由 x 轴、曲线y=f（x）、直线 x=a 与 x=b 所围成的各部分图形面积的代数和

20、,其中位于 x 轴上方的图形面积取正号,位于 x 轴下方的图形面积取负号 .定积分的性质b（1） 当 a=b 时,af x d x =0；b a（2） 当 ab 时,af x d x = bf x d x积分中值定理）设 f（x） C（ a,b）,就 a, b,使得baf x d x =f（ ）（b a） .设 f（x）C（ a,b）,F（x）是 f（x）在a,b上的一个原函数,就baf x d x =F（b）F（a）. 要把握的详细内容：如何求极限；如何求导数与微分如何求不定积分与定积分导数和定积分的应用一 如何求极限求极限的方法名师归纳总结 （1） 约去零因子法（适用于xx 0时的0 0型

21、）型）第 9 页,共 20 页（2） 无穷小因子分出法（适用于x时的当x时有理分式的极限为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - lim xa xma xm1Lama 0nmb 00nmb xnb xn1Lb nnm（3） 有理化（适用于含有根式的极限）（4） 通分（适用于 型）（5） 利用两个重要极限1 第一个重要极限lim x 0sinx1是x的该变化过程中的无穷小x这个极限的特点：（1）0型（2）sin x0x推广 ：某过程 limsinu x 1,其中u x u x 2 其次个重要极限,e2.71828L）lim1 x1xe（e是无理数x几种变形li

22、m1 n1nen1lim x 0 1xxe有如下特点：（1）1型（2） 加号上的量与肩膀上的量互为倒数推广：如limu x 0,就lim 11u x eu x 如limu x 1elim 1u x u x （6）等价无穷小替换名师归纳总结 当x0时 ,sinxx,tanxx,ln1x x,x e1x,arcsinxx,第 10 页,共 20 页arctan x,n1x1 1x,1cosx1x2,ax1xlna,n21x 1xkx, tankxkx即上面的无穷小可换成其他无穷小留意其引申sinkx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 定理一 ：设,且lim存

23、在,就lim lim 强调 ：乘积时 才用等价无穷小代替,在加减中不能代替,即被替换的无穷小必需处于 乘积因子位置tan x sin x例：lim x 0 sin x 3原式 limx 0 xx 3 x0 错 在加减中不要替换（7）利用无穷小的性质（ 定理二： 有界函数与无穷小的乘积是无穷小）（8）利用左右极限与极限的关系（适用于分段函数在分段点处的极限）（9）连续性的定义（设连续函数yf x 在点x0的某一邻域内有定义,就lim x xf x 0 f x 0）（10）洛必达法就0 型,型直接使用法就,000 型,将其中的一个倒下来,化成 型或0型,通分后化成 0 型,再使用法就；0型,再使用

24、法就；1,00 ,0型,化成以e为底的指数,或取对数后化成0以上 10 种方法中,特殊要留意洛必达法就与重要极限,无穷小替换,相结合二 如何求导数（1）基本求导公式 求导公式：名师归纳总结 （1） 01,x1x,11第 11 页,共 20 页（2）xx1特例： 2xxx2（3） axx alna特例：x ex e1,ln1（4）logax x1a特例：lnxlnxx（5） sin cosxcos sinxtan 2 secxcot 2 cscx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - sec sec xtanxcsc cscxcotx（6）arcsinx11x

25、2arccos 11x2就复1arctan x 21 x（2）求导的四就运算法就：arccotx 112xuvuv uv u vuvu vu vv2uvv0cu cuc为常数（3） 复合函数的求导法就定理三：假如ug x 在点x处可导,而yf u 在点ug x 处可导,合函数yf g x 在点x处可导,且其导数为：dydydu或yf g x 链式法就dxdudxdy：函数对x的导数dy：f u 对u的导数dxdudu：ug x 对x求导dx复合函数的导数,等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数；（4） 参数方程的求导法如参数方程x 确定y与x之间的函数关系,称此为由参数方程所确定的

26、y 函数；求导公式dydy y对 的导数比上 tx对 的导数 tdt dxdx dt二阶导数d2yddy dxdxdy对 的导数比上x对 的导数dtdx2dx（5）隐含数的求导法dt什么叫隐含数？定义：由方程所确定的函数yf x 称为隐函数隐函数的求导法就：用复合函数的求导法就直接对方程两边求导名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - （6）对数求导法 ： 先两边取对数,然后根据隐函数的求导方法求导；适用范畴：（ 1）幂指函数u x v x （2）多个函数相乘或仍有开方的情形（7）变限函数的求导 x= dx af t d

27、t=fxf v x v x.dx f t dtf du x f t dt = f（u（x）u xdxv x（8）如何求微分dyf x dx先求出函数的导数,就dyf x dx千万不要遗忘写 dx三 如何求积分名师归纳总结 基本积分公式 k x=kx+C（ k 为常数） ,c第 13 页,共 20 页xadx=a11xa1+C a1,特殊地：1dx1cdx2xx2xx1 dx x=lnx+C x 0,exdx=ex+C,axdx=1ax+C a0 且 a 1,lnacos d x x=sinx+C,sinx x=cosx+C,2 secx x=tanx+C,csc2x x=cotx+C,sec

28、tan d x x=secx+C,11cscxcot d x x=csc x+C,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1211x2dx=arcsin x+C,13112dx=arctanxcx积分的方法一,分项积分bf x g x dx=f dx+g x dx,其中 ,为常数；f x g x d xb af x d xb ag x d xa二 换元法 第一换元法（凑微分）f dx=f x d x u f u duF u cu F x+ C.（留意：中间的换元过程可省略； ）bfxx dxbfx dx Fxbaaa其次换元f x dx x f1 t d f

29、 t dtF t c仍原 t =1 F c t dtFtbf x dxx f adx t dt对于定积分的其次换元法要留意：（1） 换元必换限（2） 当ab时 ,不肯定有,但下限肯定要对应下限,上限肯定要对应上限（3）,选取可能不唯独,原就上：不自找麻烦,越小越好三 分部积分uvdxudvuvuvbvdubuvuvv udxv udxbu vdxb audvvdubbaaaaa留意： 1 将谁看成 v 2 回来法 对于定积分仍有三个要留意的地方 一,分段函数的定积分名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 假如积分区间包

30、含了被积函数的分段点,就利用积分对区间的可加性,分成几个定积分的和；例：fx 1xx2,x0,运算1fx dx dx1exdxe,x01解：1fx dx0fx dx1fx dx01x211010x1x30ex17e1例：fx x31031x1 dx1,求13fx dx解：由于fx x1,x1;x1 dxx1,x11fx dx1fx dx1fx dx1 3 33111 2x2x 11x2x11232二 奇零偶倍afx dx0afx dx如fx 为奇函数a2如fx 为偶函数0三、广义积分（1）无穷积分定义 ：af x dxt limt af x dx都收敛,就f x dx收敛,且定义为这bf x dxt limt