2022年高等数学线性代数概率考研公式大全奉献.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1 、 行 列 式1. 2.3.4.5.n 行列式共有2 n 个元素,绽开后有n 项,可分解为2n 行列式；代数余子式的性质：、A 和a 的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ；代数余子式和余子式的关系：Miji 1jA ijA ij 1ijMij设 n 行列式 D ：n n1将 D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为D ,就D 1 12D ；n n1将 D 顺时针或逆时针旋转90 ,所得行列式为D ,就D2 12D ；将 D 主对角线翻转后（

2、转置）,所得行列式为D ,就D 3D ；将 D 主副角线翻转后,所得行列式为D ,就D4D ；行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积n n1A 1m nA B 12；、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；、 和 ：副对角元素的乘积n n1 12；、拉普拉斯绽开式：AOACA B、CAOCBOBBOBC、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特点值；6.对于n阶行列式A ,恒有：EAnkn1k 1S knk,其中S 为 k 阶主子式；7.证明A0的方法：、 AA ；、反证法；、构造齐次方程组Ax0,证明其有非零解；、利用秩,证明r A n ；、

3、证明 0 是其特点值；2 、 矩 阵1. A 是 n 阶可逆矩阵：A 0（是非奇特矩阵）；r A n （是满秩矩阵）A 的行（列）向量组线性无关；名师归纳总结 齐次方程组Ax0有非零解；第 1 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - bn R , Axb总有唯独解；学习必备欢迎下载A 与 E 等价；A 可表示成如干个初等矩阵的乘积；A 的特点值全不为 0；T A A 是正定矩阵；2. 3.4. 5.A 的行（列）向量组是n R 的一组基；A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；对于n阶矩阵A：AA* A AA E无条件恒 成立；A1*A*1A1T

4、T A1* ATAT*ABTT TB AAB* *B AAB1B1A1矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值,可求代数和；关于分块矩阵的重要结论,其中均A 、 B 可逆：A 1如AA 2,就：A s、AA 1A 2A ；、A1A 11A 21；、AO1A s1A1O1；（主对角分块）OBOB、OA1O1B1；（副对角分块）BOAO、AC1A1A1CB1；（拉普拉斯）OBBO1、AO1A11O1；（拉普拉斯）CB1 B CAB3、 矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组1.一个 mn 矩阵 A ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯独确定的：FErOmn；OO2.等价类

5、：全部与A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类；标准形为其外形最简洁的矩阵；对于同型矩阵A 、 B ,如r Ar BAB ；行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；名师归纳总结 、每行首个非0 元素必需为1；第 2 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 、每行首个非学习必备欢迎下载0 元素所在列的其他元素必需为0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似,或转置后采纳初等行变换）x1 A b ；4.a如 A ErE,X,就 A 可逆,且XA1；、对矩阵 , A B 做初等行变化,当A 变为 E 时, B 就变成A B,即： , A Bc

6、1 E A B ；、求解线形方程组：对于n 个未知数 n 个方程 Axb ,假如 , rE x ,就 A 可逆,且初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换仍是列变换,由其位置打算：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；1、2,左乘矩阵A ,i乘 A 的各行元素；右乘,i乘 A 的各列元素；n名师归纳总结 5.1110；第 3 页,共 27 页、对调两行或两列,符号E i j ,且E i j , 1E i j ,例如：11；11、倍乘某行或某列,符号E i k ,且E i k 1E i 1,例如：1k11111 kkk1k11k0；、倍加某行或某列,符号E ij k ,且E ij k 1E i

7、j k,如：11k11矩阵秩的基本性质：6.、 0r A mnminm n ；、r A Tr A ；、如 AB ,就r A r B ；、如 P 、 Q 可逆,就r A r PAr AQr PAQ ；（ 可逆矩阵不影响矩阵的秩）、 max , r A Br A r B ；（ ）、r ABr A r B ；（ ）、r ABmin r A r B , ；（ ）、假如 A 是 mn 矩阵, B 是 ns矩阵,且AB0,就：（ ）、 B 的列向量全部是齐次方程组AX0解（转置运算后的结论）；、r Ar B n、如 A 、 B 均为 n 阶方阵,就r AB r A r B n ；三种特别矩阵的方幂：、秩为

8、 1 的矩阵：肯定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式,再采纳结合律；1ac、型如01b的矩阵：利用二项绽开式；001- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二项绽开式： ab n0 C an1 nC a1学习必备欢迎下载Cn11 na b1n nC bnm m nC a bm；1 bm C anmm bn注：、 abn绽开后有n1项；0 C nmCn1rn0r C nn 2rCrm01；、m C nn n1 nm1n.n1 2 3mm nm .、组合的性质：m C nCnmm C n1m C nC1r nC nnnn1、利用特点值和相像对角化：7.

9、8.9.10.相伴矩阵：nr An、相伴矩阵的秩：* r A1r A n1；0r An1、相伴矩阵的特点值：AAXX A*A A1* A XAX；、A*A A1、A*An1关于 A 矩阵秩的描述：、r An , A 中有 n 阶子式不为0,n1阶子式全部为0；（两句话）、r An , A 中有 n 阶子式全部为0；、r An , A 中有 n 阶子式不为0；线性方程组：Axb ,其中 A 为 mn 矩阵,就：、 m 与方程的个数相同,即方程组Axb有 m 个方程；、 n 与方程组得未知数个数相同,方程组Axb为 n 元方程；线性方程组Axb的求解：、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行

10、变换）；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；名师归纳总结 11.由 n 个未知数 m 个方程的方程组构成n 元线性方程：n 矩阵, m 个方程, n 个未知数）a x 1a x 2a x nb 1、a x 1a x2a xnb 2；a m1x 1a m2x2anmxnb na 11a 12a 1 nx 1b 1、a21a 22a2nx2b 2Axb（向量方程,A 为 mam 1a m2amnxmb m第 4 页,共 27 页x 1b 1、a 1a 2anx 2（全部按列分块,其中b 2）；xnb n、a x 1a x 2a x n（线性表出）、有解的充要条件：r A r

11、 A ,n （ n 为未知数的个数或维数）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载4、 向 量 组 的 线 性 相 关 性1.m 个 n 维列向量所组成的向量组A ：1,2,m构成 nm 矩阵A1,2,m；T1m 个 n 维行向量所组成的向量组B ：T,T,T m构成 mn 矩阵BT；212Tm含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. 、向量组的线性相关、无关 Ax 0 有、无非零解；（齐次线性方程组）、向量的线性表出 Ax b是否有解；（线性方程组）、向量组的相互线性表示 AX B 是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵 A m n 与

12、B l n 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组 Ax 0 和 Bx 0 同解； P 101 例 14 4. r A A T r A ； P 101 例 15 5. n 维向量线性相关的几何意义：、线性相关 0 ；、, 线性相关 , 坐标成比例或共线（平行）；、, , 线性相关 , , 共面；6. 线性相关与无关的两套定理：如 1 , 2 , , s 线性相关,就 1 , 2 , , s , s必线性相关；如 1 , 2 , , s 线性无关,就 1 , 2 , , s 1 必线性无关；（向量的个数加加减减,二者为对偶）如 r 维向量组 A 的每个向量上添上 n r 个重量,构成 n 维向

13、量组 B ：如 A 线性无关,就 B 也线性无关；反之如 B 线性相关,就 A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关,反之,不确定；名师归纳总结 7.向量组A（个数为r）能由向量组B （个数为 s）线性表示,且A 线性无关,就rs二版P 定理 7；8.向量组 A 能由向量组B 线性表示,就r Ar B ；（P 86定理 3）向量组 A 能由向量组B 线性表示AXB 有解；r A r A B （P 85定理 2）向量组 A 能由向量组B 等价r Ar Br A B （P 85定理 2 推论 ）方阵A可逆存在有限个初等矩阵P P 2,P ,使AP P 2P ；、矩阵行等价

14、：Ar BPAB （左乘,P 可逆）Ax0与Bx0同解第 5 页,共 27 页、矩阵列等价：Ac BAQB （右乘, Q 可逆）；9.、矩阵等价：ABPAQB（P、 Q 可逆）；对于矩阵A m n与B ln：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 、如 A 与 B 行等价,就学习必备欢迎下载A 与 B 的行秩相等；、如 A 与 B 行等价,就Ax0与Bx0同解,且 A 与 B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不转变矩阵的秩；、矩阵 A 的行秩等于列秩；10.如A msB s nCm n,就：）11.、 C 的列向量组能由A 的列向量

15、组线性表示,B 为系数矩阵；、 C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示,T A 为系数矩阵；（转置）齐次方程组Bx0的解肯定是ABx0的解, 考试中可以直接作为定理使用,而无需证明；12.、ABx0只有零解Bx0只有零解；、Bx0有非零解ABx0肯定存在非零解；设向量组Bn r:b b 2,b可由向量组A ns:a a 2,a线性表示为：（P 110题 19 结论 ）13.b b 2,b r a a2,asK （ BAK ）其中 K 为 sr ,且 A 线性无关, 就 B 组线性无关r Kr ；（ B 与 K 的列向量组具有相同线性相关性（必要性：rr Br AKr K, r Kr,r Kr

16、 ；充分性：反证法）注：当 rs时, K 为方阵,可当作定理使用；、对矩阵A mn,存在Qn m,AQEmr A m 、 Q 的列向量线性无关；（P 87）14.、对矩阵A mn,存在P n m,PAEnr A n 、 P 的行向量线性无关；1,2,s线性相关存在一组不全为0 的数k k2,k ,使得k 11k 22kss0成立；（定义）x 115.1,2,sx20有非零解,即Ax0有非零解；r S nr ；P 111题xsr1,2,ss,系数矩阵的秩小于未知数的个数；设 mn 的矩阵 A 的秩为 r ,就 n 元齐次线性方程组Ax0的解集 S 的秩为：16.如* 为 Axb的一个解,1,2,

17、nr为Ax0的一个基础解系,就*,1,2,nr线性无关；（33 结论 ）5、 相 似 矩 阵 和 二 次 型名师归纳总结 1.正交矩阵T A AE 或A1T A （定义）,性质：ij , i j1,2,n；第 6 页,共 27 页、 A 的列向量都是单位向量,且两两正交,即T a aj12.0ij、如 A 为正交矩阵,就A1T A 也为正交阵,且A1；、如 A 、 B 正交阵,就AB 也是正交阵；留意：求解正交阵,千万不要遗忘施密特正交化 和 单位化 ；施密特正交化：a a2,a rb 1a ；b 2a 2b a2b 1b b 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - -

18、- - - b ra rb arb 1b arb 2b r1,a r学习必备欢迎下载b r1; b b 1b b 2b r1,b r13. 对于一般方阵,不同特点值对应的特点向量线性无关；对于 实对称阵 ,不同特点值对应的特点向量正交；4.5.6.7.、 A 与 B 等价A 经过初等变换得到B ；PAQB , P 、 Q 可逆；r A r B , A 、 B 同型；、 A 与 B 合同T C ACB ,其中可逆；T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数；、 A 与 B 相像P1APB ；相像肯定合同、合同未必相像；如 C 为正交矩阵,就T C ACBAB ,（合同、相像的约束条件不

19、同,相像的更严格）；A 为对称阵,就A 为二次型矩阵；n 元二次型T x Ax 为正定：A 的正惯性指数为n ；A 与 E 合同,即存在可逆矩阵C ,使T C ACE ；A 的全部特点值均为正数；A 的各阶次序主子式均大于 0；a ii 0, A 0；必要条件 概率公式整理1随机大事及其概率吸取律：AAAAAAAABAAB AAABA BAABABAB反演律：ABABinAinAinA iinA i11112概率的定义及其运算名师归纳总结 PA1PA第 7 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如ABPBAPBPA学习必备欢迎下载对任意两个

20、大事A, B, 有PBA PBPAB加法公式：对任意两个大事jA, B, 有1inPA iA jA k1n1P A 1A 2A nPABPA PBPABPABPAPBPA iAjPnA inPA ii1i11injkn3条件概率PBAP ABPA乘法公式PAB P A PBAP A 0 1A nA 1A 2A n1PA 1A 2A nP A 1PA 2A 1PP A 1A 2A n0 全概率公式PAinPABiinPB iPAB i11Bayes 公式PB kA P ABkiPB kP AB kPA nP B iP AB i14随机变量及其分布分布函数运算名师归纳总结 - - - - - -

21、-第 8 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - PaXbPXbPXa学习必备欢迎下载FbFa5离散型随机变量1 0 1 分布p1 k,k01,PXkpk12 二项分布Bn ,p如 P A = p PXkCkpk 1p nk,ke,1,0,nn*Possion 定理pnnkklim nnp n0有lim nCkpk1k .nn3 Poisson 分布Pk0,1,2 ,kPXkek .,k0,1,2 ,6连续型随机变量1 x 匀称分布,Ua ,bbf1axba,0其他,0Fx xa,ba1名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 27 页精选学习资料 -

22、- - - - - - - - 2 指数分布E学习必备欢迎下载fx ex,x0tdtxx0 ,其他Fx 10 ,x,x0ex03 正态分布N , 2 fx 1ex2222Fx 1xet2222*N 0,1 标准正态分布2xx 1ex222x 1xe2d t27.多维随机变量及其分布二维随机变量 X ,Y 的分布函数Fx ,yxyfu,vdvdu边缘分布函数与边缘密度函数名师归纳总结 FXxxfu,vdvduU G 第 10 页,共 27 页f Xxfx ,v dvFYyyfu,vdudvf Yyfu,ydu8.连续型二维随机变量1 区域 G 上的匀称分布,- - - - - - -精选学习资料

23、 - - - - - - - - - fx ,y1 ,A0 ,x,yG学习必备欢迎下载其他2x ,二维正态分布1fx122x1y2y222y21112ef2120121222yx,9.二维随机变量的条件分布x ,fXx fyfXxf YXyx fXxfYyfXYxyf Yy 0ydyfx ,ydyfXYxyYfYyfx,ydxfYfYXyxfXxdxfXYxyfx ,yXyx fXx fYyf Yy fYXyxfx ,yfXYxy f Yy fXxfXx 10.随机变量的数字特点数学期望EXk1xkpkdxEXxfx随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩名师归纳总结 - - - - - -

24、 -第 11 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - EXk学习必备欢迎下载X 的 k 阶确定原点矩E|X|kX 的 k 阶中心矩EXEXkX 的 方差EXEX2DXlX ,Y 的 k + l阶混合原点矩EXkYl阶混合中心矩X ,Y 的 k + lEXEXkYEYX ,Y 的 二阶混合原点矩EXY YX ,Y 的协方差X ,Y 的二阶混合中心矩EXEXYEX ,Y 的相关系数EXEXYEYXYDXD YX 的方差D X = E X - EX2 DXEX2E2X协方差名师归纳总结 covX,YEXEXYEY第 12 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资

25、料 - - - - - - - - - EXYEXE Y学习必备欢迎下载相关系数1DXYDXD Y2XYcovX,YDXD Y高等数学公式导数公式：名师归纳总结 tgx2 secxnarcsinx11x2tgxCCC第 13 页,共 27 页 ctgx2 cscxarccosx11x2sec x sec xtgxcscx csc xctgxarctgx x11x a atgxdxlog a x ctgxdxxln aln cos 1xC2 x2 sec 1xdxdxarcctgx 2C21 x2csc xdxctgxlnsin lnx adxsec xdxlnsec xtgxCsin2xcsc

26、xdxlncscxctgxCsec xtgx dxsecxCa2dx2 x1arctgxCcscxctgxdxcscxCaxdxaxCaaa2 xdx21lnxaClna2 axax2a2shxdxchxCa2dx21lnaxCchxdxshxCx2 aaxxdxa2lnxadxx2arcsinxC2a2In2sinnxdx2cosxdxnn1In2C00a2a2lnxx2a2x2a2dxxx222x2a2dxxx2a2a2lnxx2a2C22a2x2dxxa2x2a2arcsinxC22a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载基本积分表

27、：三角函数的有理式积分：sinx12 u2,cosx1u2,utgx,dx2 du22u1u21u一些初等函数：两个重要极限：双曲正弦:shxexexexlim x 0sinxx1e.2 7182818284 59045 .2x双曲余弦:chxexexlim x 112x双曲正切:thxshxe xchxexexarshxlnxx21）archxlnxx21 arthx1ln1x21x三角函数公式： 诱导公式：名师归纳总结 和差角公式：sincos函数sin cos tg ctg cos2第 14 页,共 27 页角 A -sin cos -tg -ctg 90-cos sin ctg tg 90+cos -sin -ctg -tg 180-sin -cos -tg -ctg 180+-sin -cos tg ctg 270-cos -sin ctg tg 270+-cos sin -ctg -tg 360-sin cos -tg -ctg 360+sin cos tg ctg 和差化积公式：sincossinsinsin2sin2coscoscossinsintgtgtg1sin