2022年高三数学专题复习概率二项式定理函数不等式及其证明等几大专题高考复习资料.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高三数学专题概率 二项式定理函数 不等式及其证明数学高考总复习：概率学问网络 目标认知 考试大纲要求：1明白随机大事发生的不确定性和频率的稳固性,明白概率的意义,明白频率与概率 的区分 . 2明白两个互斥大事的概率加法公式 . 3懂得古典概型及其概率运算公式；会运算一些随机大事所含的基本领件数及大事发 生的概率 . 4明白随机数的意义,能运用模拟方法估量概率；明白几何概型的意义；5明白条件概率和两个大事相互独立的概念,并能解决一些简洁的实际问题 . 重点：懂得互斥大事的概率加法公式,古典概型及其概率运算公式,并能运算有关随机大事的 概率； 求简

2、洁的几何概型的概率问题；条件概率和两个大事相互独立的概念,并能解决一些简洁的实际问题 . 难点：古典概型及其概率运算公式；解决一些简洁的实际问题 . 几何概型的意义, 用条件概率和两个大事相互独立的概念,学问要点梳理 学问点一：大事及有关概念 1大事：在肯定条件下显现的某种结果；在肯定的条件下,能否发生某一大事有三种可能：必定大事：在肯定条件下,肯定会发生的大事；不行能大事：在肯定条件下,肯定不会发生的大事；随机大事：在肯定条件下,可能发生也可能不发生的大事；必定大事和不行能大事的统称为确定大事,确定大事和随机大事统称为大事,其一般用大写字母 A 、B、C 表示；2. 基本领件：名师归纳总结

3、一次试验连同其可能显现的一个结果称为一个基本领件,它是试验中不能再分的最简洁第 1 页,共 29 页的随机大事, 其他大事可以用它们来描画,这样的大事称为基本领件；假如一次试验中可能显现的结果有n 个,那么这个试验由n 个基本领件组成；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3基本领件的特点：（1）不能或不必分解为更小的随机大事；（2）不同的基本领件不行能同时发生；（3）一次试验中的基本领件是彼此互斥的；（4）试验中显现的结果总可以用基本领件来描画 . 学问点二：频率与概率 1频数与频率：在相同条件下重复 次试验,观看某一大事 A 是否显现,称 次试验中大事

4、 A 显现的次数 为大事 A 显现的频数,称 为大事 A 显现的频率；2概率：对于给定的随机大事A ,假如随着试验次数的增加,大事A 发生的频率稳固在某个常数上,就这个常数就叫大事A 的概率,记作；概率的基本性质任何大事的概率的取值范畴：；P（必定大事）1,P（不行能大事）0；3频率与概率的区分与联系：频率随着试验次数的转变而变化,概率却是一个常数；随机大事的频率,指大事发生的次数与试验总次数的比值,它具有肯定的稳固性,总在某个常数邻近摇摆, 且随试验次数的不断增多,摇摆幅度越来越小,这个常数就是这个随机大事的概率；小；概率可以看作是频率理论上的期望值,它从数量上反映了随机大事发生的可能性的大

5、学问点三：古典概型 1定义：具有如下两个特点的概率模型称为古典概型：（1）试验中全部可能显现的基本领件只有有限个；（2）每个基本领件显现的可能性相等；留意： 古典概型也称等可能性大事的概率；2古典概型的基本特点：（1）有限性：即在一次试验中,可能显现的结果,只有有限个,也就是说,只有有限 个不同的基本领件；（2）等可能性：每个基本领件发生的可能性是均等的；3古典概型的概率运算公式名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由于古典概型中基本领件发生是等可能的,假如一次试验中共有种等可能的结果, 那么每一个基本领件的概率都是；

6、假如某个大事 A 包含 个基本领件,由于基本领件是互斥的,就大事 A 发生的概率为其所含 个基本领件的概率之和,即；所以古典概型运算大事 A 的概率运算公式为：4求古典概型的概率的一般步骤：（1）算出基本领件的总个数；（2）运算大事 A 包含的基本领件的个数；（3）应用公式 求值 ；5古典概型中求基本领件数的方法：（1）穷举法；（2）树形图；（3）排列组合法；利用排列组合学问中的分类计数原理和分步计数原理,必需做到不重复不遗漏 ；学问点四：几何概型 1定义：大事 A 懂得为区域 的某一子区域 A ,A 的概率只与子区域 A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比,而与 A 的位置和外形无关；满意

7、以上条件的试验称为几何概型；2几何概型的两个特点：（1）无限性,即在一次试验中基本领件的个数是无限的；（2）等可能性,即每一个基本领件发生的可能性是均等的；3几何概型的概率运算公式：随机大事 A 的概率可以用“ 大事 A 包含的基本领件所占的图形面积（体积、长度）” 与“ 试验的基本领件所占总面积（体积、长度）” 之比来表示；所以几何概型运算大事 A 的概率运算公式为：其中 表示试验的全部结果构成的区域 的几何度量,表示构成大事 A 的区域的几何度量；留意： 用几何概型的概率公式运算概率时,关键是构造出随机大事所对应的几何图形,并对几何图形进行相应的几何度量. 对于一些简洁的几何概型问题,可以

8、快捷的找到解决办法. 学问点五：互斥大事 1互斥大事的概念：不行能同时发生的大事叫做互斥大事 一般地,假如大事 中的任何两个都是互斥的,那么就说大事彼此互斥 2互斥大事有一个发生的概率：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 对于大事 A 和大事 B,用 A+B 表示大事 A 、B 中有一个发生；假如 A 、B 互斥,即大事A、B 不行能同时发生,就：；一般地,假如 彼此互斥,就：；3对立大事的概念：其中必有一个发生的两个互斥大事,叫做互为对立大事；大事A 的对立大事记作；4对立大事的概率：假如 A 、B 对立,即大事A

9、、B 不行能同时发生,但A、B 中必定有一个发生,就：；一般地,；的概率就要容留意：当运算大事A 的概率比较困难时, 有时运算它的对立大事易些；涉及“ 至少一个” 多转化为求对立大事的概率；5对立大事与互斥大事的区分和联系：互斥大事争论的是两个大事之间的关系,所争论的两个大事是在一次试验中涉及的,两个大事互斥是从试验的结果不能同时显现来确定的；从集合角度来看,示 A 、B 这两个大事A 、B 两个大事互斥,就表所含结果组成的集合的交集是空集；立大事是互斥大事的一种特殊情形,是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个大事,集合 A 的对立大事记作,从集合的角度来看,大事 所含结果的集合正是全集 U

10、中由大事 A 所含结果组成集合的补集；对立大事肯定是互斥大事,但互斥大事不肯定是对立大事；学问点六：相互独立大事 1相互独立大事的定义：大事（或）是否发生对大事（或）发生的概率没有影响,这样的两个大事叫做相互独立大事；如 与 是相互独立大事,就 与,与,与 也相互独立 注意： 相互独立是争论两个大事的关系；所争论的两个大事是在两次试验中得到的；两个大事相互独立是从“ 一个大事的发生对另一个大事的发生的概率没有影响”来确定的 2相互独立大事同时发生的概率：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 对于大事 A 和大事 B,用

11、表示大事 A、B 同时发生；与 是相互独立大事,就一般地,大事 相互独立,就：3互斥大事与相互独立大事的区分：大事间的“ 互斥” 与“ 相互独立” 是两个不同的概念；两大事互斥是指两个大事不行能 同时发生,两大事相互独立,是指一个大事的发生与否,对另一大事发生的概率没有影响；前者是指同一次试验中的两大事不能同时发生,后者是指在不同试验下二者相互不影响；两个相互独立大事不肯定互斥,即可能同时发生,而互斥大事不行能同时发生；4独立重复试验的概率公式：假如大事A 在一次试验中发生的概率为P,那么 n 次独立重复试验中,大事A 恰好发生 k 次的概率为：；令得 , 在n次 独 立 重 复 试 验 中

12、, 事 件A没 有 发 生 的 概 率 为令得 , 在n次 独 立 重 复 试 验 中 , 事 件A全 部 发 生 的 概 率 为；说明：（ 1）独立重复试验, 是在同样的条件下重复的,各次之间相互独立地进行的一种试验,在这种试验 中,每一次的试验结果只有两种,即某大事要么发生,要么不发生,并且任何一 次试验中发生的 概率都是一样的；（2）正好是二项式 1 P+Pn的绽开式的第k+1 项,很自然联想到二项式定 理,因此这个概率分布也叫二项分布；（3）n 次独立重复试验常见实例：反复抛掷一枚匀称硬币 已知产品率的抽样 有放回的抽样 射手射击目标命中率已知的如干次射击名师归纳总结 学问点七：条件概

13、率1条件概率的概念：是在大事发生的条件第 5 页,共 29 页设、为两个大事,且,就称- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 下大事 B 发生的概率；把读作：发生的条件下B 发生的概率；2条件概率的性质：（1）；（2）如 B、C 为互斥大事,就 规律方法指导1求概率问题的一般步骤：确定大事的性质：古典概型、几何概型、互斥大事、对立大事、独立大事、独立重复 试验、条件概 率；判定大事的运算：和大事仍是积大事、至少一个发生仍是同时发生,分别应用相加或相乘概率公式；正确应用相应的公式求解；漏；可充分利用排列组合学问中的分类计数原理和分步计数原理 ,必需做到不重复不

14、遗2对于大事 A、B 当 A 、B 互斥时,大事 A+B 的概率有： PA+B=PA+PB ,当 A 、B 对立时,大事 A+B 的概率有： PA+B=PA+PB=1 ；当 A 、B 是任何两个大事时,大事 A+B 的概率有 PA+B=PA+PB PAB；高考数学总复习：二项式定理知识网络目 标认知 考试大纲要求：1能用计数原理证明二项式定理；2把握二项绽开式系数的性质及运算的问题；3会用二项式定懂得决与二项绽开式有关的简洁问题 . 重点：1用二项式定理的通项公式解决二项绽开式（或多项绽开式）中某一项（或某一项的名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 29 页精选学习资料 -

15、- - - - - - - - 系数）的问题；2二项绽开式中二项式系数的和与各项系数的和问题 . 难点：1二项绽开式的通项的问题；2有关多项绽开转化为二项绽开的问题；3二项式定理的其他应用问题 . 学问要点梳理 学问点一：二项式定理二项式定理：,其中：公式右边的多项式叫做 的二项绽开式；绽开式中各项的系数 叫做二项式系数；式中的第 r+1 项叫做二项绽开式的通项,用 表示；二项绽开式的通项公式为. 学问点二：二项绽开式的特性项数：有n+1 项；次数：每一项的次数都是n 次,即二项绽开式为齐次式；各项组成：从左到右,字母a 降幂排列,从n 到 0；字母 b 升幂排列,从0 到 n；系数：依次为.

16、 学问点三：二项式系数的性质 的二项式系数相等对称性：二项绽开式中,与首末两端“ 等距离” 的两项单调性： 二项式系数在前半部分逐步增大,在后半部分逐步减小,在中间取得最大值.其中,当 n 为偶数时,二项绽开式中间一项的二项式系数间两项的二项式系数,相等,且最大 . 二项式系数之和为,即最大；当 n 为奇数时,二项绽开式中其中,二项绽开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和,名师归纳总结 即规律方法指导n 个相同的a+b第 7 页,共 29 页1对于二项式定理的构成,绽开式中含的项的系数可懂得为从- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 中先

17、取出 r 个 b,有种不同取法,再从剩下的n-r 个括号中取出n-r 个 a,有种方法,据分步计数原理,共有种不同方法数,该方法数就对应着绽开式中含 的项的系数 . 2二项绽开式的各项均含有不同的组合数,如给予 演化成一个组合a,b 不同的取值,就二项式绽开式恒等式 .因此,揭示二项式定理的恒等式为组合恒等式的“ 母函数”,它是解决组合多项式问题的原始依据 . 20XX届高考数学快速提升成果题型训练恒成立问题1. （1）如关于 x 的不等式x22axa0的解集为,求实数 a 的取值范围；（2）如关于 x 的不等式xaxa3的解集不是空集,求实数a 的取值范围2 三个同学对问题“ 关于x 的不等

18、式2 x253 x52 xax 在 1,12 上恒成立,求实数 a 的取值范畴” 提出各自的解题思路甲说：“ 只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值” 乙说：“ 把不等式变形为左边含变量 值” x 的函数,右边仅含常数,求函数的最丙说：“ 把不等式两边看成关于 x的函数,作出函数图像” 参考上述解题思路,你认为他们所争论的问题的正确结论,求 a 的取值范畴 . 23. 已知向量 a x , x 1, b 1 x t , , 如函数 f x a b 在区间 1,1 上是增函数,求 t 的取值范畴 . 4. 已知函数fx3 x3 ax1,g xfxax5,其中fx 是 fx 的导函数. 名师归纳

19、总结 （1）对满意1a1的一切 a 的值,都有g x0,求实数 x 的取值范畴；第 8 页,共 29 页（2）设am ,当实数 m 在什么范畴内变化时, 函数 yfx 的- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 图象与直线y3只有一个公共点 . 5. 求与抛物线E:y2 ax 相切于坐标原点的最大圆C 的方程 . 的 解 集 为 A ,6. 设 aR , 二 次 函 数f x ax22x2 . a 如f x 0Bx|1x3 ,AB,求实数 a 的取值范畴 . 7. 已知函数fxlnx,gx1ax2bx,a0. 2如bx2,且hxfxx2gx存在单调递减区间,求

20、a 的取值范畴；f x ax3 b exxR的一个极值点 . 8. 设3是函数（）求 a 与 b 的关系式（用 a 表示 b ）,并求f x 的单调区间；（）设a0,g x a225 4x e , 如存在1,20, 4 使得f1g21 成立,求 a 的取值范畴 . 9. 已知函数fx4x2x7,x0 1, .x1201, 总存2（1）求fx的单调区间和值域；（2）设a1,函数gxx33 a2x2a,x01, 如对于任意在x01,0使得gx 0fx1成立,求 a 的取值范畴 . 0 , 恒 有 ：10. 求 实 数 a 的 取 值 范 围 , 使 得 对 任 意 实 数 x 和 任 意名师归纳总

21、结 x32sincos2xasinacos21；1的 一 个 极 值 点 , 其 中第 9 页,共 29 页811. 已 知x1是 函 数f x mx33m1x2nxm nR m0；（I ）求 m 与 n 的关系式；（II ）求f x 的单调区间； （III）当- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x1,1时,函数yf x 的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ,求 m 的取值范畴 . 12. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn,已知 a11,a26,a311,且5n8S n15n2S nAnB n1,2,3, ,其中 A,B 为常数 . （）求 A 与

22、 B 的值；（）证明数列 an 为等差数列；（）证明不等式 5 a mn a a n 1 对任何正整数 m、n 都成立 . 13. 对于满意 |a| 2 的全部实数 a, 求使不等式 x 2+ax+12a+x恒成立的 x 的取值范畴；14. 已知函数 f x 是定义在 1,1 上的奇函数,且 f 1 1,如 a b 1,1,a b 0,有 f a f b 0,（ 1）证明 f x 在 1,1 上的单调性； （ 2）如a bf x m 22 am 1 对全部 a 1,1 恒成立,求 m 的取值范畴；15. 如函数 y mx 26 mx m 8 在 R上恒成立,求 m的取值范畴；16. 已知函数f

23、 x x2ax3a ,在 R上f 0恒成立,求 a 的取值范畴；17. 如x2,2时,f x 0恒成立,求 a 的取值范畴；f x 18. 如x2,2时,2恒成立,求 a 的取值范畴；19. 如对任意的实数 x ,sin2x2 cosx2k20恒成立,求 k 的取值范畴；分析：这是有关三角函数的二次问题,运用到三角函数的有界性；20. 已知函数f x lgaxbx,常数a1b0,求（1）函数yf x 的定义域；名师归纳总结 （2）当a、 满意什么条件时f x 在区间 1,上恒取正；第 10 页,共 29 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案：集1.

24、 （1）设fxx2axa. 就关于 x 的不等式x2ax, a0的解集为,fx0在,上恒成立fminx0即fminx4a4a20 ,解得4a0axa3的解集不是空（2）设fxx2axa. 就关于 x 的不等式x2fx3在,上能成立fminx3, 即fminx4a4a2,3解得a6或a2. 2. 关键在于对甲,乙,丙的解题思路进行思辨,这一思辨实际上是函数思 想的反映 . 设fx2 x253 x52 x,g xax. 甲的解题思路, 实际上是针对两个函数的, 即把已知不等式的两边看作两个 函数,设fx2 x253 x52 x,g xax其解法相当于解下面的问题：名师归纳总结 对于x 11,12

25、,x 21,12, 如fx 1g x 2恒成立 , 求 a 的取值范畴 . 第 11 页,共 29 页所以,甲的解题思路与题目x1,12, fxg x 恒成立 , 求 a 的取值范畴的要求不一样 . 因而, 甲的解题思路不能解决此题. 依据丙的解题思路需作出函数fxx225x32 5 x的图象和g xax 的图象 , 然而 , 函数 fx 的图象并不简洁作出 . 由乙的解题思路 , 此题化为fxa在x1,12上恒成立 , 等价于x1,12x时,fxxmina成立 . 由fxx25x x5在x51,12时, 有最小值 10, 于是 ,a10. xx- - - - - - -精选学习资料 - -

26、- - - - - - - 3. 依定义fxx21xtx1 x3x2txt,就fx3x22xt.0在区间21,1上恒成立 ; fx在区间1 1,上是增函数等价于fx3 x2而fx0在区间1,1上恒成立又等价于tx在区间1,1上恒成立; 设 g x 3 x 2 2 x , x 1,1进而 t g x 在区间 1,1 上恒成立等价于 t g max x , x 1,1考虑到 g x 3 x 2 2 x , x 1,1 在 ,1 1 上是减函数 , 在 11, 上是增函数 , 3 3就 g max x g 1 5 . 于是, t 的取值范畴是 t 5 . 24. 解法 1. 由题意 g x 3 x

27、ax 3 a 5,这一问表面上是一个给出参数 a的范畴,解不等式 g x 0 的问题,实际上,把以 x 为变量的函数 g x ,改为以a 为变量的函数,就转化为不等式的恒成立的问题,即名师归纳总结 令a3x a3x25,1a1,就对1a1,恒有g x0,第 12 页,共 29 页即a0,从而转化为对1a1,a0恒成立,又由a 是 a 的一次函数,因而是一个单调函数,它的最值在定义域的端点得到. 为此只需10即2 3 xx20,1032 xx80.解得2x1 . 3故x2 ,1 3时,对满意1a1的一切 a 的值,都有g x0. 解法 2. 考虑不等式g x2 3 xax3 a50. 由 1a1

28、知,a236a600, 于是, 不等式的解为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - aa236a60xaa2636a60. 6但是 , 这个结果是不正确的 , 由于没有考虑 a 的条件 , 仍应进一步完善 . 名师归纳总结 为此 , 设g aaa2636a60,h aaa236a60. 数,就第 13 页,共 29 页6不等式化为g axh a, 1a1恒成立 , 即g amaxxh amin, 1a1. 由于g aaa236a60在1a1上是增函6g amaxg12, 1.所以 , 3h aaa236a60在 1a1上是减函数 , 就h aminh162x

29、1 . , 3故x2 ,1 3时,对满意1a1的一切 a 的值,都有g x0. 5. 由于圆 C 与抛物线E:y2 ax 相切于坐标原点, 所以 , 可设C x2yr22 r . 由题意 , 抛物线 E 上的点P x y 除坐标原点0,0 之外 , 都在圆 C的外边 . 设 P 和圆心C0,r 的距离为 d , 就此题等价于dx2yr2r 在y0的条件下 , 恒成立 . 整理式得y2 r1a于是, 此题又等价于式在y0的条件下 , 恒成立 . 即y min2 r1a由ymin0得02r1, 即r1. a2a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以, 符合

30、条件的最大圆的半径是r1, 最大圆 C 的方程为2ax2y121221,x 2121,明显 ,x 10,x20. 2 a2 a6. 解法一：由题设 ,a0. fx0的两个根为x 11aa2aa2 1 当a0时,Ax x 1xx 2, x 22.ABx211211aaa2x x, 2 当a0时,Ax xx 1ABx231213a6 7. aa2于是, 实数 a 的取值范畴是, 26 7,. 解法二 : 1 当a0时, 由于 fx 的图象的对称轴1 a0,就对x1,3,f1最大,fmaxxf1a22 a0.a2.3实现 , a6 2 当a0时,fmaxx,x1,3在f1或f由f12a0,f37 a

31、6, 就f37 a607于是, 实数 a 的取值范畴是, 26,. 7这个解法的关键是用函数思想指导, 学会用函数和变量来摸索 . 名师归纳总结 7. 只争论第（ I ）问.b2 时 ,h xlnx1ax22x,第 14 页,共 29 页2就hx1ax2ax22x1.xxh x 0有解 . 由于函数 h x 存在单调递减区间,所以- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由题设可知 ,hx的定义域是,0 , 名师归纳总结 而hx0在0 ,上有解 , 就等价于hx0在区间,0能成立 , 第 15 页,共 29 页即a12, x,0成 立 , 进 而 等 价 于a

32、uminx成 立 , 其 中x2xux12. x2x由ux121121得,uminx1. x2xx于是 ,a1, 由题设a0, 所以a的取值范畴是,100 ,8. 此题的第（）“ 如存在1,20, 4 使得f1g21成立,求 a 的取值范畴 . ” 如何懂得这一设问呢？假如函数fx 在x0,4的值域与 g x 在x0,4的值域的交集非空,就肯定存在1,20, 4 使得f1g21 成立,假如函数 fx 在x0,4的值域与 g x 在x0,4的值域的交集是空集,只要这两个值域的距离的最小值小于1 即可 . 由（）可得 , 函数 fx 在x0,4的值域为2 a33 e a6, 又 g x 在x0,4

33、的值域为2 a25,2 a254 e, 44存在1,20, 4 使得f1g 21成立,等价于fmaxxgminx1或g maxxfminx1,简洁证明 ,a225a6. 4于是 ,2 a25a61,0a3. 4a20.9. （1）对函数fx求导,得fx 4x216x72x1 2x72x 22x 2令f x 0解得x1或x7.22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 可以求得,当x,01时,fx 是减函数；当x11,时,fx是增函数 . 22名师归纳总结 当x0 1,时,fx的值域为4, 3 . 第 16 页,共 29 页（2）对函数g x 求导,得gx3 x2a2.由于a1,当x0 1, 时,gx31a20 .因此当x1,0 时,g x为减函数,从而当x0 1,时有gxg1 ,g0 .又g 112a3a2,g02a,即x01,时有g x 的值域为是12a3 a2, 2 .如 何 理 解 “任 给1x0 1,f1x4 ,3 , 存 在x00 1, 使 得gx 0fx1” ,实 际 上 , 这 等 价 于fx 值 域 是g x 值 域 的 子 集 , 即12a3 a2, 2 4, 3.这就变成一个恒成立问题,fx的最小值不小于g x 的最小值,fx的最大值不大于g x 的最大值即12a3 a2,42a3 .解式得a1 或a5；3解式得a3.