2022年高考数学复习名师知识点总结：数列求和及数列的综合应用...docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -数列求和及数列的综合应用【高考考情解读】高考对本节学问主要以解答题的形式考查以下两个问题：1.以递推公式或图、表形式给出条件,求通项公式,考查同学用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的才能,属中档题.2. 通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题, 考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用,属中档题1 数列求和的方法技巧 1 分组转化法 有些数列,既不是等差数列,也不是等比数列,如将数列通项拆开或变形,可转化为几个等差、等比数列或常见的数列,即先分别求和,然后再合并2 错位相减法这是在推导

2、等比数列的前n 项和公式时所用的方法, 这种方法主要用于求数列a n bn 的前 n 项和,其中 a n ,b n 分别是等差数列和等比数列3 倒序相加法这是在推导等差数列前n 项和公式时所用的方法, 也就是将一个数列倒过来排列 反序 ,当它与原数列相加时如有公式可提,并且剩余项的和易于求得,就这样的数列可用倒序相加法求和4 裂项相消法利用通项变形,将通项分裂成两项或n 项的差,通过相加过程中的相互抵消,最终只剩下有限项的和 这种方法,适用于求通项为1 anan1的数列的前 n 项和,其中a n 如为等差数列,就anan11an 1 an1. 常见的拆项公式：11 n1 n1；1 细心整理归纳

3、 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -11 k 1 n1 nk ；11 21 2n11 2n1 ；1nk1 knkn n2 数列应用题的模型 1 等差模型：假如增加 或削减 的量是一个固定量时,该模型是等差模型,增加 或削减 的量就是公差2 等比模型：假如后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比模型,这个固定的数就是公比3 混合模型：在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的模型4 生长模型：假如某一

4、个量,每一期以一个固定的百分数增加 或削减 ,同时又以一个固定的详细量增加 或削减 时,我们称该模型为生长模型如分期付款问题,树木的生长与砍伐问题等5 递推模型：假如简单找到该数列任意一项 的递推关an与它的前一项 an1 或前 n 项 间系式,我们可以用递推数列的学问来解决问题 . 考点一 分组转化求和法例 1 等比数列 an 中,a1,a2,a3 分别是下表第一、 二、三行中的某一个数,且 a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列 . 第一列 其次列 第三列第一行 3 2 10 其次行 6 4 14 第三行 9 8 18 1 求数列 a n 的通项公式；2 如数列 bn 满意： bn

5、an 1nln an,求数列 b n 的前 n 项和 Sn. 解1 当 a13 时,不合题意；当 a12 时,当且仅当 a26,a318 时,符合题意；2 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -当 a110 时,不合题意因此 a12,a26,a318. 所以公比 q3. 故 an2 3 n1 n N * 2 由于 bnan 1 nln a n2 3 n1 1 nln2 3 n1 2 3 n1 1 n

6、ln 2 n 1ln 3 2 3 n1 1 nln 2 ln 3 1 nnln 3 ,所以 Sn21 3 3 n1 111 1 n ln 2 ln 3 123 1 nnln 3. n当 n 为偶数时, Sn213 13n 2ln 3 3 nn 2ln 3 1；n当 n 为奇数时, Sn213 13ln 2 ln 3 n1 2n ln 3 3 nn1 2 ln 3 ln 2 1. 3 nn 2ln 3 1,n为偶数,综上所述, Sn3 nn12 ln 3 ln 2 1, n 为奇数 .在处理一般数列求和时,肯定要留意使用转化思想把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和,在求和时要分析清晰

7、哪些项构成等差数列,哪些项构成等比数列,清晰正确地求解在利用分组求和法求和时,由于数列的各项是正负交替的,所以一般需要对项数 n 进行争论,最终再验证是否可以合并为一个公式2022 安徽 设数列 a n 满意 a12,a2a48,且对任意 nN *,函数 fx anan1an2x an1cos x an2sin x 满意 f 20. 1 求数列 a n 的通项公式；2 如 bn2 an1 2an,求数列 b n 的前 n 项和 Sn. 3 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归

8、纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解1 由题设可得 f x anan1an2 an1sin x an2cos x ,又 f 20,就 anan22an10,即 2an1anan2,因此数列 a n 为等差数列,设等差数列 a n 的公差为 d,由已知条件a12 2a14d8,解得a12,d1,ana1n 1d n1. 2bn2 n1 1 2 n1 2n 1 1 2 n,Snb1b2 bnn 3n 11 2nn 23n11 2 n. 考点二 错位相减求和法例 2 2022 山东 设等差数列 a n 的前 n 项和为 Sn,且 S44S2,a2n2an

9、1. 1 求数列 an 的通项公式；2 如数列 b n 满意b1 a1b2 a2 bn an1 1 n,nN *,求b n 的前 n 项和 Tn. 解 1 设等差数列 an 的首项为 a1,公差为 d,S44S2,由 得 a11,d2,a2n2an1所以 an2n1nN * 2 由已知b1 a1b2 a2 bn an1 1 n,nN *,当 n2 时,b1 a1b2 a2 bn1 an11 1 n1,得：bn an 1 n,4 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品

10、学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -又当 n1 时,b1 a11 2也符合上式,所以bn an 1 nn N * ,所以 bn2n1 2 n N * 所以 Tnb1b2b3 bn1 2 3 25 2 3 2n1 2 . 2Tn 1 23 2 3 2n3 22n1 2 n1 . 两式相减得：2Tn1 2 2 222 3 22 n 2n123 2 1 n12n12 n1 . 所以 Tn32n3 2 . 错位相减法求数列的前n 项和是一类重要方法 在应用这种方法时,肯定要抓住数列的特点, 即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题设数

11、列 a n 满意 a12,an1an3 2 2n1. 1 求数列 an 的通项公式；2 令 bnnan,求数列 b n 的前 n 项和 Sn. 解 1 由已知,得当 n1 时,an1a n1an a nan1 a 2a1 a132 2n12 2n3 2 22 2n11. 而 a12,符合上式,所以数列 a n 的通项公式为 an2 2n1. 2 由 bnnann 2 2n1 知Sn1 22 2 33 2 5 n 2 2n1. 从而 2 2 S n1 232 253 27 n 22n1. 5 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共

12、20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -得 1 2 2Sn22 32 5 2 2n1n 2 2n1,即 Sn1 93n 12 2n12 考点三 裂项相消求和法例 3 2022 广东 设各项均为正数的数列 a n 的前 n 项和为 Sn,满意 4Sna n14n1,nN *, 且 a2,a5,a14构成等比数列21 证明： a24a15；2 求数列 an 的通项公式；3 证明：对一切正整数 n,有1 a1a2 1 a2a3 anan10,a24a15. 22 解 当 n2 时,4Sn1a n4n 1 1,

13、2 24an4Sn4Sn1a n1a n4,即 a n1a n4an4a n2 2,2 2又 an0,an1an2,当 n2 时, a n 是公差为 2 的等差数列又 a2,a5,a14成等比数列a2 5a2 a 14,即a 262a2 a 224 ,解得 a23. 由1 知 a11. 又 a2a1312,数列 a n 是首项 a11,公差 d2 的等差数列an2n1. 3 证明a1a2 1 a2a3 11anan11 1 31 3 51 5 7 1 2 11 3 1 31 5 1 2n112n11 2 12n1 0中, a13,此数列的前 n 项和为 Sn,对于全部大于 1 的正整数 n 都

14、有 SnfSn1 1 求数列 a n 的第 n1 项；2 如 bn是1 an1, 1 an的等比中项,且 Tn 为b n 的前 n 项和,求 Tn. 解 1 由于 x,2,3x 0 成等差数列,所以 22x3,整理,得 fx x3 2. 由于 SnfS n1n 2 ,所以 Sn Sn13 2,所以 SnSn13,即 SnSn13,所以 Sn 是以 3为公差的等差数列由于 a13,所以 S1a13,所以SnS1n 1333n33n. 所以 Sn3n 2n N * 所以 an1Sn1Sn3n 1 23n 26n3. 2 由于 bn是1 an1与 1 an的等比中项,所以 bn 21 an1an,1

15、所以 bn1 an1an117 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1 181 2n11 2n1,Tnb1b2 bn1 18 11 3 1 31 5 2n112n1 11 18 12n1118n9. n考点四 数列的实际应用例 4 2022 湖南 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产该企业第一年年初有资金 2 000 万元,将其投入生产, 到当年年底资金增长了 50%,估计以后每年资金年增长率

16、与第一年的相同公司要求企业从第一年开头,每年年底上缴资金 d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生产设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元1 用 d 表示 a1,a2,并写出 an1 与 an 的关系式；2 如公司期望经过 mm3 年使企业的剩余资金为 每年上缴资金 d 的值 用 m表示 1 由第 n 年和第 n 1 年的资金变化情形得出4 000 万元,试确定企业an 与 an1 的递推关系；2 由 an1与 an 之间的关系,可求通项公式,问题便可求解解 1 由题意得 a12 0001 50%d3 000 d,a2a11 50%d3 2a1d4 500 5 2d. an1an

17、1 50%d3 2and. 2 由1 得 an3 2an1d3 32an2d d 3 2 2an23 2dd3 2 n1a1d 13 2 3 2 3 2 n 2 . 整理得 an3 2 n13 000 d 2d 3 2 n113 2 n13 000 3d 2d. 8 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -由题意,知 am4 000 ,即3 2m13 000 3d 2d4 000 ,时,经过 mm3

18、年企业解得 d3m2 1 000m2 m1. 23 2m13 m2 m故该企业每年上缴资金d 的值为m2 m13 m2 m的剩余资金为 4 000 万元用数列学问解相关的实际问题,关键是合理建立数学模型数列 模型,弄清所构造的数列的首项是什么,项数是多少,然后转化为解数列问 题求解时,要明确目标,即搞清是求和,仍是求通项,仍是解递推关系问 题,所求结论对应的 是解方程问题,仍是解不等式问题,仍是最值问题,然 后进行合理推算,得出实际问题的结果某产品在不做广告宣扬且每千克获利a 元的前提下,可卖出 b 千克如做广告宣扬,广告费为 nnN * 千元时比广告费为 n 1 千元时多卖 出b 2 n千克

19、1 当广告费分别为 1 千元和 2 千元时,用 b 表示销售量 S；2 试写出销售量 S 与 n 的函数关系式；3 当 a50,b200 时,要使厂家获利最大,销售量 少？S 和广告费 n 分别应为多解 1 当广告费为 1 千元时,销售量 Sbb 23b 2 . 当广告费为 2 千元时,销售量 Sbb 2 b 27b 4 . 2 设 Snn N表示广告费为 n 千元时的销售量,由题意得 S1S0b 2,S2S1b 22, 9 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学

20、习资料 - - - - - - - - - - - - - - -SnSn1b 2 n. 以上 n 个等式相加得, SnS0b 2 b 2b 2 3 b 2 n,1即 SSnbb 2 b 2b 2 3 b 2 nb1 11 22 n1b2 1 2 n 来源 : 3 当 a50,b200 时,设获利为 Tn,就有TnSa1 000n 10 000 2 1 2 n 1 000n 1 000 2010 2 n n ,设 bn2010 2 nn,就 bn1bn2010 2 n1n12010 2 nn5 2 n1,当 n2 时, bn1bn0；当 n3 时, bn1bn0. 所以当 n3 时,bn取得最

21、大值,即Tn 取得最大值,此时S375,即该厂家获利最大时,销售量和广告费分别为375 千克和 3 千元1 数列综合问题一般先求数列的通项公式,这是做好该类题的关键 如是等差数列或等比数列,就直接运用公式求解,否就常用以下方法求解：1a nS1. SnSn12 递推关系形如 an1anfn ,常用累加法求通项3 递推关系形如an1 anfn ,常用累乘法求通项4 递推关系形如“ an1panqp 、q 是常数,且 p 1,q 0 ” 的数列求通项,此类通项问题, 常用待定系数法 可设 an1 pan ,经过比较,10 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - -

22、- - - 第 10 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -求得 ,就数列 an 是一个等比数列5 递推关系形如“ an1panq nq ,p 为常数,且 p 1,q 0 ” 的数列求通项,此类型可以将关系式两边同除以 q n转化为类型 4 ,或同除以 p n1 转为用迭加法求解2 数列求和中应用转化与化归思想的常见类型： 来源: 1 错位相减法求和时将问题转化为等比数 列的求和问题求解2 并项求和时,将问题转化为等差数列求和3 分组求和时,将问题转化为能用公式法或错位相减法或裂项相消法或并项

23、法求和的几个数列的和求解提示：运用错位相减法求和时,相减后,要留意右边的 n1 项中的前 n 项,哪些项构成等比数列,以及两边需除以代数式时留意要争论代数式是否为零3 数列应用题主要考查应用所学学问分析和解析问题的才能其中,建立数列模型是解决这类问题的核心,在试题中主要有： 一是,构造等差数列或等比数列模型, 然后用相应的通项公式与求和公式求解；二是,通过归纳得到结论,再用数列学问求解 . 11 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - -

24、- - - - - - - - - -1 在一个数列中,假如 . nN *,都有 anan1an2kk 为常数 ,那么称这个数列为等积数列,称k 为这个数列的公积已知数列an 是等积数列,且a11,a22,公积为 8,就 a1a2a3 a12_. 答案 28 解析 依题意得数列 a n 是周期为 3 的数列,且 a11,a22,a34,因此 a1a2a3 a124a1a2a3 4 1 24 28. 2 秋末冬初,流感盛行,特殊是甲型H1N1流感某医院近 30 天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列 a n ,已知 a11,a22,且 an2an1 1 nn N * ,就该医院 30 天入院治疗甲

25、流的人数共有 _答案 255 解析 由于 an2an1 1 n,所以 a1a3 a291,a2,a4, , a30构成公差为 2 的等差数列,所以 a1a2 a29a301515 215 14 2 2255. 3 已知公差大于零的等差数列18. a n 的前 n 项和 Sn,且满意： a2 a 465,a1a51 如 1i21 ,a1,ai,a21是某等比数列的连续三项,求 i 的值；n2 设 bnn,是否存在一个最小的常数 m使得 b1b2 bn0,a 2a4,a 25,a413. a1d5,a13d13,a 11,d4. a n4n3. 12 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - -

26、 - - - - - - - - - - 第 12 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -由于 1i21 ,a1,ai ,a21是某等比数列的连续三项,2a 1 a 21a i ,即 1 81 4i 32,解得 i 3. 4 2n 2n,2 由1 知,Snn 12所以 bn11 21 2n11 2n1,b1b2 bn1 2 11 31 31 5 2n112n112n1,n由于 2n11 211 2,所以存在 m1 2使 b1b2 bn0,S160,解析由于 S15S1616a1a16 28a8

27、a90,a90,S2 a20, , S8 a80,S9 a90,S10 a100, , S15 a150,而 S1S2 a2 a8,所以在S1 a1,S2 a2, , S15 a15中最大的是 S8 a8. 应选 B. 5 数列 a n 满意 a11,且对任意的 m,nN *都有 amnamanmn,就1 a11a2 1 a3 a2 012等于 A. 4 024 2 013 B.4 018 2 012 C.2 010 2 011 D.2 009 2 010答案 A 解析 令 m1 得 an1ann1,即 an1ann1,于是 a2a12,a3a23, , anan1n,上述 n1 个式子相加得

28、 ana123 n,所以 an123 n2,因此1 an22 1 n1 n1,所以1 a1 1 a2 1 a3 1 a2 0122 11 21 21 3 1 2 01212 01315 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2 12 0134 024 2 013 . 6 已知函数 fn 2 n为奇数,且 anfn fn 1 ,就 a1a22n为偶数a3 a 2 012 等于 C2 012 D2 0

29、11 A 2 012 B 2 011 答案C 2 2n 1 ；解析当 n 为奇数时,anfn fn 1 n 2n 1当 n 为偶数时,anfn fn 1 n 2n 1 22n1. 所以 a1a2a3 a2 0122 1234 2 011 2 012 2 012. 二、填空题7 数列 a n 中,已知对任意 nN *,a1a2a3 an3 n1,就 a 1a 22 22 2a 3 a n_. 1答案 29 n1 解析a1a2a3 an3 n1,a 1a2a3 an13 n11n2 就 n2 时,两式相减得, an2 3 n1. 当 n1 时, a1312,适合上式,a n2 3 n1n N *

30、a n4 9 n1,22就数列 a n 是首项为 4,公比为 9 的等比数列n2 2 2 29a 1a 2a 3 a n191 29 n1 16 8 设数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 an为复数 isin 2cos 2 n N *细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -的虚部,就 S2 013_. 答案 1 来源: 数理化网 解析 由已知得： ansin n 2 n N * ,a 11,a20,a3 1,a40,故an 是以 4 为周期的周期数列,S 2 013S503 4 1S1a11. 9 已知数列 an 满意 3an1an4n1 且 a19,其前 n 项之和为 Sn,就满意不等式 |S nn6| 1