2022年怀化学院省级精品课程-高等代数教案：第三章线性方程组.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第三章 线性方程组 1 消元法一、线性方程组的初等变换现在争论一般线性方程组 .所谓一般线性方程组是指形式为a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n b 1 ,a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 ,1 a s 1 x 1 a s 2 x 2 a sn x n b s的 方 程 组 , 其 中 x 1 , x 2 , , x n 代 表 n 个 未 知 量 , s 是 方 程 的 个 数 ,aij i ,1 ,2 , s ; j ,1 2 , , n 称为线性方程组的系数,b j j ,1 ,2 , s

2、称为常数项 .方程组中未知量的个数 n 与方程的个数 s 不肯定相等 .系数 a 的第一个指标 i 表示它在第 i 个方程,其次个指标 j 表示它是 jx 的系数 . 所 谓 方 程 组 1 的 一 个 解 就 是 指 由 n 个 数 k 1 , k 2 , , k n 组 成 的 有 序 数 组 k 1 , k 2 , , k n ,当 x 1 , x 2 , , x n 分别用 k 1 , k 2 , , k n 代入后, 1中每个等式都变成恒等式 . 方程组 1的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解,或者说,求出它的解集合 .假如两个方程组有相同的解集合,它们就称为同

3、解的 . 明显,假如知道了一个线性方程组的全部系数和常数项,那么这个线性方程组就基本上确定了 .准确地说,线性方程组 1可以用下面的矩阵a11a12a1 nb 12 1就确定了,a21a22a2nb2as 1as 2asnbs来表示 .实际上,有了2之后,除去代表未知量的文字外线性方程组而采纳什么文字来代表未知量当然不是实质性的 消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组.在中学所学代数里学过用加减 .实际上,这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性 .下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组 . 例如,解方程组名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 41 页精选学习资料 -

4、 - - - - - - - - 2x 1x23x31,4x 12x 25x34,2x 1x22x35.其次个方程组减去第一个方程的其次个方程减去第三个方程的2 倍,第三个方程减去第一个方程,就变成2x 1x23x31,4x2x 32,2x2x34.2 倍,把其次第三两个方程的次序互换,即得2x 12x23x 31,.x 2x 34,x36这样,就简洁求出方程组的解为（9,-1,-6）. 分析一下消元法, 不难看出,它实际上是反复地对方程组进行变换,而所用的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：1. 用一非零数乘某一方程；2. 把一个方程的倍数加到另一个方程；3. 互换两个方程的位置 . 定义

5、 1 变换 1,2,3 称为线性方程组的初等变换 . 二、线性方程组的解的情形消元的过程就是反复施行初等变换的过程 组变成同解的方程组 . .下面证明,初等变换总是把方程下面我们来说明,如何利用初等变换来解一般的线性方程组 . 对于方程组 1,第一检查 1x 的系数 .假如 x 的系数 a 11 , a 21 , , a s 1 全为零,那么方程组 1对 x 没有任何限制,x 就可以取任何值,而方程组 1 可以看作x 2 , , x n 的方程组来解 .假如 1x 的系数不全为零,那么利用初等变换 3,可以设a 11 0 .利用初等变换 2,分别把第一个方程的 ai 倍加到第 i 个方程 i

6、2 , , n .a 11于是方程组 1就变成名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - a11x 1a 12x2a1nxnb 1,a22x2a2nxnb 2,3 as 2x2asnxnb s,其中a ija ija i1a 1j,i2,s,j2,na 11这样,解方程组 1的问题就归结为解方程组a22x 2a2nxnb 2,4 as 2x 2asnxnb n的问题 .明显4的一个解,代入 3的第一个方程就定出1x 的值,这就得出 3的一个解；3的解明显都是 4的解 .这就是说, 方程组 3有解的充要条件为方程组 4 有解,

7、而 3与1是同解的,因之,方程组 1有解的充要条件为方程组 4有解. 对4再按上面的考虑进行变换,并且这样一步步作下去,最终就得到一个 阶梯形方程组 .为了争论起来便利,不妨设所得的方程组为其中cii0,ic 11x 1c 12x 2c 1rxrc 1nxnd 1,c22x 2c 2rxrc2nx nd2,c rrxrc rnx ndrr,1,5 ,12,r.方程组 5中的“0d00,00.0=0” 这样一些恒等式可能不显现,也可能显现,这时去掉它们也不影响 现在考虑 5的解的情形 . 5的解 .而且 1与5是同解的 . 如5中有方程0rd1,而dr10.这时不管x 1,x2,x n取什么值都

8、不能使它成为等式 .故5无解,因而 1无解 . 名师归纳总结 当dr1是零或 5中根本没有“0=0” 的方程时,分两种情形：第 3 页,共 41 页1）rn.这时阶梯形方程组为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - c 11x1c 12x 2c1 nxnd1,其中cii0,i,12,nc22x2c2nxnx nd2,x 16 cnnxndn,的值就可以逐个地唯.由最终一个方程开头,x n,1,一打算了 .在这个情形,方程组 6也就是方程组 1有唯独的解 . 例 1 解线性方程组2 x 1 x 2 3 x 3 1 ,4 x 1 2 x 2 5 x 3 4 ,2

9、 x 1 x 2 2 x 3 5 .2）r n .这时阶梯形方程组为c 11 x 1 c 12 x 2 c 1 r x r c ,1 r 1 x r 1 c 1 n x n d 1 ,c 22 x 2 c 2 r x r c 2 , r 1 x r 1 c 2 n x n d 2 ,c rr x r c r , r 1 x r 1 c rn x n d r ,其中 cii 0 , i ,1 2 , , r .把它改写成c 11 x 1 c 12 x 2 c 1 r x r d 1 c 1 , r 1 x r 1 c 1 n x n ,c 22 x 2 c 2 r x r d 2 c ,2 r

10、1 x r 1 c 2 n x n ,7 c rr x r d r c r , r 1 x r 1 c rn x n .由此可见,任给 x r 1 , , x n 一组值,就唯独地定出 x 1 , x 2 , , rx 的值,也就是定出方程组 7的一个解 .一般地,由 7我们可以把 x 1 , x 2 , , rx 通过 x r 1 , , x n 表示出来,这样一组表达式称为方程组 1的一般解 ,而 x r 1 , , x n 称为一组 自由未知量 .例 2 解线性方程组名师归纳总结 2x1x 23x 31,5的样子,但第 4 页,共 41 页4x12x25x 34,2x1x24x31.从这

11、个例子看出,一般线性方程组化成阶梯形,不肯定就是是只要把方程组中的某些项调动一下,总可以化成5的样子 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 以上就是用消元法解线性方程组的整个过程.总起来说就是,第一用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组,把最终的一些恒等式“0=0” 假如显现的话 去掉 .假如剩下的方程当中最终的一个等式是零等于一非零的数,那么方程组无解,否就有解 .在有解的情形下, 假如阶梯形方程组中方程的个数 r 等于未知量的个数,那么方程组有唯独的解；假如阶梯形方程组中方程的个数 r 小于未知量的个数,那么方程组就有无穷多个解 . 定理 1 在齐次

12、线性方程组中,假如sna 11x1a12x2a 1nxn0,a21x1a22x2a 2nxn0,as 1x1as 2x2asnxn0,那么它必有非零解 . 矩阵a 11a12a 1nb 110a21a22a2nb2as 1as2asnbs称为线性方程组 1的增广矩阵 .明显,用初等变换化方程组1成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵 10成阶梯形矩阵 .因此,解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进行, 而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解仍是无解,在有解的情形,回到阶梯形方程组去解 . 例 3 解线性方程组名师归纳总结 2x 12x23x31,第 5 页,共 41 页4x 1x25x 3

13、4,2x 1x 24x30.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 n 维向量空间定义 2所谓数域 P 上一个 n维向量就是由数域P 中 n 个数组成的有序数组a 1,a 2,an1 ia 称为向量 1的重量 . 用小写希腊字母,来代表向量 . 定义 3 假如 n 维向量a 1,a2,a n, b 1,b 2,b n的对应重量都相等,即a i b i i ,1 2 , , n . 就称这两个向量是相等的,记作 . n 维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的 . 定义 4 向量a 1b 1,a2b 2,a nb n称为向量a 1,a2,a n,

14、 b 1,b 2,b n的和,记为由定义立刻推出：交换律：. . 2 结合律：3 定义 5 重量全为零的向量名师归纳总结 0 ,0,0a 1,a2,a n的负向量,第 6 页,共 41 页称为零向量,记为0;向量a 1,a2,an称为向量记为. 0. 4 明显对于全部的,都有0. 5 25是向量加法的四条基本运算规律. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 定义 6 定义 7 设 k 为数域 P 中的数,向量称为向量 a 1,a2,a nka 1,ka 2,ka nk与数 k 的数量乘积,记为由定义立刻推出：kklkk, , 6 7 kkllkl, 8 1

15、. 9 69是关于数量乘法的四条基本运算规章.由69或由定义不难推出：假如k0,000, , 10 1 011 . k012 ,那么0. 13 k定义 8 以数域 P 中的数作为重量的 n 维向量的全体,同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法,称为数域P 上的 n 维向量空间 . 在 n 3 时, 3 维实向量空间可以认为就是几何空间中全体向量所成的空间 . 以上已把数域 P 上全体 n维向量的集合组成一个有加法和数量乘法的代数结构,即数域 P 上 n 维向量空间 . 向量通常是写成一行：a 1,a2,a n. 有时也可以写成一列：名师归纳总结 a1. 第 7 页,共 41 页a2. an为

16、了区分,前者称为行向量,后者称为列向量；它们的区分只是写法上的不同- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3 线性相关性一般向量空间除只有一个零向量构成的零空间外,都含有无穷多个向量, 这些向量之间有怎样的关系,对于弄清向量空间的结构至关重要；一、线性相关与线性无关两个向量之间最简洁的关系是成比例. 所谓向量与成比例就是说有一数k 使的数定义 9 向量称为向量组1,2,k. 的一个线性组合,假如有数域P 中,sk 1,k 2,ks,使其中k 11k22. kss, k 1,k 2,ks叫做这个线性组合的系数例如,任一个 n 维向量a 1,a2,a n都是向量

17、组1,10,0 ,（1）201,0 ,n0,0,1, 的一个线性组合 . 向量 1 , 2 , , n 称为 n 维单位向量 . 零向量是任意向量组的线性组合 . 当向量 是向量组 1 , 2 , , s 的一个线性组合时,也说 可以经向量组1 , 2 , , s 线性表出 . 定义 10 假如向量组 1 , 2 , , t 中每一个向量 i i 1 , 2 , , t 都可以经向量 组 1 , 2 , , s 线 性 表 出 , 那 么 向 量 组 1 , 2 , , t 就 称 为 可 以 经 向 量 组1 , 2 , , s 线性表出 . 假如两个向量组相互可以线性表出,它们就称为等价

18、. 由定义有,每一个向量组都可以经它自身线性表出. 同时,假如向量组名师归纳总结 1,2,t可以经向量组1,2,s线性表出,向量组1,2,s可以经向量第 8 页,共 41 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 组1,2,p线性表出,那么向量组1,2,t可以经向量组线性表出 . 向量组之间等价具有以下性质：1,1）反身性：每一个向量组都与它自身等价. 2 ）对称性：假如向量组1,2,s与1,2,t等价,那么向量组2,t与1,2,s等价. 1,3）传递性：假如向量组1,2,s与1,2,t等价,1,2,t与2,p等价,那么向量组1,2,s与1,2,p等价. 例

19、 1 判定向量能否由向量组1,2,3线性表出,如能,写出它的一个线性组合解：2,1,3,4 ,11,2, 3,1,25, 5,12,11,31, 3,6,3设k 11k 22k 33,即有方程组：k 15k 2k322k 15k223 k331（1）3 k112k6 k3k 111 k 23k 34对方程组（ 1）的增广矩阵作初等行变换化为最简行阶梯阵A15121512151215213 13 1253101555031101312630279900003 03 00011134062200000000所以方程组（ 1）有解名师归纳总结 令（1）的一般解为：k 12k311,k 为自由求知量第

20、 9 页,共 41 页33k21 3k 3313. k 31,得（ 1）的一个特解（ 1,0,1）,从而有例 2：向量组1,1 0 ,21,0与向量组1 1,1 ,23,1 等价. 解：设1 0,1 k 11k22k 1,k 1k 2, 3 k2k 1k 2,k 13 k2k1k221,kk131,故13112. 2k 13 k02222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设21,0k 11k 22, 1k 1 k 2 0,k 12,故 1 11 12 . k 1 3 k 2 1 k 2 1 2 22又 1 1 2 , 2 1 3 2 , 故这两个向量组

21、等价定义 11 假如向量组 1 , 2 , , s s 2 中有一个向量是可以由其余的向量的线性表出,那么向量组 1 , 2 , , s 线性相关 . 从定义可以看出,任意一个包含零向量的向量组肯定是线性相关的 . 向量组1, 2 线性相关就表示 1 k 2 或者 2 k 1 这两个式子不肯定能同时成立 .在 P 为实数域, 并且是三维时, 就表示向量 1与 2共线 . 三个向量 1 , 2 , 3 线性相关的几何意义就是它们共面 . 定义 11向量组 1 , 2 , , s s 1 称为线性相关的,假如有数域 P 中不全为零的数 k 1 , k 2 , , sk,使k 1 1 k 2 2 s

22、k s 0这两个定义在 s 2 的时候是一样的 . 定义 12 一向量组 1 , 2 , , s s 1 不线性相关,即没有不全为零的数k 1 , k 2 , , k s,使k 1 1 k 2 2 sk s 0就称为线性无关；或者说,一向量组 1 , 2 , , s 称为线性无关,假如由k 1 1 k 2 2 sk s 0可以推出k 1 k 2 k s 0由定义有,假如一向量组的一部分线性相关,那么这个向量组就线性相关 .换句话说,假如一向量组线性无关, 那么它的任何一个非空的部分组也线性无关 .特殊地, 由于两个成比例的向量是线性相关的,不能包含两个成比例的向量 .所以,线性无关的向量组中肯

23、定名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 定义 11 包含了由一个向量组构成的向量组的情形 相关,单独一个非零向量线性无关 . . 单独一个零向量线性不难看出,由 n 维单位向量1,2,n组成的向量组是线性无关的. 详细判定一个向量组是线性相关仍是线性无关的问题可以归结为解方程组 的问题 . 要判定一个向量组ia i1,a i2,a ini1 ,2,s 2 是否线性相关,依据定义11,就是看方程0 3 x 11x 22sxs有无非零解 .3 式按重量写出来就是因之,向量组a11x 1a21x2as 1xs0,4 只有零

24、解 . a12x 1a22x2as2xs0, 4 a1 nx 1a2nx2asnxs0.1,2,s线性无关的充要条件是齐次线性方程组例 3判定3 P 的向量1,12 3, ,2,1,2 0 ,3 ,1,7 9 是否线性相关；例 4在向量空间P x里,对于任意非负整数n,1x ,x2,xn线性无关 . 例 5 如向量组1,2,3线性无关,就向量组212,253,4331也线性无关 . 线性相关性的有关性质1）单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量；仅当它是非零向量2 两个向量1,2线性相关1,2成比例单独一个向量线性无关当且3）一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性 表出

25、名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4）一个向量组中如部分向量线性相关,就整个向量组也线性相关；一个向量组如线性无关,就它的任何一个部分组都线性无关（由定义即可得之）5）假如向量组 1 , 2 , , s线性无关, 而向量组 1 , 2 , , s , 线性相关,就可经向量组 1 , 2 , , s线性表出（P155 习题 3）6）向量组 i a i 1 , a i 2 , , a in , i 1,2, , s线性无关的充要条件是齐次线性方程组只有零解；向量组ia 11x1,a21x2,a in,as 1xs00

26、,（2）a 12x 1a22x 2as 2x sa 1nx 1a2 nx2asnx s0s线性相关的充要条件是齐次线 a i1a i2,i1,2,性方程组（ 2）有非零解名师归纳总结 特殊地：向量组ia i 1,a i2,a in,i1,2,n线性无关行列式ija0；第 12 页,共 41 页向量组i a i1,a i2,a in,i1,2,n 线性相关行列式aij07）如向量组i a i1,a i2,a in,i1,2,s线性无关,就向量组i a i1,a i2,a in,a i n1,i1,2,s也线性无关 （向量 组1,2,s常 称为向 量 组1,2,s的 延 伸 组 , 而1,2,s称

27、为1,2,s的缩短组 ）反之,如向量组1,2,s线性相关,就向量组1,2,s也线性相关a11x 1a21x2as1xs0因（2）仅有零解,a12x 1a22x 2as2x s0,也仅有零解a1 nx 1a2 nx 2asnxs0a1 n1x 1a2 n1x2asn1xs0定理 2 设1,2,r与1,2,s是两个向量组 . 假如1）向量组1,2,r可以经1,2,s线性表出,2）rs,那么向量组1,2,r必线性相关 . s证：由 1,有itjijt1 i1t2i2tsis,i,1 2 ,rj1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 要证1,2,r线性相关,即证有

28、不全为0 的数k k 2,k ,使k 11k 22krr0（*）（3）rrs作线性组合x 11x22xrxix itj iji1i1j1x 1t 111t212st 1sx 2 t 121t222st 2sx r t 1r1t2r2tsrsrssrxtjijx tjiji1j1j1i1t 11x 1t12x 2t1 rx r1t21x 1t22x 2t2rxr2ts 1x 1ts 2x 2tsrx rs如存在不全为 0 的数x x 1 2,x ,rt x1 t x122t xr0 1作齐次线性方程组t x 2 11 t x222t x rr0 2t x1tsx22t xr0k 1,k2,rk假

29、如（3）有非零解k 1,k2,rk,由（ *）式,就存在不全为 0 的数使：名师归纳总结 k11k 22rkr0,第 13 页,共 41 页就向量组1,2,r线性相关而在（ 3）中方程的个数 s未知量的个数 r,所以（ 3）有非零解从而1,2,r线性相关推论 1 假如向量组1,2,r可以经向量组1,2,s线性表出,且1,2,r线性无关,那么rs. 推论 2 任意n1个 n 维向量必线性相关 . 任意n1个n维向量1,2,n可 由单位向 量1,2,n线 性表示,n1 n ,由定理 2,1,2,n必线性相关- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 推论 3 两个线

30、性无关的等价的向量组,必含有相同个数的向量 . （反之不然即含向量个数相同的两个线性无关的向量组未必等价反例 ：向量组 1 ,1,0 0 , 2 0 1,1, 与向量组 1 ,1,0 0 , 2 ,1 10 均为含两个向量的线性无关向量组,但它们不等价 ）定理 2 的几何意义是清晰的：在三维向量的情形,假如 s 2,那么可以由向量 1, 2 线性表出的向量当然都在 1, 2 所在的平面上,因而这些向量是共面的,也就是说,当 r 2 时,这些向量线性相关 . 两个向量组 1, 2 与 1, 2 等价,就意味着它们在同一平面上 . 二、极大线性无关组定义 13 一向量组的一个部分组称为一个极大线性

31、无关组,假如这个部分组本身是线性无关的, 并且从这个向量组中任意添一个向量 的部分向量组都线性相关 . 假如仍有的话 ,所得一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身 . 极大线性无关组的一个基本性质是, 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价 . 例 6看3 P 的向量组32,1,0 0 ,3 0,1,1 ,2是一个极大线性无1 0,1 0, ,在这里1,2线性无关,而312,所以1,关组 . 另一方面,1,3,2,也都是向量组12,3的极大线性无关组 . 由上面的例子可以看出,向量组的极大线性无关组不是唯独的 . 但是每一个极大线性无关组都与向量组本身等价,组都是等价的 . 因

32、而,一向量组的任意两个极大线性无关定理 3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量 . 定理 3 说明,极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的挑选无名师归纳总结 关,它直接反映了向量组本身的性质. 因此有. 第 14 页,共 41 页定义 14 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩一向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量的个数相同. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 每一向量组都与它的极大线性无关组等价. 由等价的传递性可知,任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价 . 所以,等价的向量组必有相同的秩 . 如向量组 1 , 2 , , r可经向量组 1 , 2 , , s线性表出,就秩 1 , 2 , r 秩 1 , 2 , s. 证明：因的极大无关组 1