2022年高中数学解题基本方法之数学归纳法.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载五、数学归纳法归纳是一种有特别事例导出一般原理的思维方法；归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种； 不完全归纳推理只依据一类事物中的部分对象具有的共同性质,推断该类事物全体都具有的性质,这种推理方法, 在数学推理论证中是不答应的；完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来；数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法,在解数学题中有着广泛的应用；它是一个递推的数学论证方法,论证的第一步是证明命题在 n1 或 n 0 时成立, 这是递推的基础； 其次步是假设在n k 时命题成立, 再证明 n

2、 k1 时命题也成立,这是无限递推下去的理论依据,它判定命题的正确性能否由特别推广到一般,实际上它使命题的正确性突破了有限,达到无限；这两个步骤亲密相关,缺一不行,完成了这两步,就可以肯定“ 对任何自然数（或nn 0 且 nN）结论都正确” ；由这两步可以看出,数学归纳法是由递推实现归纳的,属于完全归纳；运用数学归纳法证明问题时,关键是n k1 时命题成立的推证,此步证明要具有目标意识, 留意与最终要达到的解题目标进行分析比较,以此确定和调控解题的方向,使差异逐步减小,最终实现目标完成解题；运用数学归纳法,可以证明以下问题：与自然数 等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等；、再现性题组：n

3、有关的恒等式、代数不等式、三角不1. 用数学归纳法证明 n 1n 2 n n 2 n 1 2 2n 1 （nN）,从“k到 k1” ,左端需乘的代数式为 _； A. 2k 1 B. 22k1 C. 2 k 1 D. 2 k 3k 1 k 12. 用数学归纳法证明 111 n 1 1 时,由 nk k1 不等式成2 3 2 1立,推证 nk 1 时,左边应增加的代数式的个数是 _； A. 2 k 1 B. 2 k 1 C. 2 k D. 2 k 1 3. 某个命题与自然数 n 有关,如 nk kN时该命题成立,那么可推得 nk 1 时该命题也成立； 现已知当 n5 时该命题不成立, 那么可推得

4、_； 94 年上海高考 A. 当 n6 时该命题不成立 B. 当 n6 时该命题成立 C. 当 n4 时该命题不成立 D. 当 n4 时该命题成立4. 数列 a n 中,已知 a1 1,当 n2 时 a n a n 1 2n1,依次运算 a 2 、a 3 、a 4 后,猜想 a n 的表达式是 _；名师归纳总结 34k A. 3n 2 B. n2 C. 3n 1 D. 4n 3 第 1 页,共 6 页5. 用数学归纳法证明34n252n1 nN能被14 整除,当nk 1 时对于式子1 252k1 1应变形为 _；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学

5、习资料 欢迎下载6. 设 k 棱柱有 fk 个对角面,就 k1 棱柱对角面的个数为fk+1 fk _；【简解】 1 小题： n k 时,左端的代数式是 k 1k 2 k k,n k1 时,左端的 2 k 1 2 k 2 代数式是 k 2k 3 2k 12k 2 ,所以应乘的代数式为,选 B；k 12 小题：（ 2 k 1 1）（ 2 k 1） 2 k ,选 C；3 小题： 原命题与逆否命题等价,如 nk1 时命题不成立, 就 n k 命题不成立, 选 C；4 小题：运算出 a 1 1、a 2 4、 a 3 9、a 4 16 再猜想 a n ,选 B；5 小题：答案（ 3 4 k 25 2 k

6、1）3 k 5 2 k 1（5 2 3 4 ）；6 小题：答案 k1；、示范性题组：81 8n例1. 已知数列1 23 2,得, , 2 n 1 2 2 n 1 2, ；S n 为其前 n 项和, 求 S1、S2 、S3 、S4 ,估计 S n 公式,并用数学归纳法证明；（93 年全国理）【解】运算得 S1 8,S2 24,S3 48,S 4 80,9 25 49 812推测 S n 2 n2 n 1 1 2 1 nN；当 n1 时,等式明显成立；名师归纳总结 假设当 nk 时等式成立,即：S k 2kk1 221,第 2 页,共 6 页21 当 nk1 时, S k 1 Sk 2k82k1

7、3 21 2k2kk1 2212k82k1 3221 1 2k2k1 22kk3222kk3 228k1 21 23 2k1 22k3 22k1 22k3 221, 2 k1 22 k3 22 k3 由此可知,当nk1 时等式也成立；综上所述,等式对任何nN都成立；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【注】把要证的等式优秀学习资料1欢迎下载2k 32,再S k 1 2kk3 22作为目标,先通分使分母含有23 考虑要约分, 而将分子变形, 并留意约分后得到（2k3）2 1；这样证题过程中简洁一些,有效地确定了证题的方向；此题的思路是从试验、观看动身, 用

8、不完全归纳法作出归纳猜想,再用数学归纳法进行严格证明,这是关于探干脆问题的常见证法,在数列问题中常常见到；假如猜想后不用数学归纳法证明,结论不肯定正确,即使正确,解答过程也不严密；必需要名师归纳总结 进行三步：试值 猜想 证明；第 3 页,共 6 页【另解】用裂项相消法求和：由 a n 2n8nn1 22n11 22n11 2得,1 22S n （ 11 2）（31 2 1 2） 3 52n11 22n11 212n11 22nn1 221；21 此种解法与用试值猜想证明相比,过程非常简洁,但要求发觉2n1 8nn1 2222n11 22n11 2的裂项公式；可以说,用试值猜想证明三步解题,具

9、有一般性；例 2. 设 a n 1223 n n1 nN, 证明：1 2nn 1a n 1 2n 12 ；【分析】与自然数n 有关,考虑用数学归纳法证明；n1 时简洁证得, nk1 时,因为a k 1 a k k1 k2 , 所 以 在 假 设n k成 立 得 到 的 不 等 式 中 同 时 加 上k1 k2 ,再与目标比较而进行适当的放缩求解；【解】当 n1 时, a n 2 ,1 2nn+1 1 2,1 2 n+12 2 , n 1 时不等式成立；假设当 nk 时不等式成立,即：1kk 1a k 1 2 k 12,21当 nk1 时,1 2kk 1 k 1 k 2 a k 1 12 2k1

10、 k2 , k2 1 2k 1k 2 ,kk 1 k1 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1k 12 k1 k优秀学习资料欢迎下载2 1k 12 k 3 2 1 2k2 1 2k 12 k23 k2222,n所以1 2k 1k 2 ak 1 2k 22 ,即 nk1 时不等式也成立；综上所述,对全部的n N,不等式1 2nn 1a n n 可得, a n 123 n12nn 1 ；由 n n 1 n12 可得, a n 1 23 n1 2 n12nn 1 12 n12n 2 2n12n 1 2 ；所以12 nn 1a n n n1且 nN名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页