高考-圆锥曲线中的定点与-定值问题(题型分析总结超全~).doc

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1、|专题 08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1 【陕西省榆林市第二中学 2018 届高三上学期期中】已知椭圆 的左右焦点分别为，离心率为 ；圆 过椭圆 的三个顶点.过点 且斜率不为 0 的直线与椭圆交于 两点.（）求椭圆的标准方程；（）证明：在轴上存在定点 ，使得 为定值；并求出该定点的坐标.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（）设圆 过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得 ，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（）设直线的方程为 ，将方程与椭圆方程联立求得 两点的坐标，计算得 。设 x 轴上的定点为 ，可得，由定值可得需满足 ，解得 可得定点坐标。解得 。椭圆的标准方程为

2、.（）证明：由题意设直线的方程为 ，由 消去 y 整理得 ，设 ， ，|要使其为定值，需满足 ，解得 .故定点 的坐标为 .点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意2 【四川省成都市第七中学 2017-2018 学年高二上学期半期考】已知斜率为 k的直线 l经过点 1,0与抛物线 2:Cypx（ 0,为常数）交于不同的两点 ,MN，当 12时，弦 MN的长为 45.（1）求抛物线 的标准方程；（2

3、）过点 M的直线交抛物线于另一点 Q，且直线 经过点 ,B，判断直线 Q是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】 （1） 24yx;（2）直线 N过定点 1,4【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案；（2）由（1）可设 221,ttt，则 12MNkt，则 1:0Nxty；同理： 22MQtt11:2t.由 ,0在直线 上 t（1） ；由 在直线 上 20t将（1）代入 1212tt （2）将（2）代入 NQ方程 124xtyt，即可得出直线 NQ过定点|（2）设 2221,MtNtQt，则 12=MNtkt，则 1:yxt即 110yt；同理： 220Q

4、yt；11:2Nxt.由 ,0在直线 MN上 t，即 1t（1） ；由 在直线 上 20将（1）代入 1212tt （2）将（2）代入 Q方程 124xtyt，易得直线 NQ过定点 ,43 【四川省成都市第七中学 2017-2018 学年高二上学期半期考】已知抛物线 :0Cymx过点1,， P是 C上一点，斜率为 的直线 l交 C于不同两点 ,AB（ l不过 P点） ，且 AB的重心的纵坐标为 .（1）求抛物线 的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线 ,AB的斜率分别为 12,k，求 12k的值.【答案】 （1）方程为 24yx;其焦点坐标为 ,0（2） 120【解析】试题分析;（1）将 ,代入

5、 ymx，得 4，可得抛物线 C的方程及其焦点坐标；（2）设直线 l的方程为 b，将它代入 得 20bx（ ） ，利用韦达定理，结合斜率公式以及 PAB的重心的纵坐标 3，化简可 12k 的值；|因为 PAB的重心的纵坐标为 23，所以 12py，所以 py，所以 1px，所以 12112 yxkx，又 121yyx21bbx121x0.所以 120k.4已知椭圆2:()xyCab的短轴端点到右焦点 10F， 的距离为 2（）求椭圆 的方程；（）过点 F的直线交椭圆 于 AB， 两点，交直线 4lx： 于点 P，若 1AF，2PB，求证： 12为定值【答案】(1) 243xy;(2)详见解析.

6、【解析】试题分析：（）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（）联立直线和椭圆的方程，得到关于 或 的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.（）由题意直线 AB过点 1,0F，且斜率存在，设方程为 1ykx,将 4x代人得 P点坐标为 43k， 由2 13yk，消元得 22840x，设 1,Axy， 2,Bxy，则 0且21223 4kx， 方法一：因为 1PF，所以 11PAF. 同理 224Bx，且 1x与 24异号， 所以 1212 123x|1232x 22286434kk0. 所以， 12为定值 .当 12x时，同理可得 120. 所以， 为定值 0.|同理 2

7、23PBmyF，且 1y与 23my异号， 所以 11212 2 3609m. 又当直线 AB与 x轴重合时， 12， 所以， 12为定值 .【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于 x或 y的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线 AB过点 1,0F，在设方程时，往往设为xmy0，可减少讨论该直线是否存在斜率. 5 【四川省绵阳南山中学 2017-2018 学年高二上学期期中考】设抛物线 C： 24y， F为 C的焦点，过 F的直线 l与 C相交于 ,AB两点.（1）设 的斜率为 1，求 ；（2）求证： O是一个定值.【答案】(1) 8（

8、2）见解析【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；|（2）证明：设直线 l的方程为 1xky，由 1 4xky得 240 12， 1y2,OABx， 11212ky，212443kyy， AB是一个定值.点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成 1xky也给解题带来了方便.6 【内蒙古包头市第三十三中 2016-2017 学年高一下学期期末】

9、已知椭圆 C: 21(0,)xyab的离心率为 3,右焦点为( 2,0).(1)求椭圆 C 的方程; (2)若过原点 作两条互相垂直的射线,与椭圆交于 A,B 两点,求证:点 O 到直线 AB 的距离为定值.【答案】(1) 21xy,(2) O 到直线 AB 的距离为定值 32.【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出 a， b， c；（2）对于 AB 有无斜率进行讨论，设出 A， B 坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；|有 OA OB 知 x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m)=(1+k2) x1x2+k m(x1+x2)=0 代入,得 4

10、 m2=3 k2+3 原点到直线 AB 的距离 3d ， 当 AB 的斜率不存在时, y ,可得, 13d 依然成立.所以点 O 到直线 的距离为定值 2 . 点睛： 本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法设而不求，套用公式解决7 【四川省成都市石室中学 2017-2018 学年高二 10 月月考】已知双曲线 210xybaa渐近线方程为 3yx， 为坐标原点，点 3,M在双曲线上（）求双曲线的方程；（）已知 ,PQ为双曲线上不同两点，点 O在以 PQ为直径的圆上，求 22OPQ的值【答案】 （）216xy；（） 22113.【解析】试题分析：

11、（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点 M 的坐标求得参数即可；（2）由条件可得 OP，可设出直线 ,P的方程，代入双曲线方程求得点 ,的坐标可求得23Q。|（）由题意知 OPQ。设 直线方程为 ykx，由21 6xyk，解得2263 ky， 222261| 33OPxkk。由 Q直线方程为 1yx.以 代替上式中的 ，可得222266| 3113k。 22222 1+=366kkOPQ。 8 【湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学 2018 届高三上学期两校期中联考】已知椭圆 E: 21(0)xyab经过点 P(2,1)，且离心率为 2（）求椭圆的标准方程；（）设 O 为坐标

12、原点，在椭圆短轴上有两点 M， N 满足 O，直线 PM、 PN 分别交椭圆于 A， B探求直线 AB 是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由【答案】 （1）218xy；（2）直线 AB 过定点 Q（0，2）.【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何性质得到椭圆方程；（2）先由特殊情况得到结果，再考虑一般情况，联立直线和椭圆得到二次函数，根据韦达定理，和向量坐标化的方法，得到结果。|x1+x2= 84kt， x1x2= 48tk， 又直线 PA 的方程为 y1= 1（ x2） ，即 y1= 12kxt（ x2） ，因此 M 点坐标为（0， 12t） ，同理可知： N

13、（ 0， 2kt） ，当且仅当 t=2 时，对任意的 k 都成立，直线 AB 过定点 Q（0，2）. 9 【广西桂林市第十八中学 2018 届高三上学期第三次月考】已知椭圆 2:10xyCab的左，右焦点分别为 12,F.过原点 O的直线 与椭圆交于 ,MN两点，点 P是椭圆 上的点，若 14PMNk，10NM，且 1N的周长为 423.（1）求椭圆 C的方程；（2） 设椭圆在点 P处的切线记为直线 ，点 12,FO在 上的射影分别为 ,ABD，过 作 的垂线交x轴于点 Q，试问 12ABOD是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1) 24xy;(2)1.【解析】试题分析; （1）设 ,Mmn，则 ,Nn， 21mnab，设 0,Pxy， ,APBPynkkxmx，以及 14ABk， 2.ab ，由 FNM,由椭圆的定义可得 243.2ac ，结合 3c ，综合 23可得：