2022年新华教育高中部数学同步人教A版必修四第一章三角函数三角函数的图象与性质学习过程.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思1.4 三角函数的图像与性质学习过程学问点 1：正弦函数余弦函数的图象（1）函数 y=sinx 的图象第一步：在直角坐标系的 x 轴上任取一点 O ,以 O 为圆心作单位圆,从这个圆与 x 轴的交点 A 起把圆分成 n 这里 n=12 等份 . 把 x 轴上从 0 到 2 这一段分成 n 这里 n=12 等份 .（预备：取自变量 x 值弧度制下角与实数的对应）. 其次步：在单位圆中画出对应于角 把角 x 的正弦线向右平行移动,0 , ,2 的正弦线正弦线 （等价于“ 列表”）.6 3 2使得正弦线的起点与

2、x 轴上相应的点 x 重合,就正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“ 描点”）. 第三步：连线 . 用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数 y=sinx ,x0 ,2 的图象依据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的距离为2 ,就得到y=sinx ,x R的图象 . x 轴上相应的点x 重合,就正弦线把角 x xR 的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象 . （2）余弦函数y=cosx 的图象名师归纳总结 用几何法作余弦函数的图象,可以用“ 反射法” 将角x 的余弦线“ 直立” 把坐标轴

3、向第 1 页,共 8 页下平移,过O 作与 x 轴的正半轴成4角的直线,又过余弦线O A 的终点 A 作 x 轴的垂线,它与- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思前面所作的直线交于A ,那么O A 与 AA 长度相等且方向同时为正,我们就把余弦线O A“ 直立” 起来成为 AA ,用同样的方法,将其它的余弦线也都“ 直立” 起来再将它们平移,使起点与 x 轴上相应的点 x 重合,就终点就是余弦函数图象上的点也可以用“ 旋转法” 把角 的余弦线“ 直立”（把角 x 的余弦线 O1M按逆时针方向旋转 到2O1M1位置,就

4、O1M1 与 O1M长度相等,方向相同 . ）依据诱导公式 cos x sin x , 仍可以把2正弦函数 x=sinx 的图象向左平移 单位即得余弦函数 y=cosx 的图象 . 2（1）正切函数 y=tanx 的图像：学问点 2：五点法作图名师归纳总结 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：第 2 页,共 8 页正弦函数 y=sinx ,x0 ,2 的图象中,五个关键点 是：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思0,0 2,1 ,0 3,-1 2,0 2余弦函数 y=cosx x0,2 的五个点关键是30,

5、1 2 ,0 ,-1 2,0 2 ,1 yy=sinx1-6-5-4-3-2-1o23456x-6-5-4y 1y=cosx56x-3-2-1234只要这五个点描出后,图象的外形就基本确定了因此在精确度不太高时,常采纳五点法作正弦函数和余弦函数的简图,要求娴熟把握学问点 3：奇偶性请同学们观看正、余弦函数的图形,说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？1余弦函数当自变量取一对相反数时,函数 y 取同一值；例如：1 1f-3=2 ,f3=2 ,即 f-3=f3； 由于 cosx=cosx f-x= fx. 以上情形反映在图象上就是：假如点（x,y）是函数 y=cosx 的图象上的任一点 ,那么

6、 ,与它关于 y 轴的对称点 -x,y 也在函数 y=cosx 的图象上,这时,我们说函数 y=cosx 是偶函数；定义：一般地,假如对于函数 fx 的定义域内任意一个 x,都有 f-x= fx ,那么函数 fx 就叫做偶函数；例如：函数fx=x2+1, fx=x4-2等都是偶函数；2正弦函数观看函数 y=sinx 的图象,当自变量取一对相反数时,它们对应的函数值有什么关系？这个事实反映在图象上,说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称；也就是说, 假如点（x,y）是函数 y=sinx 的图象上任一点, 那么与它关于原点对称的点（-x,-y ）也在函数 y=sinx 的图象上,这

7、时,我们说函数 y=sinx 是奇函数；定义：一般地,假如对于函数 fx 的定义域内任意一个 x,都有 fx= fx ,那么函数fx 就叫做奇函数；1例如：函数 y=x, y=x 都是奇函数；假如函数 fx 是奇函数或偶函数,那么我们就说函数 fx 具有奇偶性；留意：从函数奇偶性的定义可以看出,具有奇偶性的函数：（1）其定义域关于原点对称；（2）f-x= fx 或 f-x=- fx 必有一成立；因此,判定某一函数的奇偶性时；第一看其定义域是否关于原点对称,如对称,再运算f-x ,看是等于 fx 仍是等于 - fx ,然名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料

8、- - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思后下结论；如定义域关于原点不对称,就函数没有奇偶性；学问点 4：.单调性从 ysinx, x2,3的图象上可看出：2当 x2,2时,曲线逐步上升,3sinx 的值由 1 增大到 1. 当 x2,2时,曲线逐步下降,sinx 的值由 1 减小到 1. 结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间2 2k ,2 2k kZ上都是增函数,其值从1 增大3到 1；在每一个闭区间2 2k , 22k kZ上都是减函数,其值从1 减小到1. 余弦函数在每一个闭区间2k1 ,2k k Z上都是增函数,其值从1 增加到 1；在每一个闭区间

9、2k ,2k 1 kZ上都是减函数,其值从 1 减小到 1. 有关对称轴：观看正、余弦函数的图形,可知y=sinx 的对称轴为k2kZ x=y=cosx 的对称轴为x=kkZ 学习结论1正弦函数余弦函数的图象y y=sinx1-6-5-4-3-2-1oy=cosx23344556x-6-5-4-3-2y26x1-12五点法作图名师归纳总结 正弦函数 y=sinx ,x0 ,2 的图象中,五个关键点 是：第 4 页,共 8 页0,0 2,1 ,0 3,-1 2,0 2余弦函数 y=cosx x0,2 的五个点关键是- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之

10、法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思30,1 2 ,0 ,-1 2,0 2 ,1 3性质：（1）周期性：正余弦函数都是周期函数,2kk Z 都是它的周期,最小正周期是2 ；正切函数 T；y=cosx 是偶函数；正切函数是奇函数；（2）奇偶性：函数y=sinx 是奇函数,函数（3）单调性：正弦函数在每一个闭区间2 2k , 2 2k kZ上都是增函数,3其值从 1 增大到 1；在每一个闭区间2 2k , 22k k Z上都是减函数,其 值从 1 减小到 1. 余弦函数在每一个闭区间2k1 ,2k kZ上都是增函数,其值从1 增加到 1；在每一个闭区间2k ,2k1 kZ上都是减函数,其值从 1 减小

11、到 1. 正切函数在区间 k , k 1 上函数单调递减；典型例题例 1、画出以下函数的简图：（1） y1sinx , 0, （2） cosx , 0, 解析：（1） 按五个关键点列表：描x 0 3222Sin0 0 1 0 1+ Sin 1 2 1 0 1 点 、连线,画出简图；2f x = 1+sinx-2gx = sin x2O25 3 22按五个关键点列表：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思x 0 2322描Cosx 1 0 -1 0 1 - Cosx -1 0 1 0

12、-1 点 、连线,画出简图；2f x = -cos xg x = cos xO5 3 225tan10的值；2-2例题 2 （1）化简：2sin22cos 48asin5bcos（2）已知非零常数a,b满意acos5bsin515b,求a（3）已知8sin10cos,5 8 cos10sin53求值：（1）sin；（ 2）sin3解析：（1）2sin22cos423 1sin22 3cos223|cos2|3cos22sin2212sin2（2）名师归纳总结 asin5cos5sin88sin5sin8 155tan33第 6 页,共 8 页b a15 8cos5sin5cosb15asin8

13、cos5cos1515bcos8cossin8sincos8 155551515- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（3）两式平方相加得164160sin100sin2；510cos58sin80sin803cos10sin538cos两式平方相加得100164即1sin3cos2,sin322255例题 3 求以下函数的周期：名师归纳总结 （1）ysin32x ；（2）ycos3 xcosxsin3xsinx；2 cosx 第 7 页,共 8 页2222（3）ysinxcosx ；（4）ycos2xsin2x；（

14、5）y22T24解析：（1）|2|,周期为4；（2）ycos3xcosxsin3xsinxcos3xxcosx,周期为2222222；（3）ycosxsinx2 sin4x周期为2；（4）ysin2xcos2xcosx,周期为2；22（5）y2 cosx11cos2 1cos2x1,周期为222x例 4：用图象求函数ytanx3的定义域；解析： 由tanx30得tanx3,利用图象知,所求定义域为k3,k2kZ,亦可利用单位圆求解；yT y330 A x0 32- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页