湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试卷含答案.pdf

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1、数学试卷 第 1 页（共 5 页）湖南省雅礼中学湖南省雅礼中学高三年级第一次高三年级第一次月考月考 数学数学试卷试卷 注意事项：注意事项：1答题前，先将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答 题卡上的指定位置。2请在答题卡上各题号对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答 题区域均无效。3选择题用 2B 铅笔把所选答案的标号涂黑，非选择题用黑色签字笔作答。一一选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 40分分.在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的.1 已知集合6|

2、log(1)1,1,3,5PxxxNQ=+=，MPQ，则集合M中的元素共有（）A4 个 B6 个 C8 个 D无数个 2设函数1)(2=mxmxxf，命题“3,1x，2)(+mxf是假命题”，则实数 m的取值范围是（）A73,B(3,C+,73 D()+,3 3九章算术是我国古代数学成就的杰出代表，其中方田章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面积的计算公式为：弧田面积12=（弦矢+矢矢）.弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离

3、之差.现有一弧田，其弦长AB等于6m，其弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为27m2，则cosAOB=（）A125 B725 C15 D725 4已知1sin32+=，则sin 26+的值为（）A12 B12 C32 D32 5如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，E，F分别是棱1AA，1CC的中点，过BE的平面与直线1AF平行，则平面截该正方体所得截面的面积为（）A5 B2 5 C4 D5 6 已知函数 f(x)x3ax2x 的图象在点 A(1，f(1)处的切线方程为 y4x3，则函数 yf(x)数学试卷 第 2 页（共 5 页）的极大值为（）A1

4、B527 C2527 D1 7.20222022202232022322022212022020202222CCCCC+的值为 A0 B1 C1 D20222 8 已知函数()f x是定义在R上的奇函数，对任意的xR，均有(2)()f xf x+=且(1)0f=，当0,1)x时，()21xf x=，则方程()1|0f xg x=的实根个数为（）A6 B8 C10 D12 二二多选题：本题共多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部

5、分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0分分.9已知由样本数据点集合(,)12 3,iix yin=，求得的回归直线方程为1.50.5yx=+，且3x=，现发现两个数据点1 2,2(2).和4.8,(7)8.误差较大，去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，则（）A变量x与y具有正相关关系 B去除后y的估计值增加速度变快 C去除后与去除前均值x，y不变 D去除后的回归方程为1.21.4yx=+10如图所示，是一个 33 九宫格，现从这 9 个数字中随机挑出 3 个不同的数字，记事件A1：恰好挑出的是 1、2、3；记事件 A2：恰好挑出的是 1、4、7；记事件 A3：挑出的数字里含有数

6、字 1.下列说法正确的是（）1 2 3 4 5 6 7 8 9 A事件 A1，A2是互斥事件 B事件 A1，A2是独立事件 CP(A1|A3)P(A2|A3)DP(A3)P(A1)P(A2)11在正四面体ABCD中，若2AB=，则下列说法正确的是（）A该四面体外接球的表面积为3 B直线AB与平面BCD所成角的正弦值为33 C如果点M在CD上，则AMBM+的最小值为6 数学试卷 第 3 页（共 5 页）D过线段AB一个三等分点且与AB垂直的平面截该四面体所得截面的周长为2 62 23+12若存在实常数k和b，使得函数()F x和()G x对其公共定义域上的任意实数x都满足：()F xkxb+和(

7、)G xkxb+恒成立，则称此直线ykxb=+为()F x和()G x的“隔离直线”，已知函数()2f xx=（Rx），()1g xx=（0 x），()2elnh xx=（e为自然对数的底数），则（）A()()()m xf xg x=在31,02x 内单调递增 B()f x和()g x间存在“隔离直线”，且k的取值范围是4,1 C()f x和()g x之间存在“隔离直线”，且b的最小值为1 三三填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 20 分分.13 已知随机变量 X 服从正态分布()28,XN，(10)P xm=，(68)Pxn=，则182mn+的最小值为

8、_ 14某中学元旦晚会由 6 个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在节目乙的前面,节目丙不能排在最后一位,则该晚会节目演出顺序的编排方案共有_ 15=20cos6420cos120sin3222_ 16 已知函数()eln2xf xx=，()22xg xxm=，若函数()()()h xg f xm=+有 3 个不同的零点 x1，x2，x3(x1x2x3)，则()()()1232f xf xf x+的取值范围是_ 四四解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17已知.2,4,53)4sin(

9、,4,0,553cossin=+（1）求2sin和2tan的值；（2）求()2cos+的值.18已知22mxx+的展开式中，第 4 项的系数与倒数第 4 项的系数之比为12.（1）求 m 的值；（2）求展开式中所有项的系数和与二项式系数和；（3）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.数学试卷 第 4 页（共 5 页）19已知函数2()(,)f xxbxc b cR=+，且()0f x 的解集为 1,2.（1）求函数()f x的解析式；（2）解关于 x 的不等式()2(1)；（3）设()=2()+31，若对于任意的1,2 2,1都有()()12g xg xM，求 M 的最小值.20某学

10、校共有 2000 名学生，其中女生 1200 人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了 200 名学生进行调查，月消费金额分布在 5501050 元之间 根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示，将月消费金额不低于 850元的学生称为“高消费群”(1)求 a 的值，并估计该校学生月消费金额的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(2)若样本中属于“高消费群”的男生有 10 人，完成下列 22 列联表，并判断是否有 99.9%以上的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关 属于“高消费群”不属于“高消费群”合计 男 女 合计 数学试卷

11、第 5 页（共 5 页）P（20Kk）0.025 0.010 0.005 0.001 0k 5.024 6.635 7.879 10.828（()()()()()22n adbcKabcdacbd=+，其中 nabcd）21在多面体 ABCDE 中，平面 ACDE平面 ABC，四边形 ACDE 为直角梯形，CDAE，ACAE，ABBC，CD=1，AE=AC=2，F 为 DE 的中点，且点 E 满足4EBEG=（1）证明：GF平面 ABC；（2）当多面体 ABCDE 的体积最大时，求二面角 A-BE-D的余弦值 22已知函数()ecosxf xxx=+(1)判断函数()f x在0,)+上的单调性

12、，并说明理由；(2)对任意的0 x，esincos2xxxxax+，求实数a的取值范围 数学参考答案第 1 页（共 5 页）湖南省雅礼中学湖南省雅礼中学高三年级第一次高三年级第一次月考月考 数学数学试卷试卷参考答案参考答案 一一选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 40分分.在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的.1B 2B 3D 4B 5B 6A 7B 8D 二二多选题：本题共多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有在每小题给出的选项中

13、，有多项符合题目要求多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0分分.9ACD 10AC 11ACD 12AD 三三填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 20 分分.1325 14300 种 15-32 16()11 002，四四解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17 18（1）展开式的通项为()152222122rrmm rrrrrmmTCxxCx+=，展开式中第 4 项的系数为

14、332mC，倒数第 4 项的系数为332mmmC，33332122mmmmCC=，即611,722mm=.（2）令1x=可得展开式中所有项的系数和为732187=，展开式中所有项的二项式系数和为 数学参考答案第 2 页（共 5 页）72128=.（3）展开式共有 8 项，由（1）可得当522rm为整数，即0,2,4,6r=时为有理项，共 4 项，由插空法可得有理项不相邻的概率为484485 1 14A AA=.19（1）因为()0f x 的解集为 1,2，所以20 xbxc+=的根为1，2，所以1b=，2c=，即1b=，2c=；所以2()2f xxx=；（2）()2(1)，化简有()222(1

15、)m xxxm，整理得(2)(1)0mxx，所以当0m=时，不等式的解集为(,1)，当02m时，不等式的解集为2(,1),+m，当2m=时，不等式的解集为(,1)(1,)+，当2m 时，不等式的解集为()2(,)1,+m，（3）因为 2,1x 时2()3123f xxxx+=+，根据二次函数的图像性质，有2()3123 4,0f xxxx+=+，则有2()3123()22f xxxxg x+=，所以，1(),116g x，因为对于任意的1,2 2,1都有()()12g xg xM，即求()()12maxg xg xM，转化为()()maxming xg xM，而()(1)1=maxg xg，1

16、()(1)16ming xg=，所以，此时可得1516M，所以 M 的最小值为1516.20（1）由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，解得a，再根据频率分布直方图中平均数计算公式计算可得；（2）按照分层抽样求出样本中男生、女生的人数，再由频率分布直方图求出“高消费群”的人数，即可完善列联表，计算出卡方，即可判断；（1）解：由频率分布直方图可得()1000.00150.00350.00150.0011a+=，解得0.0025a=，所以样本的平均数为 数学参考答案第 3 页（共 5 页）()600 0.0015700 0.0035 800 0.0025 900 0.0015 100

17、0 0.001100770+=（元）（2）解：依题意知，样本中男生2000 1200200802000=人，女生12002001202000=人，属于“高消费群”的有()0.00150.001100 20050+=人，列出下列22列联表：属于“高消费群”不属于“高消费群”合计 男 10 70 80 女 40 80 120 合计 50 150 200 所以()22200 10 8040 7011.11 10.82850 150 80 120K=，所以有99.9%以上的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关 21（1）取 AB，EB 中点 M，N，连接 CM，MN，ND 在梯形 ACDE

18、中，DCEA 且 DC=12EA，且 M，N分别为 BA，BE 中点，MN/EA，MN=12EA，MN/CD，MN=CD，即四边形 CDNM 是平行四边形，CM/DN，又14EGEB=，N为 EB中点，G 为 EN中点，又 F 为 ED中点，GF/DN，即 GF/CM，又 CM平面 ABC，GF平面 ABC，GF平面 ABC （2）在平面 ABC内，过 B作 BHAC交 AC于 H 平面 ACDE平面 ABC，平面 ACDE平面 ABC=AC，BH平面 ABC，BHAC，BH平面 ACDE，则 BH 为四棱锥 B-ACDE 的高，数学参考答案第 4 页（共 5 页）又底面 ACDE 面积确定，

19、要使多面体 ABCDE 体积最大，即 BH 最大，此时 AB=BC=2 过点 H作 HPAE，易知 HB，HC，HP 两两垂直，以HB,HC,HP为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系 H-xyz，A(0,1,0)，B(1,0,0)，E(0,1,2)，D(0,1,1)，则AB=(1,1,0)，BE=(1,1,2)，DE=(0,2,1)设1 =(x1,y1,x1)为平面 ABE 的一个法向量，则1100nABn BE=，即11111020 xyxyz+=+=，取1=(1,1,0)，设2=(x2,y2,z2)为平面DBE的一个法向量，则2200nDEnBE=，即222222020yzxyz+=+=

20、，取2=(3,1,2)，1212127cos,7n nn nnn=，由图知：二面角 ABED 为钝二面角，二面角 ABED 的余弦值为77.22(1)解：函数()f x在0,)+上是单调增函数，理由如下：因为()ecosxf xxx=+，所以()ecos(sin)xfxxxx=+记()e1xg xx=，则()e1xg x=，令()0g x=，得0 x=当0 x 时，()0,()g xg x为单调增函数；当0 x 时，()0,()g xg x为单调减涵数，所以min()(0)0g xg=，所以()e10 xg xx=，即e1xx+又sin1,cos1xx，所以()1 cos(sin)(1 sin

21、)(1 cos)0fxxxxxxxx+=+，所以函数()f x在0,)+上是单调增函数(2)解：记()esincos2(0)xp xxxaxx=+，是()ecosxp xxxa=+由（1）知，()ecosxp xxxa=+为0,)+上的单调增函数 数学参考答案第 5 页（共 5 页）1当10a时，(0)10pa=，所以()(0)0p xp，所以()p x为0,)+上的单调增函数，所以()(0)0p xp=，即esincos2xxxxax+所以1a 符合题意 2当10a时，(0)10pa=，又()ecose2aap aaaaa=+记()e2(1)xq xx x=，则()e2e20 xq x=，所以()q x为(1,)+上的单调增函数，所以()(1)e20q xq=，所以e20(1)xxx，所以()e20ap aa 又()p x在0,)+上的图象不间断，且()p x为0,)+上的单调增函数，根据零点存在性定理知，存在唯一的零点0(0,)x+，使得()00p x=所以当00 xx时，()0p x，()p x单调递减，所以()0(0)0p xp=，这与任意的0 x，esincos2xxxxax+矛盾，所以1a 不符合题意 综上可得1a