第十五讲-椭球基本知识优秀PPT.ppt

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1、控制测量计算理论控制测量计算理论地球椭球的基本几何参数及相互关系地球椭球的基本几何参数及相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系 椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径 将地面观测的方向值归算到椭球将地面观测的方向值归算到椭球 将地面观测的长度归算到椭球面将地面观测的长度归算到椭球面本讲主要内容：本讲主要内容：控制测量计算理论控制测量计算理论一、常用的四种坐标系一、常用的四种坐标系 大地坐标系大地坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系（大地测量中两种基本坐标系）（大地测量中两种基本坐标系）子午平面直角坐标系子午平面直角坐标系大地极坐标系大地极坐标系 控制测量计

2、算理论控制测量计算理论1 1、大地坐标系、大地坐标系 P 点点的的法法线线 与与赤赤道道面面的的夹夹角角B，叫叫做做P点点的的大大地地纬纬度度。由由赤赤道道面面起起算算，向向北北为为北北纬纬（090）；向向南为南纬南为南纬(090)。P点点在在椭椭球球面面上上的的位位置置用用L、B表示表示。一、常用的四种坐标系一、常用的四种坐标系 p 点点的的子子午午面面NPS 与与起起始始子子午午面面 NGS 所所构构成成的的二二面面角角L，叫叫做做p 点点的的大大地地经经度度，由由起起始始子子午午面面起起算算，向向东东为为东东经经（0180），向西西经（），向西西经（0180）。）。控制测量计算理论控制测

3、量计算理论1 1、大地坐标系、大地坐标系 大大地地坐坐标标系系是是用用大大地地经经度度L L、大大地地纬纬度度B B 和和大大地地高高H H表示地面点位。表示地面点位。在在大大地地坐坐标标坐坐标标系系中中假假如如点点不不在在椭椭球球面面上上，点点的的位置用位置用 来表示。来表示。从从地地面面点点P P沿沿椭椭球球法法线线到到椭椭球球面面的的距距离离叫叫大大地地高高。它同正常高及正高有如下关系：它同正常高及正高有如下关系：一、常用的四种坐标系一、常用的四种坐标系 控制测量计算理论控制测量计算理论2 2、空间直角坐标系、空间直角坐标系 空空间间直直角角坐坐标标系系的的坐坐标标原原点点位位于于地地球

4、球质质心心（地地心心坐坐标标系系）或或参参考考椭椭球球中中心心（参参心心坐坐标标系系），Z 轴轴指指向向地地球球北北极极，x 轴轴指指向向起起始始子子午午面面与与地地球球赤赤道道的的交交点点，y 轴轴垂垂直于直于XOZ 面并构成右手坐标系。面并构成右手坐标系。一、常用的四种坐标系一、常用的四种坐标系 以以椭椭球球中中心心O为为原原点点，起起始始子子午午面面与与赤赤道道面面交交线线为为X轴轴，在在赤赤道道面面上上与与X轴轴正正交交的的方方向向为为Y轴轴，椭椭球球体体的的旋旋转转轴轴为为Z轴轴，构构成成右右手手坐坐标标系系O-XYZ，在在该该坐坐标标系系中中，P点点的的位位置置用用X、Y、Z表示表

5、示。控制测量计算理论控制测量计算理论3 3、子午面直角坐标系、子午面直角坐标系 设设P点点的的大大地地经经度度为为L，在在过过P点点的的子子午午面面上上，以以子子午午圈圈椭椭圆圆中中心心为为原原点点，建建立立x，y平平面面直直角角坐坐标标系系。在在该该坐坐标标系系中中，P点点的的位位置置用用L，x，y表示。表示。一、常用的四种坐标系一、常用的四种坐标系 控制测量计算理论控制测量计算理论4、大地极坐标系、大地极坐标系 M M为椭球风光为椭球风光上上随随意意一一点点，MNMN为为过过M M点点的的子子午午线线，S S为为连连结结MPMP的的大大地地线线长长，A A为为大大地地线线在在M M点点的的

6、大大地地方方位位角角。以以M M为为极极点点、MNMN为为极极轴轴、S S为为极极径径、A A为为极极角角，就就构构成成了了大地极坐标系。大地极坐标系。P P点位置用点位置用S S、A A表示。表示。椭椭球球面面上上点点的的极极坐坐标标（S,AS,A）与与大大地地坐坐标标(L,B(L,B）可可以以相相互互换换算算，这这种种换换算算叫叫做做大大地主题解算。地主题解算。一、常用的四种坐标系一、常用的四种坐标系 控制测量计算理论控制测量计算理论二、坐标系间的转换关系二、坐标系间的转换关系 椭椭球球面面上上的的点点位位可可在在各各种种坐坐标标系系中中表表示示，由由于于所所用用坐坐标系不同，表现出来的坐

7、标值也不同。标系不同，表现出来的坐标值也不同。1 1）子午面直角坐标系同大地坐标系的关系）子午面直角坐标系同大地坐标系的关系 过过p 点点作作法法线线 ，它它与与x 轴轴之之夹夹角角为为B，过过p点点作作子子午午圈圈的的切切线线TP，它它与与x 轴轴的的夹夹角角为为（90+B）。子子午午面面直直角角坐坐标标x,y 同大地纬度同大地纬度B 的关系式如下：的关系式如下：控制测量计算理论控制测量计算理论2 2）空间直角坐标系同子午面直角坐标系的关系）空间直角坐标系同子午面直角坐标系的关系 空空间间直直角角坐坐标标系系中中 的的相相当当于于子子午午平平面面直直角角坐坐标标系系中中的的y，前前者者的的

8、相相当当于于后后者者的的x，并并且且二二者者的经度的经度L相同。相同。二、坐标系间的转换关系二、坐标系间的转换关系 控制测量计算理论控制测量计算理论3 3）空间直角坐标系同大地坐标系的关系）空间直角坐标系同大地坐标系的关系 同同一一地地面面点点在在地地球球空空间间直直角角坐坐标标系系中中的的坐坐标标和和在在大大地坐标系中的坐标可用如下两组公式转换地坐标系中的坐标可用如下两组公式转换 式式中中：e e子子午午椭椭圆圆第第一一偏偏心心率率，可可由由长长短短半半径径按按式式 算得。算得。N N法线长度，可由式法线长度，可由式 算得。算得。二、坐标系间的转换关系二、坐标系间的转换关系 控制测量计算理论

9、控制测量计算理论三、地球椭球及其定位三、地球椭球及其定位1、椭球的几何参数及其关系、椭球的几何参数及其关系 椭圆的长半轴：椭圆的长半轴：a椭圆的短半轴：椭圆的短半轴：b椭圆的扁率：椭圆的扁率：椭圆的第一偏心率：椭圆的第一偏心率：椭圆的其次偏心率：椭圆的其次偏心率：五个基本几何参数五个基本几何参数 控制测量计算理论控制测量计算理论 我我国国所所接接受受的的的的1954年年北北京京坐坐标标系系应应用用的的是是克克拉拉索索夫夫斯斯基基椭椭球球参参数数；以以后后接接受受的的1980国国家家大大地地坐坐标标系系应应用用的的是是1975国际椭球参数；而国际椭球参数；而GPS应用的是应用的是WGS-84系椭

10、球参数。系椭球参数。三、地球椭球及其定位三、地球椭球及其定位几种地球椭球参数几种地球椭球参数控制测量计算理论控制测量计算理论并得：并得：推得：推得：同理可得：同理可得：1、椭球的几何参数及其关系、椭球的几何参数及其关系三、地球椭球及其定位三、地球椭球及其定位控制测量计算理论控制测量计算理论 以上图中的半圆为基础作一单位半径的半圆球，图中OZ1为过O点的铅垂线，Z1为天文天顶，ZOZ1 ，此即O点处的垂线偏差。三、垂线偏差和它的基本公式 垂垂线线偏偏差差：地地面面上上一一点点的的铅铅垂垂线线方方向向和和相相应应的的椭椭球球面面法法线方向之间的夹角，称为该点的垂线偏差。线方向之间的夹角，称为该点的

11、垂线偏差。垂线偏差基本公式垂线偏差基本公式控制测量计算理论控制测量计算理论 在在测测站站O观观测测M时时以以铅铅垂垂线线OZ1为为基基准准，测测得得天天顶顶距距为为Z1，视准面，视准面OZ1M与水平面交于与水平面交于R1。三、垂线偏差和它的基本公式 当当不不存存在在垂垂线线偏偏差差观观测测M时时，视视准准面面OZM与与水水平平面面交交于于R。故故（R1R）即即为为垂垂线线偏偏差差对对方方向向观测值的影响。观测值的影响。控制测量计算理论控制测量计算理论四、椭球的定位 椭椭球球定定位位：将将具具有有确确定定参参数数的的椭椭球球与与大大地地体体的的相相关关位位置置确确定定下下来来，从从而而确确定定出

12、出测测量量计计算算基基准准面面的的具具体体位位置置和和大大地地测测量起算的具体数据。量起算的具体数据。一一般般通通过过大大地地原原点点的的天天文文观观测测来来实实现现。若若测测得得大大地地原原点点的的天天文文经经度度 、天天文文纬纬度度 和和某某一一方方向向的的天天文文方方位位角角 ,以及大地原点的正常高以及大地原点的正常高 。椭椭球球定定位位主主要要是是确确定定以以上上这这些些定定位位参参数数，若若定定位位参参数数确确定定，大大地地测量的起算数据也就确定下来了。测量的起算数据也就确定下来了。控制测量计算理论控制测量计算理论一般在大地测量初期取四、椭球的定位于是于是 在在大大地地原原点点处处，

13、铅铅垂垂线线与与椭椭球球面面法法线线重重合合，大大地地水水准准面面与与椭椭球球面面相相切切，天天文文子子午午面面和和大大地地子子午午面面重重合合，且且两两个个起起始始子子午午面平行。面平行。这这样样椭椭球球位位置置便便完完全全被被固固定定下下来来，达达到到定定位位目目的的。（一一点点定定位位）一一点点定定位位难难以以保保证证椭椭球球面面与与大大地地水水准准面面最最佳佳吻吻合合。当当天天文文大大地地测测量量完完成成后后，按按 经经弧弧度度测测量量计计算算求求出出原原点点的的 再再按按上上式式确确定定出出大大地地测测量量的的起起算算数据。数据。（多点定位）（多点定位）多多点点定定位位在在在在布布设

14、设的的天天文文大大地地网网整整个个区区域域内内，椭椭球球面面与与大大地水准面最佳吻合。地水准面最佳吻合。控制测量计算理论控制测量计算理论五、椭球面上法截线曲率半径法截面：包含曲面上一点法线的平面叫法截面。法截线：法截面与曲面的截线叫法截线。1、卯酉圈曲率半径卯酉圈：与椭球面上一点的子午圈相垂直的法截线，称为该点的卯酉圈。梅尼埃定理：若通过曲面上一点引两条截线，一条为法截线，一条为斜截线，且在该点上这两条截线有同一公共切线，则斜截线的曲率半径等于法截线曲率半径乘以两截线平面间夹角的余弦。控制测量计算理论控制测量计算理论 P P点点处处平平行行圈圈平平面面与与卯卯酉酉圈圈平平面面间间的的夹夹角角P

15、 P点点的的大大地地纬纬度度B B，依依据据梅梅尼尼埃埃定定理理，过过P P点点的的平平行行圈圈半半径径r r与与卯卯酉酉圈圈半半径径N N的的关系为关系为 由图可知，由图可知，上式表明，卯酉圈的曲率半径上式表明，卯酉圈的曲率半径等于法截线介于椭球面和短轴等于法截线介于椭球面和短轴之间的长度。之间的长度。卯酉圈曲率半径可用下列卯酉圈曲率半径可用下列两式表示：两式表示：1、卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径五、椭球面上法截线曲率半径五、椭球面上法截线曲率半径控制测量计算理论控制测量计算理论1 1、卯酉圈曲率半径、卯酉圈曲率半径五、椭球面上法截线曲率半径五、椭球面上法截线曲率半径控制测量计算理论控制测量

16、计算理论2、子午圈曲率半径五、椭球面上法截线曲率半径五、椭球面上法截线曲率半径 子子午午椭椭圆圆的的一一部部分分上上取取一一微微分分弧弧长长 ，相相应应地地有有坐坐标标增增量量 ，点点n是是微微分分弧弧 的的曲曲率率中中心心，于于是是线线段段 及及 便便是是子子午午圈圈曲曲率率半径半径 M。随意平面曲线的曲率半径的定义公式为：随意平面曲线的曲率半径的定义公式为：子午圈曲率半径公式为：子午圈曲率半径公式为：或或 控制测量计算理论控制测量计算理论五、椭球面上法截线曲率半径五、椭球面上法截线曲率半径2 2、子午圈曲率半径、子午圈曲率半径控制测量计算理论控制测量计算理论3 3、随意法截弧的曲率半径、随

17、意法截弧的曲率半径子子午午法法截截弧弧是是南南北北方方向向，其其方方位位角角为0或或180。卯卯酉酉法法截截弧弧是是东西西方方向向，其其方方位位角角为90或或270。对于于方方位位角角为的的随随意意法法截截弧弧的的曲曲率率半半径径的的计算算公公式。式。随随意意方方向向的的法法截截弧弧的的曲曲率率半半径径的的计算公式如下：算公式如下：4 4、平均曲率半径、平均曲率半径 在在实实际际际际工工程程应应用用中中，依依据据测测量量工工作作的的精精度度要要求求，在在确确定定范范围围内内，把把椭椭球球面面当当成成具具有有适适当当半半径径的的球球面面。取取过过地地面面某某点点的的全全部部方方向向 的的平平均均

18、值值来来作作为为这这个个球球体体的的半半径径是是合合适适的的。这这个球面的半径个球面的半径平均曲率半径平均曲率半径R R：或或因因此此，等等于于该点点子子午午圈圈曲曲率率半半径径和和卯卯酉酉圈圈曲曲率率半半径的几何平均径的几何平均值。椭球面上随意一点的平均曲率半径球面上随意一点的平均曲率半径五、椭球面上法截线曲率半径五、椭球面上法截线曲率半径控制测量计算理论控制测量计算理论六、地面观测值归算至椭球面 1、相对法截线、相对法截线 因测站点的铅垂线一般不与法线重合，不同测站点的法线因测站点的铅垂线一般不与法线重合，不同测站点的法线也不相交，这样也不相交，这样2个对向测站之间边出现了个对向测站之间边

19、出现了2条法截线。条法截线。椭球面法线在椭球短轴上的投影椭球面法线在椭球短轴上的投影为为NsinB，在赤道以上短半轴上的投影为，在赤道以上短半轴上的投影为 。则椭球中心。则椭球中心到法线与短轴的交点之间的到法线与短轴的交点之间的距离为距离为即即：纬纬度度不不同同，椭椭球球中中心心到到法法线线与与短短轴轴的的交交点点之之间间的的距距离也不相同。离也不相同。控制测量计算理论控制测量计算理论1 1、相对法截线、相对法截线A A、B B两点既不位于同一平行圈，两点既不位于同一平行圈，也不在同一子午圈上，它们的法也不在同一子午圈上，它们的法线线AKaAKa、BKbBKb并不相交，所以包含并不相交，所以包

20、含这两条法线的法截面这两条法线的法截面ABKaABKa和和ABKbABKb并不重合，二者与椭球面的交线并不重合，二者与椭球面的交线分别为分别为AaBAaB和和BbABbA，它们也不重合，它们也不重合，这样椭球面两点之间出现了两条这样椭球面两点之间出现了两条法截线。称之为两点间相对法截线法截线。称之为两点间相对法截线定定义义：椭椭球球面面上上A A、B B两两点点对对向向三三角角观观测测将将形形成成两两条条相相对对法法截截线线AaBAaB和和BbABbA它它们们通通常不重合，称为相对法截线。常不重合，称为相对法截线。六、地面观测值归算至椭球面六、地面观测值归算至椭球面控制测量计算理论控制测量计算

21、理论1、相对法截线、相对法截线正正法法截截线线：包包含含A点点的的法法线线与与照照准准点点B的的法法截截面面与与椭椭球球面面的的交线称为交线称为A点的正法截线。点的正法截线。反反法法截截线线：包包含含照照准准点点B的的法法线线与与A点点的的法法截截面面与与椭椭球球面面的的交线称为交线称为A点的反法截线。点的反法截线。六、地面观测值归算至椭球面六、地面观测值归算至椭球面影影响响：相相对对法法截截线线造造成成了了几几何何图图形形的的裂裂开开。如如右右图图所所示示，设设椭椭球球面面上上有有A A，B B，C C三三点点，明明显显，A A，B B，C C的的正正法法截截线线并并不不能能构构成成一一个个

22、三三角角形形。大大地地线线位位于相对法截线之间。于相对法截线之间。控制测量计算理论控制测量计算理论2、大地线（测地线）的定义 曲线AB上任一点P的亲密平面（无限接近的三个点构成的平面）都包含曲线在该点的法线，该曲线即为曲面上的一条大地线。大地线是曲面上一条曲线，该曲线上每一点处的亲密平面都包含曲面在该点的法线。一般状况下，曲面上的曲线并不是大地线。六、地面观测值归算至椭球面六、地面观测值归算至椭球面大地线的性质大地线的性质大地线是曲面上两点的最短线大地线是曲面上两点的最短线 大地线是多数法截线弧素的连线大地线是多数法截线弧素的连线控制测量计算理论控制测量计算理论3、地面观测方向归算至椭球面归算

23、的基本要求地面观测方向归算至椭球面上有3个基本内容：1)将测站点铅垂线为基准的地面观测方向换算成椭球面上以法线方向为准的观测方向；2)将照准点沿法线投影至椭球面，换算成椭球面上两点间的法截线方向；3)将椭球面上的法截线方向换算成大地线方向。将将水水平平观观测测方方向向归归算算到到椭椭球球面面，通通常常须须要要进进行行垂垂线线偏差改正、标高差改正和截面差改正，简称三差改正。偏差改正、标高差改正和截面差改正，简称三差改正。六、地面观测值归算至椭球面六、地面观测值归算至椭球面控制测量计算理论控制测量计算理论 垂线偏差改正垂线偏差改正（1 1）地地面面上上以以铅铅垂垂线线为为准准观观测测的的水水平平方

24、方向向值值，归归算算为为以以椭椭球球面面法法线线为为准准的的水水平平方方向向值值时时，顾顾及及测测站站点点垂垂线线偏偏差差的的影影响响所加的改正。所加的改正。六、地面观测值归算至椭球面六、地面观测值归算至椭球面 如如下下图图所所示示，以以测测站站为为中中心心作作出出单单位位半半径径的的协协助助球球，是是垂垂线线偏偏差差，它它在在子子午午圈圈和和卯卯酉酉圈圈上上的的重重量量分分别别以以、表表示示，M M是是地地面面观观测测目目标标m m在球面上的投影。在球面上的投影。z z1 1控制测量计算理论控制测量计算理论垂线偏差改正公式：垂线偏差改正公式：式式中中：为为测测站站点点上上的的垂垂线线偏偏差差

25、在在子子午午圈圈及及卯卯酉酉圈圈上上的的重重量量，它它们们可可在在测测区区的的垂垂线线偏偏差差重重量量图图中中内内插插取取得得；为为测测站站点点至至照照准准点点的的大大地地方方位位角角；为为照照准准点点的的天天顶顶距距；为为照照准准点点的垂直角。的垂直角。六、地面观测值归算至椭球面六、地面观测值归算至椭球面 垂垂线线偏偏差差改改正正的的数数值值主主要要与与测测站站点点的的垂垂线线偏偏差差、观观测测方方向向的方位角和天顶距（或垂直角）有关。的方位角和天顶距（或垂直角）有关。控制测量计算理论控制测量计算理论 标高差改正标高差改正定定义义：地地面面水水平平方方向向观观测测值值，沿沿法法线线方方向向归

26、归算算至至参参考考椭椭球球面面上上时时，顾顾及及照照准准点点标标高高，所所加的改正称为标高差改正，以加的改正称为标高差改正，以2 2表示表示缘缘由由：由由于于A A、B B两两点点的的法法线线不不在在同同一平面所产生的。一平面所产生的。计算公式：计算公式：H2：照准点高出椭球面的高程；照准点高出椭球面的高程；B2：照准点大地纬度：照准点大地纬度M1：测站点子午圈曲率半径：测站点子午圈曲率半径；A12：测站点至照准点的大地方位角。：测站点至照准点的大地方位角。六、地面观测值归算至椭球面六、地面观测值归算至椭球面控制测量计算理论控制测量计算理论截面差改正截面差改正(3 3)定定义义：法法截截线线方

27、方向向化化为为大大地地线线方方向向所所加加的的改改正正，称称为为截截面面差差改改正正，以以3 3表表示。示。缘缘由由：由由于于相相对对法法截截线线不不重重合合而而接接受受大地线代替产生的。大地线代替产生的。计算公式：计算公式：33为为0 0的状况：的状况：A1=0A1=0，9090 ，180180 ，270270照照准准点点与与测测站站点点在在同同一一子子午午圈圈或或接接近于同一平行圈近于同一平行圈六、地面观测值归算至椭球面六、地面观测值归算至椭球面控制测量计算理论控制测量计算理论4 4、三差改正计算、三差改正计算 现现行行作作业业规规定定，各各等等三三角角测测量量归归算算时时，一一等等算算至

28、至0.0010.001，二等算至二等算至0.010.01，三四等算至，三四等算至0.10.1。项目项目原因原因主要关系量主要关系量是否要加改正是否要加改正一一等等二二等等三、四三、四等等垂线偏差改正垂线偏差改正1 1法线与垂线不一致法线与垂线不一致，加加加加酌情酌情标高差改正标高差改正2 2照准点不在椭球面上照准点不在椭球面上加加加加酌情酌情截面差改正截面差改正3 3法截线与大地线不一致法截线与大地线不一致加加不不加加不加不加H H2 2s s六、地面观测值归算至椭球面六、地面观测值归算至椭球面控制测量计算理论控制测量计算理论 电电磁磁波波测测距距仪仪测测得得的的长长度度是是连连接接地地面面两

29、两点点间间的的直直线线斜斜距距，也应将它归算到参考椭球面上。也应将它归算到参考椭球面上。如如图图，大大地地点点A A和和B B的的大大地地高高分分别别为为H H1 1和和H H2 2。其其间间用用电电磁磁波波测测距距仪仪测测得得的的斜斜距距为为D D，现现要要求求大大地地点点在在椭椭球球面面上上沿沿法法线线的的投投影点影点 a a和和b b间的大地线的长度间的大地线的长度S S。DS0ABab当当法法截截线线弧弧长长等等于于600km600km时时，用用适适宜宜的的球球面面弧弧长长代代替替法法截截线线弧弧长长，其其相相对对误误差差只只有有1 1：250250万万，所所以以可可用用球球面面弧弧长

30、长代代替替椭椭球面上法截线弧长，球面上法截线弧长，NmNm为（为（B1B1B2B2）/2/2处的卯酉圈曲率半径处的卯酉圈曲率半径。BmBm为两端点平均纬度为两端点平均纬度 地面观测距离归算至椭球面地面观测距离归算至椭球面控制测量计算理论控制测量计算理论电磁波测距边长归算椭球面上的计算公式为：电磁波测距边长归算椭球面上的计算公式为：式中式中电磁波测距边长归算的几何意义：电磁波测距边长归算的几何意义：计计算算公公式式中中右右端端其其次次项项是是由由于于限限制制点点之之高高差差引引起起的的倾倾斜斜改改正的主项，经过此项改正，测线已变成平距；正的主项，经过此项改正，测线已变成平距；第第三三项项是是由由平平均均测测线线高高出出参参考考椭椭球球面面而而引引起起的的投投影影改改正正，经此项改正后，测线已变成弦线；经此项改正后，测线已变成弦线；第四项则是由弦长改化为弧长的改正项。第四项则是由弦长改化为弧长的改正项。六、地面观测值归算至椭球面六、地面观测值归算至椭球面 地面观测距离归算至椭球面地面观测距离归算至椭球面