第二章-计算机控制系统的数学基础.ppt

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1、第第2 2章章 计算机限制系统的设计方法计算机限制系统的设计方法1.1.计算机限制系统的基础学问计算机限制系统的基础学问 2.2.计算机限制系统的数学描述计算机限制系统的数学描述3.3.计算机限制系统的模拟化设计方法计算机限制系统的模拟化设计方法 4.4.计算机限制系统的离散化设计方法计算机限制系统的离散化设计方法 本章主要内容本章主要内容2 21 1 计算机限制系统的信号变换计算机限制系统的信号变换 一、一、连续信号的采样连续信号的采样 图图1 1 采样过程采样过程 采样采样:用连续信号在离散时间瞬时值的序列用连续信号在离散时间瞬时值的序列 代替原来连续信号的过程代替原来连续信号的过程 在计

2、算机限制系统中，采样信号在计算机限制系统中，采样信号 是一数字是一数字序列，可分解成一系列单脉冲之和。序列，可分解成一系列单脉冲之和。式中，式中，为为 时刻的单脉冲，脉冲的幅值时刻的单脉冲，脉冲的幅值 为为 时刻的单脉冲，脉冲的幅值时刻的单脉冲，脉冲的幅值 ；为为 时刻的单脉冲，脉冲的幅值时刻的单脉冲，脉冲的幅值 则：则：只有在 时刻，才有 ，而在的全部 时刻，都有 。用用 函数函数量化过程量化过程 图图3 3 量化过程量化过程所谓量化，就是接受所谓量化，就是接受一组数码（如二进制一组数码（如二进制码）来靠近离散模拟码）来靠近离散模拟信号的幅值，将其转信号的幅值，将其转换成数字信号。经量换成数

3、字信号。经量化使采样信号成为数化使采样信号成为数字信号字信号,该过程称为该过程称为量化过程。量化过程。为保证采样信号的频谱是连续信号的频谱无重叠的重复为保证采样信号的频谱是连续信号的频谱无重叠的重复（沿频率轴方向），以便采样信号能反映连续信号的变更（沿频率轴方向），以便采样信号能反映连续信号的变更规律，采样频率规律，采样频率 至少应是至少应是 的频谱的频谱 的最高频率的最高频率 的两倍，即的两倍，即 采样定理奠定了选择采样频率的理论基础，但对于连续对象的离散限制，不易确定连续信号的最高频率。因此，采样定理给出了选择频率的准则，在实际应用中还要依据系统的实际状况综合考虑。采样定理采样定理二、采样

4、信号的复现和采样保持器二、采样信号的复现和采样保持器 保持器保持器 保持器是一种基于时域外推原理、把采样信号转换成连保持器是一种基于时域外推原理、把采样信号转换成连续信号，实现采样点之间的插值的元件。续信号，实现采样点之间的插值的元件。零阶保持器零阶保持器。零阶保持器接受恒值外推原理，把每个采样值零阶保持器接受恒值外推原理，把每个采样值 始始终保持到下一个采样时刻终保持到下一个采样时刻 ,从而把采样信号从而把采样信号 变成了变成了阶梯连续信号阶梯连续信号 。图图5 5 零阶保持器的功能零阶保持器的功能 2 22 2 计算机限制系统的数学描述计算机限制系统的数学描述1.Z1.Z变换变换 对上式取

5、拉氏变换：对上式取拉氏变换：令：令：则：则：零初始条件下，系统或环节的输出采样函数的零初始条件下，系统或环节的输出采样函数的z变变换和输入采样函数的换和输入采样函数的z变换之比。变换之比。为了应用脉冲传递函数的概念，通常可在输出端虚为了应用脉冲传递函数的概念，通常可在输出端虚设一采样开关，对输出的连续时间信号做假想采样，来设一采样开关，对输出的连续时间信号做假想采样，来获得输出信号的采样信号。获得输出信号的采样信号。2.2.脉冲传递函数脉冲传递函数假如已知假如已知 和和 ，则在零初始条件下，线性，则在零初始条件下，线性定常离散系统的输出采样信号为定常离散系统的输出采样信号为3.3.差分方程差分

6、方程计算机限制系统的差分方程计算机限制系统的差分方程图图6 6 连续系统和离散系统连续系统和离散系统 （a a）连续系统）连续系统 （b b）离散系统）离散系统)(sF)(tr)(ty)(sF)(kr)(kyTT脉冲传递函数与差分方程的相互转换脉冲传递函数与差分方程的相互转换，若已知若已知n n 阶离散系统的差分方程是阶离散系统的差分方程是 在零初始条件下，进行在零初始条件下，进行Z Z变换变换得脉冲传递函数为得脉冲传递函数为 2.3 S2.3 S平面到平面到Z Z平面之间的映射关系平面之间的映射关系s s平面虚轴映射为平面虚轴映射为z z平面单位圆，左半平面映射在平面单位圆，左半平面映射在z

7、 z平面单位圆内平面单位圆内1.s1.s平面与平面与z z平面映射关系：平面映射关系：二、极点位置与时间响应的关系二、极点位置与时间响应的关系1 1极点位于极点位于实轴 2.2.复极点位置与系复极点位置与系统响响应之之间关系关系Z平面极点位置的趋势极点越接近原点，脉冲响应收敛速度越快极点越接近原点，脉冲响应收敛速度越快极点越接近原点，脉冲响应收敛速度越快极点越接近原点，脉冲响应收敛速度越快极点从右向左移动，脉冲响应振荡频率增加极点从右向左移动，脉冲响应振荡频率增加极点从右向左移动，脉冲响应振荡频率增加极点从右向左移动，脉冲响应振荡频率增加 已知离散系统的脉冲传递函数零、极点在平面中的已知离散系

8、统的脉冲传递函数零、极点在平面中的分布状况，分析系统的动态响应特性分布状况，分析系统的动态响应特性2 24 4 计算机限制系统的模拟化设计方法计算机限制系统的模拟化设计方法 一、连续域一、连续域-离散化设计的步骤离散化设计的步骤 第第1 1步：设计模拟限制器步：设计模拟限制器D(s)D(s)第第2 2步：选择合适的采样周期步：选择合适的采样周期T T第第3 3步：选择合适的离散化方法，将步：选择合适的离散化方法，将D(s)D(s)离散化，获离散化，获得数字限制器得数字限制器D(z)D(z)，使两者性能尽量等效。，使两者性能尽量等效。第第4 4步：检验计算机限制系统闭环性能。若满足指标步：检验计

9、算机限制系统闭环性能。若满足指标要求，进行下一步；否则，重新进行设计。要求，进行下一步；否则，重新进行设计。改进设计的途径有：改进设计的途径有：选择更合适的离散化方法选择更合适的离散化方法提高采样频率提高采样频率修正连续域设计，如增加稳定裕度指标等修正连续域设计，如增加稳定裕度指标等第第5 5步：将步：将D(z)D(z)变为差分方程，在计算机上编程实现。变为差分方程，在计算机上编程实现。依据香依据香农采采样定理，系定理，系统采采样频率的下限率的下限为 fs=fs=2fmax2fmax，此，此时系系统可真可真实地复原到原来的地复原到原来的连续信号信号 。从从执行机构的特性要求来看，有行机构的特性

10、要求来看，有时须要要输出信号保持确定出信号保持确定的的宽度，采度，采样周期必需大于周期必需大于这一一时间。从限制系从限制系统的随的随动和抗干和抗干扰的性能来看，要求采的性能来看，要求采样周期短周期短些。些。从微机的工作量和每个从微机的工作量和每个调整回路的整回路的计算来看，一般要求采算来看，一般要求采样周期大些。周期大些。从从计算机的精度看，算机的精度看，过短的采短的采样周期是不合适的。周期是不合适的。二、采样周期的选择二、采样周期的选择实际选择采采样周期周期时，必需，必需综合考合考虑：接受周期要比接受周期要比对象的象的时间常数小得多，否常数小得多，否则采采样信号无法反映瞬信号无法反映瞬变过程

11、。程。接受周期接受周期应远小于小于对象的象的扰动信号的周期。信号的周期。考考虑执行器的响行器的响应速度。速度。当系当系统纯滞后占主滞后占主导地位地位时，应按按纯滞后滞后大小大小选取，尽可能使取，尽可能使纯滞后滞后时间接近或等于接受接近或等于接受周期的整数倍。周期的整数倍。考考虑对象所要求的限制象所要求的限制质量，精度越高，量，精度越高，采采样周期越短，以减小系周期越短，以减小系统的的纯滞后。滞后。常见被控量的阅历采样周期常见被控量的阅历采样周期被测参数被测参数采样周期采样周期说说 明明流量流量15优先选用优先选用12s压力压力310优先选用优先选用68s液位液位68优先选用优先选用7s温度温度

12、1520或纯滞后时间，串级系统：或纯滞后时间，串级系统：副环副环T=1/41/5T主环主环成分成分1520优先选用优先选用18s三、模拟限制器的离散化方法三、模拟限制器的离散化方法最常用的表征限制器特性的主要指标：最常用的表征限制器特性的主要指标：零极点个数；零极点个数；系统的频带；系统的频带；稳态增益；稳态增益；相位及增益裕度；相位及增益裕度；阶跃响应或脉冲响应形态；阶跃响应或脉冲响应形态；频率响应特性。频率响应特性。等效离散等效离散D(z)D(s)数值积分法数值积分法一阶向后差法一阶向后差法一阶向前差法一阶向前差法双线性变换法及修正双线性变换法双线性变换法及修正双线性变换法零极点匹配法零极

13、点匹配法保持器等价法保持器等价法z变换法变换法(脉冲响应不变法脉冲响应不变法)离散化方法离散化方法 s与与z之间的变换关系之间的变换关系 向后差分向后差分(矩形积分矩形积分)法法1.1.一阶向后差分法一阶向后差分法主要特性主要特性主要特性主要特性 s s平面与平面与平面与平面与z z平面映射关系平面映射关系平面映射关系平面映射关系当当当当 =0=0（s s平面虚轴），平面虚轴），平面虚轴），平面虚轴），s s平面虚轴映射到平面虚轴映射到平面虚轴映射到平面虚轴映射到z z平面为该平面为该平面为该平面为该小圆的圆周。小圆的圆周。小圆的圆周。小圆的圆周。当当当当 0 0（s s右半平面），映射到右半

14、平面），映射到右半平面），映射到右半平面），映射到z z平面为上述小圆的外平面为上述小圆的外平面为上述小圆的外平面为上述小圆的外部。部。部。部。当当当当 0 0（s右半平面），映射到右半平面），映射到z平面单位圆外平面单位圆外。当当 0（s左半平面），映射到左半平面），映射到z平面单位圆内平面单位圆内。若若D(s)稳定，则稳定，则D(z)确定稳定确定稳定双线性变换映射关系双线性变换映射关系频率畸变：双线性变换的一对一映射，保证了离散频率特性频率畸变：双线性变换的一对一映射，保证了离散频率特性不产生频率混叠现象，但产生了频率畸变。不产生频率混叠现象，但产生了频率畸变。变换前后，稳态增益不变。变换

15、前后，稳态增益不变。应用应用 这种方法运用便利，且有确定的精度和前述一些好的特性，这种方法运用便利，且有确定的精度和前述一些好的特性，工程上应用较为普遍。工程上应用较为普遍。这种方法的主要缺点是高频特性失真严峻，主要用于低通这种方法的主要缺点是高频特性失真严峻，主要用于低通环节的离散化，不宜用于高通环节的离散化。环节的离散化，不宜用于高通环节的离散化。留意，这里的零阶保持器是假想的，并没有物理的零留意，这里的零阶保持器是假想的，并没有物理的零阶保持器。这种方法可以保证连续与离散环节阶跃响应相阶保持器。这种方法可以保证连续与离散环节阶跃响应相同，但要进行同，但要进行z变换，同样具有变换，同样具有

16、z变换法的一系列缺点，变换法的一系列缺点，所以应用亦较少。所以应用亦较少。3.3.带零阶保持器带零阶保持器z z变换法（阶跃响应不变法）变换法（阶跃响应不变法）2 25 5 计算机限制系统的离散化设计方法计算机限制系统的离散化设计方法 计算机限制系统离散化设计的步骤（干脆设计）计算机限制系统离散化设计的步骤（干脆设计）第第1 1步：求系统广义脉冲传递函数，即对带有零阶保持器的被控步：求系统广义脉冲传递函数，即对带有零阶保持器的被控对象传递函数进行变换。对象传递函数进行变换。第第2 2步：依据对限制系统性能指标的要求和其他约束条件，构步：依据对限制系统性能指标的要求和其他约束条件，构造系统的闭环脉冲传递函数。造系统的闭环脉冲传递函数。第第3 3步：求出数字限制器。步：求出数字限制器。第第4 4步：检验计算机限制系统闭环性能。若满足指标要求，进步：检验计算机限制系统闭环性能。若满足指标要求，进行下一步；否则，重新进行设计。行下一步；否则，重新进行设计。改进设计的途径有：改进设计的途径有：选择更合适的离散化方法选择更合适的离散化方法提高采样频率提高采样频率修正连续域设计，如增加稳定裕度指标等修正连续域设计，如增加稳定裕度指标等第第5 5步：将步：将D(z)D(z)变为差分方程，在计算机上编程实现。变为差分方程，在计算机上编程实现。