矩阵的特征值和特征向量.ppt

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1、矩阵的特征值和特征矩阵的特征值和特征向量向量1.特征值与特征向量的定义特征值与特征向量的定义2.相关概念相关概念3.特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的求法4.特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质4.1 矩阵的特征值矩阵的特征值 和特征向量和特征向量1.特征值与特征向量的定义特征值与特征向量的定义 定义定义4.1若存在常数若存在常数及及非零向量非零向量例例：设：设即即2.相关概念相关概念(定义定义4.2)称称因为因为 即即n n元齐次线性方程组元齐次线性方程组 有非零解，有非零解，等价于等价于设设A为为n阶矩阵，则阶矩阵，则0是是A的特征值，的特征值，是是A的属于的属于0的特征向量

2、的的特征向量的充要条件是充要条件是0为特征方程为特征方程det(E-A)=0的根，的根，是齐次线性方是齐次线性方程组程组(E-A)X=0的非零解。的非零解。推论推论1、2若若1,2是是A属于属于0的特征向量的特征向量,则则c11+c22也是也是A属于属于0的特征向量。的特征向量。(c11+c22 0)定理定理4.1可求得非零解可求得非零解对每个对每个解方程解方程此即对应于此即对应于的特征向量的特征向量.解特征方程解特征方程,即可得特征值即可得特征值3.特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的求法例例 1 求矩阵求矩阵的特征值与特征向量的特征值与特征向量.解解得特征值得特征值当当时时,解方程解方

3、程由由得基础解系得基础解系全部特征向量为全部特征向量为当当时时,解方程解方程由由得基础解系得基础解系全部特征向量为全部特征向量为例例 2 求矩阵求矩阵的特征值与特征向量的特征值与特征向量.解解解解得特征值得特征值当当时时,解方程解方程得基础解系得基础解系全部特征向量为全部特征向量为当当时时,解方程解方程得基础解系得基础解系全部特征向量为全部特征向量为注意在例注意在例1与例与例2中中,特征方程的特征方程的重根所对应的线性无关特征向量的个数重根所对应的线性无关特征向量的个数.例例3 如果矩阵如果矩阵则称则称是幂等矩阵是幂等矩阵.试证试证幂等矩阵的特征值只能是幂等矩阵的特征值只能是 0或或 1.证明

4、证明 设设两边左乘矩阵两边左乘矩阵,得得由此可得由此可得因为因为所以有所以有得得由证明过程可得结论由证明过程可得结论,若若是是的特征值的特征值,则则是是的特征值的特征值.进而进而是是的特征值的特征值.练习：练习：这里这里 的主对角线上的元素之和的主对角线上的元素之和称为称为的的迹迹，记为，记为 即即 定理定理的特征值都不为零。的特征值都不为零。且仅当且仅当推论推论 设设是一个是一个阶矩阵，则阶矩阵，则是一个可逆矩阵当是一个可逆矩阵当4.特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质定理定理：n n阶矩阵阶矩阵A A与它的转置矩阵与它的转置矩阵A AT T有相同的特征值。有相同的特征值。证：证：要

5、使要使A A和和A AT T有相同的特征值，只要有相同的特征值，只要|E-E-A AT T|=|=|E-E-A|A|成立。成立。事实上，事实上，|E-E-A AT T|=|(|=|(E-E-A)A)T T|=|=|E-E-A|A|线性无线性无关的。关的。定理定理：矩阵矩阵的属于不同特征值的特征向量是的属于不同特征值的特征向量是证明：证明：设设是是的的个互不相同的特征值，个互不相同的特征值，线性无关。线性无关。归纳法证明归纳法证明是是的属于特征值的属于特征值的特征向量，现对的特征向量，现对作数学作数学时，由于特征向量不为零，因此定理成立。时，由于特征向量不为零，因此定理成立。当当假设假设的的个互

6、不相同的特征值对应的个互不相同的特征值对应的个特征向量是线性无关的。设个特征向量是线性无关的。设的的互不相同的特征值，互不相同的特征值，是是的属于特征值的属于特征值量。又设：量。又设：是是个个的特征向的特征向(1)(1)成立。成立。则有则有:又将又将(1)(1)式两边同乘式两边同乘得：得：从而有从而有由归纳假设得由归纳假设得再由再由两两互不相同可得两两互不相同可得将其代入将其代入(1)(1)式得式得，因此有，因此有线性无关。线性无关。，从而，从而定理定理：1,2,m是是A的的m个不同的特征值，个不同的特征值，A的属的属 于于i的线性无关的特征向量为的线性无关的特征向量为 i1,i2,isi(i=1,2,.,m)，则向量组则向量组11,12,1s1,21,22,2s2,m1,m2,msm,线性无关。线性无关。不同特征向量可属于同一个特征值不同特征向量可属于同一个特征值.一个特征向量不能对应于不同特征值一个特征向量不能对应于不同特征值.不同特征值对应的特征向量是线性无关的不同特征值对应的特征向量是线性无关的.练习练习