第二章 第十一节导数与函数的单调性、极值、最值.ppt

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1、第二章第二章 第十一节第十一节 导数导数与函数的单调性、极与函数的单调性、极值、最值值、最值1.1.函数的单调性与导数的关系函数的单调性与导数的关系（1 1）函数）函数y=f(x)y=f(x)在（在（a a，b b）内可导）内可导常数函数常数函数（2 2）单调性的应用）单调性的应用若函数若函数y=f(x)y=f(x)在区间（在区间（a,ba,b）上单调，则）上单调，则y=f(x)y=f(x)在该区间上在该区间上_._.不变号不变号2.2.函数的极值函数的极值（1 1）极大值）极大值在包含在包含x x0 0的一个区间（的一个区间（a,b)a,b)内，函数内，函数y=f(x)y=f(x)在任何一点

2、的函数在任何一点的函数值都值都_x_x0 0点的函数值，称点的函数值，称_为函数为函数y=f(x)y=f(x)的极大值的极大值点，其函数值点，其函数值_为函数的极大值为函数的极大值.小于或等于小于或等于点点x x0 0f(xf(x0 0)（2 2）极小值）极小值在包含在包含x x0 0的一个区间（的一个区间（a,ba,b）内，函数）内，函数y=f(x)y=f(x)在任何一点的函数在任何一点的函数值都值都_x_x0 0点的函数值，称点的函数值，称_为函数为函数y=f(x)y=f(x)的极小值的极小值点，其函数值点，其函数值_为函数的极小值为函数的极小值._与与_统称为极值，统称为极值，_与与_统

3、称为统称为极值点极值点.大于或等于大于或等于点点x x0 0f(xf(x0 0)极大值极大值极小值极小值极大值点极大值点极小值点极小值点（3 3）导数与极值）导数与极值x x(a,x(a,x0 0)x x0 0(x(x0 0,b),b)f(x)f(x)+0 0-y=f(x)y=f(x)增加增加 极大值极大值 减少减少 f(x)f(x)-0 0+y=f(x)y=f(x)减少减少极小值极小值 增加增加 3.3.函数极值与最值的求法函数极值与最值的求法(1)(1)求可导函数求可导函数y=f(x)y=f(x)极值的步骤：极值的步骤：求出导数求出导数f(x)f(x)；解方程解方程f(x)=0f(x)=0

4、；对于方程对于方程f(x)=0f(x)=0的每一个解的每一个解x x0 0，分析，分析f(xf(x0 0)在在x x0 0左、右两左、右两侧的符号（即侧的符号（即f f（x x）的单调性），确定极值点：若）的单调性），确定极值点：若ff（x x）在）在x x0 0两侧的符号两侧的符号“_”“_”，则，则x x0 0为极大值点；若为极大值点；若ff（x x）在）在x x0 0两侧的符号两侧的符号“_”“_”，则，则x x0 0为极小值点；若为极小值点；若ff（x x）在）在x x0 0两侧的符号两侧的符号_，则，则x x0 0不是极值点不是极值点.左正右负左正右负左负右正左负右正相同相同（2 2

5、）求函数在闭区间）求函数在闭区间a,ba,b上的最值可分两步进行：上的最值可分两步进行：求求y=f(x)y=f(x)在在(a,b)(a,b)内的内的_；将函数将函数y=f(x)y=f(x)的各极值与区间的各极值与区间a,ba,b端点处的函数值端点处的函数值f(a)f(a)，f(b)f(b)比较，其中比较，其中_为最大值，为最大值，_为最小为最小值值.极值极值最大的一个最大的一个最小的一个最小的一个判断下面结论是否正确（请在括号中打判断下面结论是否正确（请在括号中打“”“”或或“”“”）.(1)f(x)(1)f(x)0 0是是f(x)f(x)为增函数的充要条件为增函数的充要条件.().()(2)

6、(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.().()(3)(3)函数的极大值不一定比极小值大函数的极大值不一定比极小值大.().()(4)(4)对可导函数对可导函数f(x),f(xf(x),f(x0 0)=0)=0是是x x0 0点为极值点的充要条件点为极值点的充要条件.(.()(5)(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值极小值.().()【解析】【解析】（1 1）错误）错误.f(x).f(x)0 0能推出能推出f(x)f(x)为增函数，反之为增函数，反之不一定如函数不一定如函数

7、f(x)=xf(x)=x3 3在在(-,+)(-,+)上单调递增，但上单调递增，但f(x)0f(x)0所以所以f(x)f(x)0 0是是f(x)f(x)为增函数的充分条件，为增函数的充分条件，但不是必要条件但不是必要条件(2)(2)错误一个函数在某区间上或定义域内极大值可以不止一错误一个函数在某区间上或定义域内极大值可以不止一个个.(3)(3)正确正确.一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系，极一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系，极大值可能比极小值大，也可能比极小值小大值可能比极小值大，也可能比极小值小.(4)(4)错误错误.对可导函数对可导函数f(x)f(x)，f(xf(x0 0

8、)=0)=0只是只是x x0 0点为极值点的必要点为极值点的必要条件，如条件，如y=xy=x3 3在在x=0 x=0时时f(0)=0f(0)=0，而函数在，而函数在R R上为增函数，所以上为增函数，所以0 0不是极值点不是极值点(5)(5)正确正确.当函数在区间端点处取得最值时，这时的最值不是极当函数在区间端点处取得最值时，这时的最值不是极值值.答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)1 1函数函数f(x)f(x)ln xln xax(a0)ax(a0)的递增区间为的递增区间为()()（A A）（B B）（C C）（D D）(-,a)(-,a)【解析解析】选选A

9、.A.由由 得得 f(x)f(x)的递增的递增区间为区间为2 2设设f(x)f(x)x(axx(ax2 2bxbxc)(a0)c)(a0)在在x x1 1和和x x1 1处均有极值，处均有极值，则下列点中一定在则下列点中一定在x x轴上的是轴上的是()()（A A）(a(a，b)b)（B B）(a(a，c)c)（C C）(b(b，c)c)（D D）(a(ab b，c)c)【解析】【解析】选选A.f(x)A.f(x)3ax3ax2 22bx2bxc c，由题意知，由题意知1 1，1 1是方程是方程3ax3ax2 22bx2bxc c0 0的两根，的两根，b b0.0.3.3.函数函数f(x)=x

10、f(x)=x3 3-3x,x(-1,1)()-3x,x(-1,1)()（A A）有最大值，但无最小值）有最大值，但无最小值 （B B）有最大值，也有最小值）有最大值，也有最小值（C C）无最大值，也无最小值）无最大值，也无最小值 （D D）无最大值，但有最小值）无最大值，但有最小值【解析】【解析】选选C.f(x)=3xC.f(x)=3x2 2-3,x(-1,1),f(x)-3,x(-1,1),f(x)0,0,f(x)f(x)在在(-1,1)(-1,1)上是减少的，故上是减少的，故f(x)f(x)无最大值，也无最小值无最大值，也无最小值.4 4已知已知f(x)f(x)x x3 3axax在在1

11、1，)上是增加的，则上是增加的，则a a的最大值的最大值是是()()（A A）0 0 （B B）1 1 （C C）2 2 （D D）3 3【解析】【解析】选选D.f(x)D.f(x)3x3x2 2a0a0在在1 1，)上恒成立，即上恒成立，即a3xa3x2 2在在1 1，)上恒成立，而上恒成立，而(3x(3x2 2)minmin31312 23.3.a3a3，故，故a amaxmax3.3.5 5已知已知y yf(x)f(x)是定义在是定义在R R上的函数，且上的函数，且f(1)f(1)1 1，f(x)1f(x)1，则则f(x)xf(x)x的解集是的解集是()()（A A）(0,1)(0,1)

12、（B B）(1,0)(0,1)1,0)(0,1)（C C）(1(1，)（D D）(，1)(11)(1，)【解析】【解析】选选C.C.令令F(x)F(x)f(x)f(x)x x，则，则F(x)F(x)f(x)f(x)1010，所，所以以F(x)F(x)是增函数，故易得是增函数，故易得F(x)F(1)F(x)F(1)的解集，即的解集，即f(x)xf(x)x的解集的解集是是(1(1，)考向考向 1 1 利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性 【典例【典例1 1】（1 1）（）（20122012辽宁高考）函数辽宁高考）函数 的递减的递减区间为区间为()()（A A）(-1,1(-1,1 （B

13、 B）(0,1(0,1（C C）1,+)1,+)（D D）(0,+)(0,+)（2 2）（）（20122012北京高考改编）已知函数北京高考改编）已知函数f(x)=axf(x)=ax2 2+1(a0),+1(a0),g(x)=xg(x)=x3 3+bx.+bx.若曲线若曲线y=f(x)y=f(x)与曲线与曲线y=g(x)y=g(x)在它们的交点在它们的交点(1,c)(1,c)处具有公切处具有公切线线,求求a,ba,b的值的值;当当a a2 2=4b=4b时时,求函数求函数f(x)+g(x)f(x)+g(x)的单调区间的单调区间.【思路点拨】【思路点拨】（1 1）保证函数有意义的前提下，利用）保

14、证函数有意义的前提下，利用y0y0求求解解.(2)(2)利用交点既在利用交点既在f(x)f(x)上上,也在也在g(x)g(x)上，在公切点处导数相等，上，在公切点处导数相等，构造方程组求解；构造方程组求解；构造函数构造函数F(x)=f(x)+g(x)F(x)=f(x)+g(x)，再利用导数求，再利用导数求单调区间单调区间.【规范解答】【规范解答】（1 1）选）选B.B.由由 -1x1-1x1，且，且x0 x0，又函数的定义域为，又函数的定义域为(0,+),(0,+),故递减区间为故递减区间为(0,1(0,1.（2 2）f(x)=2ax,g(x)=3xf(x)=2ax,g(x)=3x2 2+b+

15、b，由已知可得由已知可得解得解得a=b=3.a=b=3.令令 令令F(x)=0F(x)=0，得，得a0,xa0,x1 1x0F(x)0得，得，或或由由F(x)0F(x)0得，得，递增区间是递增区间是递减区间为递减区间为【互动探究】【互动探究】在本例题在本例题(2)(2)中，若条件不变，讨论函数中，若条件不变，讨论函数f(x)+g(x)f(x)+g(x)当当a a0 0时，在区间（时，在区间（-，-1)-1)上的单调性上的单调性.【解析】【解析】由本例解析知，当由本例解析知，当a a0 0时，函数的递增区间是时，函数的递增区间是 递减区间为递减区间为当当 即即0 0a2a2时，时，f(x)+gf

16、(x)+g（x x）在）在(-(-，-1)-1)上为增上为增加的；加的；当当 即即2a626a6时，时，f(x)+gf(x)+g（x x）在）在 上是增加的，在上是增加的，在 上是减少的，在上是减少的，在 上是增加的上是增加的.综上，当综上，当0a200a0时时,因为二次函数因为二次函数y=axy=ax2 2+(a-1)x-a+(a-1)x-a的图像开口向的图像开口向上上,而而f(0)=-a0,f(0)=-a0,所以需所以需f(1)=(a-1)e0,f(1)=(a-1)e0,即即0a1;0a1;3 3分分当当a=1a=1时时,对于任意对于任意xx0,10,1,有有f(x)=(xf(x)=(x2

17、 2-1)e-1)ex x0,0,且只且只在在x=1x=1时时f(x)=0,f(x)f(x)=0,f(x)符合条件符合条件;当当a=0a=0时时,对于任意对于任意xx0,10,1,f(x)=-xe,f(x)=-xex x0,0,且只在且只在x=0 x=0时，时，f(x)=0f(x)=0，f(x)f(x)符合条件符合条件;当当a0a0,f(x)f(0)=-a0,f(x)不符合条件不符合条件.故故a a的取值范围为的取值范围为0a1.50a1.5分分(2)(2)因因g(x)=(-2ax+1+a)eg(x)=(-2ax+1+a)ex x,g(x)=(-2ax+1-a)eg(x)=(-2ax+1-a)

18、ex x,()()当当a=0a=0时时,g(x)=e,g(x)=ex x0,g(x)0,g(x)在在x=0 x=0处取得最小值处取得最小值g(0)=1,g(0)=1,在在x=1x=1处取得最大值处取得最大值g(1)=e.g(1)=e.6 6分分()()当当a=1a=1时时,对于任意对于任意xx0,10,1有有g(x)=-2xeg(x)=-2xex x0,g(x)0,g(x)在在x=0 x=0处取得最大值处取得最大值g(0)=2,g(0)=2,在在x=1x=1取得最小值取得最小值g(1)=0.7g(1)=0.7分分()()当当0a10a1时时,由由g(x)=0g(x)=0得得若若 即即 时时,g

19、(x)g(x)在在0,10,1上是增加的上是增加的,g(x),g(x)在在x=0 x=0处取得最小值处取得最小值g(0)=1+a,g(0)=1+a,在在x=1x=1处取得最大值处取得最大值g(1)=(1-a)e.9g(1)=(1-a)e.9分分若若 即即 时时,g(x)g(x)在在 处取得最大值处取得最大值 在在x=0 x=0或或x=1x=1处取得最小值处取得最小值,而而g(0)=1+a,g(1)=(1-a)e,10g(0)=1+a,g(1)=(1-a)e,10分分由由g(0)-g(1)=1+a-(1-a)eg(0)-g(1)=1+a-(1-a)e=(1+e)a+1-e=0,=(1+e)a+1

20、-e=0,得得则则当当 时，时，g(0)-g(1)0,g(x)g(0)-g(1)0,g(x)在在x=0 x=0处取得最小值处取得最小值g(0)=1+a;g(0)=1+a;当当 时，时，g(0)-g(1)g(0)-g(1)0,g(x)0,g(x)在在x=1x=1处取得最小值处取得最小值g(1)=(1-a)e.g(1)=(1-a)e.1212分分【失分警示】【失分警示】(下文下文见规范解答过程）见规范解答过程）1.(20121.(2012陕西高考陕西高考)设函数设函数f(x)=xef(x)=xex x，则，则()()(A)x=1(A)x=1为为f(x)f(x)的极大值点的极大值点(B)x=1(B)

21、x=1为为f(x)f(x)的极小值点的极小值点(C)x=-1(C)x=-1为为f(x)f(x)的极大值点的极大值点(D)x=-1(D)x=-1为为f(x)f(x)的极小值点的极小值点【解析】【解析】选选D.f(x)=xeD.f(x)=xex x，f(x)=(xef(x)=(xex x)=e)=ex x+xe+xex x=e ex x(x+1)(x+1)，令，令f(x)=0f(x)=0，则，则x=-1.x=-1.当当x-1x-1时，时，f(x)0f(x)-1x-1时，时，f(x)0f(x)0，所以，所以x=-1x=-1为为f(x)f(x)的极小值点的极小值点.2.(20122.(2012重庆高考

22、重庆高考)设函数设函数f(x)f(x)在在R R上可导，其导函数为上可导，其导函数为f(x)f(x)，且函数，且函数y=(1-x)f(x)y=(1-x)f(x)的图像如图所示，则下列结论的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是中一定成立的是()()(A)(A)函数函数f(x)f(x)有极大值有极大值f(2)f(2)和极小值和极小值f(1)f(1)(B)(B)函数函数f(x)f(x)有极大值有极大值f(-2)f(-2)和极小值和极小值f(1)f(1)(C)(C)函数函数f(x)f(x)有极大值有极大值f(2)f(2)和极小值和极小值f(-2)f(-2)(D)(D)函数函数f(x)f(x)有极大值

23、有极大值f(-2)f(-2)和极小值和极小值f(2)f(2)【解析】【解析】选选D.D.由图像可知由图像可知,当当x-2x0,1-x0,y0,1-x0，所以所以f(x)0,f(x)0,当当-2x1-2x1时时,y0,y0，所以，所以f(x)0,f(x)0,当当1x21x0,1-x0,1-x0，所以，所以f(x)0,f(x)2x2时时,y0,1-x0,y0,1-x0.f(x)0.所以函数所以函数f(x)f(x)有极大值有极大值f(-2)f(-2)和极小值和极小值f(2).f(2).3.(20123.(2012新课标全国卷新课标全国卷)已知函数已知函数f(x)=f(x)=则则y=f(x)y=f(x

24、)的图像大致为的图像大致为()()【解析】【解析】选选B.B.令令g(x)=ln(1+x)-x,g(x)=ln(1+x)-x,所以所以g(x)=g(x)=得得g(x)0g(x)0-1x0,g(x)0-1x0,g(x)0,x0,得得g(x)g(0)=0,g(x)0 x0或或-1x0-1x0时均有时均有f(x)0,f(x)0,排除排除A,C,D.A,C,D.4.4.（20132013景德镇模拟）已知函数景德镇模拟）已知函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为-1,5-1,5，部分对应值如表，部分对应值如表，f(x)f(x)的导函数的导函数y=f(x)y=f(x)的图像如图所示的图像如图所示,下列关

25、于函数下列关于函数f(x)f(x)的命题的命题:函数函数f(x)f(x)的值域为的值域为1,21,2;函数函数f(x)f(x)在在0 0，2 2上是减少的上是减少的;x-1 0 4 5 f(x)1 2 2 1 如果当如果当xx-1,t-1,t时，时，f(x)f(x)的最大值是的最大值是2 2，那么，那么t t的最大值的最大值为为4;4;当当1 1a a2 2时，函数时，函数y=f(x)-ay=f(x)-a有有4 4个零点个零点.其中真命题为其中真命题为_（填写序号）（填写序号）.【解析】【解析】由由y=f(x)y=f(x)的图像知的图像知,y=f(x),y=f(x)在在(-1,0)(-1,0)

26、上是增加的上是增加的,在在(0,2)(0,2)上是减少的上是减少的,在在(2,4)(2,4)上是增加的上是增加的,在在(4,5)(4,5)上是减少的上是减少的,故故正确正确;当当x=0 x=0与与x=4x=4时时,y=f(x),y=f(x)取极大值取极大值,当当x=2x=2时时,y=f(x),y=f(x)取极取极小值小值,因为因为f(2)f(2)的值不确定的值不确定,故故不正确不正确;对于对于,t,t的最大值的最大值为为5.5.答案答案:5.(20125.(2012安徽高考安徽高考)设函数设函数(1)(1)求求f(x)f(x)在在0,+)0,+)内的最小值内的最小值.(2)(2)设曲线设曲线y

27、=f(x)y=f(x)在点在点(2(2，f(2)f(2)处的切线方程为处的切线方程为求求a,ba,b的值的值.【解析】【解析】(1)(1)设设t=et=ex x(t1)(t1)，则，则当当a1a1时，时，yy0 0 y=at+by=at+b在在1 1，+)+)上是增加的，上是增加的，得：当得：当t=1(x=0)t=1(x=0)时，时，f(x)f(x)取最小值为取最小值为当当0 0a a1 1时，时，y=at+b2+by=at+b2+b，当且仅当当且仅当at=1(t=eat=1(t=ex x=,x=-ln a)=,x=-ln a)时，时，f(x)f(x)取最小值为取最小值为b+2.b+2.(2)

28、(2)由题意得：由题意得：1.1.函数函数f(x)f(x)的图像经过四个象限，则的图像经过四个象限，则实数实数a a的取值范围是的取值范围是()()【解析】【解析】选选D.f(x)D.f(x)axax2 2axax2a2aa(xa(x2)(x2)(x1)1)，要，要使函数使函数f(x)f(x)的图像经过四个象限，则的图像经过四个象限，则f(f(2)f(1)02)f(1)0，即，即 解得解得2.2.已知已知 在在R R上不是增函数，则上不是增函数，则b b的取值的取值范围是范围是_【解析】【解析】假设假设 在在R R上是增函数，则上是增函数，则y0y0恒成立即恒成立即x x2 22bx2bxb b2020恒成立，所以恒成立，所以4b4b2 24 4(b(b2)02)0成立，解得成立，解得1b21b2，故所求为，故所求为bb2.b2.答案：答案：bb2b2