第五章-回归设计优秀PPT.ppt

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1、5.1 5.1 回来设计的基本概念回来设计的基本概念5.2 Box5.2 BoxBenhkenBenhken设计设计5.3 5.3 二次回来的中心组合设计二次回来的中心组合设计5.4 5.4 二次回来正交设计二次回来正交设计5.5 5.5 二次回来旋转设计二次回来旋转设计5.6 D5.6 D最优混合设计最优混合设计第五章第五章 回来设计回来设计5.1 回来设计的基本概念回来设计的基本概念 回来设计方法是由英国统计学家回来设计方法是由英国统计学家G.Box在在20世纪世纪50年头初针对化工生年头初针对化工生产提出的。产提出的。回来设计也称为响应面设计，目的回来设计也称为响应面设计，目的是寻求试验

2、指标与各定量因子间的定是寻求试验指标与各定量因子间的定量规律，找到工作条件的最优值（最量规律，找到工作条件的最优值（最优工艺、最佳配方等）。优工艺、最佳配方等）。它是在多元线性回来的基础上用主它是在多元线性回来的基础上用主动收集数据的方法获得具有较好性质动收集数据的方法获得具有较好性质的回来方程的一种试验设计方法。的回来方程的一种试验设计方法。5.1.1 回来分析回来分析数据处理由被动变主动数据处理由被动变主动 古典的回来分析方法只是被动地处理已有古典的回来分析方法只是被动地处理已有的试验数据，对试验点的支配不提任何要求，的试验数据，对试验点的支配不提任何要求，试验点散乱而不匀整，预料值的标准

3、误很大，试验点散乱而不匀整，预料值的标准误很大，且对于回来方程的精度探讨也很少。且对于回来方程的精度探讨也很少。其后果：其后果：（1）盲目增加试验次数，这些试验数据还）盲目增加试验次数，这些试验数据还不能供应充分的信息，在很多复因子试验问不能供应充分的信息，在很多复因子试验问题中达不到试验目的。题中达不到试验目的。（2）对模型的合适性有时无法检验，因为）对模型的合适性有时无法检验，因为在被动处理数据时在同一试验点上不确定存在被动处理数据时在同一试验点上不确定存在重复试验数据。在重复试验数据。为了适应寻求最佳工艺、最佳配方、建立为了适应寻求最佳工艺、最佳配方、建立生产过程的数学模型等的须要，人们

4、就要求生产过程的数学模型等的须要，人们就要求以较少的试验次数建立精度较高的回来方程。以较少的试验次数建立精度较高的回来方程。为此，要求摆脱古典回来分析的被动局面，主动把试验为此，要求摆脱古典回来分析的被动局面，主动把试验的支配、数据的处理和回来方程的精度统一起来考虑，即的支配、数据的处理和回来方程的精度统一起来考虑，即依据试验目的和数据分析的要求来选择试验点，不仅使得依据试验目的和数据分析的要求来选择试验点，不仅使得在每一个试验点上获得的数据含有最大的信息，从而削减在每一个试验点上获得的数据含有最大的信息，从而削减试验次数，而且使数据的统计分析具有一些较好的性质。试验次数，而且使数据的统计分析

5、具有一些较好的性质。这就是二十世纪五十年头发展起来的这就是二十世纪五十年头发展起来的“回来设计回来设计”所探所探讨的问题。讨的问题。回来设计的分类：回来设计的分类：依据建立的回来方程的次数不同，回来设计通常有一次依据建立的回来方程的次数不同，回来设计通常有一次回来设计、二次回来设计等；回来设计、二次回来设计等；依据设计的性质又有正交设计、旋转设计、通用设计和依据设计的性质又有正交设计、旋转设计、通用设计和最优设计等。最优设计等。本章仅介绍二次回来的各种设计方法。本章仅介绍二次回来的各种设计方法。5.1.2 多项式回来模型多项式回来模型 在一些试验中希望建立试验指标在一些试验中希望建立试验指标

6、y 与与各个定量因子各个定量因子 之间关系的定量表达之间关系的定量表达式，即回来方程，以便通过该回来方程式，即回来方程，以便通过该回来方程找出访指标满足极值要求的各因子的取找出访指标满足极值要求的各因子的取值。值。可以假定可以假定 y与与 间有如下关系：间有如下关系：这里这里 是是 的一个函数，其图的一个函数，其图形也称为响应曲面。形也称为响应曲面。是随机误差，通常假定它听从均值是随机误差，通常假定它听从均值为为0，方差为，方差为 的正态分布。的正态分布。试验设计中，我们称 为因子或自变量。称 的可能取值的空间为因子空间。我们的任务就是从因子空间中找寻一个最佳工艺条件（最优点），使y满足要求。

7、当f 的函数形式已知时，可以通过最优化的方法去找寻 。在很多状况下f 的形式并不知道，这时常常用一个多项式去靠近它，即假定：这里各这里各 为未知参数，称为回为未知参数，称为回来系数，通常须要通过试验数据对它们进行估计。来系数，通常须要通过试验数据对它们进行估计。在实际中常用如下的一次与二次回来方程：在实际中常用如下的一次与二次回来方程：若用若用 表示相应的估计，则称表示相应的估计，则称 为为y y关于关于 的多项式回来方程。的多项式回来方程。5.1.3 多元线性回来多元线性回来 多项式回来模型，在对变量作了变换并重多项式回来模型，在对变量作了变换并重新命名后也可以看成是一个多元线性回来模新命名

8、后也可以看成是一个多元线性回来模型。比如对二次回来模型型。比如对二次回来模型令令即变成五元线性回来模型。即变成五元线性回来模型。1回来模型回来模型 假定回来模型为：假定回来模型为：记随机变量的观测向量为记随机变量的观测向量为回来参数向量为回来参数向量为 ，随机误差向量为，随机误差向量为结构矩阵结构矩阵上述模型可以表示为矩阵形式：上述模型可以表示为矩阵形式：2回来系数的最小二乘估计 估计回来模型中回来系数的方法是最小二乘法。记回来系数的最小二乘估计为 ，应满足如下正规方程组：当 存在时，最小二乘估计为：在求得了最小二乘估计后，可以写出回来方程：3对回来方程的显著性检验 对回来方程的显著性检验是指

9、检验如下假设：H0：H1：不全为0 则平方和分解式 其中 为残差平方和，自由度为 为回来平方和，自由度为 当H0为真时，有 给定的显著性水平 ，拒绝域为 4失拟检验失拟检验 当在某些点有重复试验数据，便可以对试验指标当在某些点有重复试验数据，便可以对试验指标 y 的期的期望是否是望是否是 的函数进行检验，这种检验称为失拟的函数进行检验，这种检验称为失拟检验，它检验如下假设：检验，它检验如下假设：当当在在有有些些试试验验点点上上有有mi重重复复试试验验时时，试试验验点点为为n，总总试试验验次次数数为为N，残残差差平平方方和和可可进进一一步步分分解解为为组组内内平平方方和和与与组组间间平平方方和和

10、，其其中中组组内内平平方方和和就就是是纯纯误误差差平平方方和和，记记为为 ，组组间平方和称为失拟平方和，记为间平方和称为失拟平方和，记为 ，即：，即：，检验统计量为检验统计量为 在在H0H0为真时，为真时，对于给定的显著性水平，对于给定的显著性水平 下，拒绝域为：下，拒绝域为：当拒绝当拒绝H0H0时，须要找寻缘由，变更模型，否则接受线性回时，须要找寻缘由，变更模型，否则接受线性回来模型合适，可以将来模型合适，可以将SeSe与与SLfSLf合并作为合并作为SESE检验方程是否显著。检验方程是否显著。其中其中 5对回来系数的显著性检验对回来系数的显著性检验 当回来方程显著时，可进一步检验某个回来系

11、数是当回来方程显著时，可进一步检验某个回来系数是否为否为0，也即检验如下假设：，也即检验如下假设：每一项回来系数每一项回来系数j=1,2,p逐一进行。逐一进行。常用的检验方法是常用的检验方法是t检验或等价的检验或等价的F检验，检验，F统计量统计量为：为：其中其中 是是 中的第中的第j+1个对角元素。个对角元素。记分子为记分子为 ，它是因子，它是因子 的回来平方和。的回来平方和。分母分母 是模型中是模型中 的无偏估计。的无偏估计。当H0j为真时，有 。给定的显著性水平 ，当 时拒绝原假设H0j，即认为 显著不为零，回来关系显著；否则人为回来关系不显著，可以将对应的变量从回来方程中删除。注：当有不

12、显著的系数时，一般状况下一次只能删除一个F值最小的变量，重新计算回来系数，再重新检验。通常要到余下的系数都显著时为止。5.1.4 因子水平的编码因子水平的编码 在回来问题中各因子的量纲不同，其取值的范在回来问题中各因子的量纲不同，其取值的范围也不同，为了数据处理的便利，对全部的因子围也不同，为了数据处理的便利，对全部的因子作一个线性变换，使全部因子的取值范围都转化作一个线性变换，使全部因子的取值范围都转化为中心在原点的一个单位为中心在原点的一个单位“立方体立方体”中，这一变换中，这一变换称为对因子水平的编码。称为对因子水平的编码。方法如下：方法如下：设因子设因子 的取值范围为：的取值范围为：与

13、与 分别为因子分别为因子 的下水平的下水平()与上水平与上水平()其中心也称为零水平：其中心也称为零水平：因子的变更半径为因子的变更半径为 令编码值令编码值 ，而实际值，而实际值 此变换式就称为此变换式就称为“编码变换编码变换”例例5.1.1 5.1.1 因子因子z z的取值范围为：的取值范围为：1030，对其作编码：对其作编码：编码后，编码后，10对应对应-1，30对应对应1，20对应对应0。变换后，正交点在编码空间变换后，正交点在编码空间为中心在原点的立方体，其边为中心在原点的立方体，其边长为长为2 2。编码变换后，编码变换后，z zm m对应的编码为对应的编码为 ，z zM M对应的编码

14、为对应的编码为 ，z z0 0对应的对应的编码为编码为0 0。这样不管什么取值范。这样不管什么取值范围，都转化为值域围，都转化为值域-1,1-1,1或或-,-,。见示意图。见示意图。5.2 BoxBoxBenhkenBenhken设计设计BoxBoxBehnkenBehnken设计是由统计学家设计是由统计学家BoxBox和和Behnken Behnken 提出的一种比较常用的回来设计提出的一种比较常用的回来设计方法，适用于方法，适用于2 2至至5 5个因子的优化试验。个因子的优化试验。BoxBoxBehnkenBehnken设计首先假定试验范围内设计首先假定试验范围内因子存在二次项，其基试验点

15、的选取为编因子存在二次项，其基试验点的选取为编码立方体的每条棱的中点，即随意两因子码立方体的每条棱的中点，即随意两因子做做2222交互，而其它因子固定在交互，而其它因子固定在0 0水平。水平。再加上中心点。再加上中心点。三因子三因子Box-BehnkenBox-Behnken设计设计 试验点示意图试验点示意图BoxBoxBenhkenBenhken设计设计例题：对超高压杀灭枯草芽孢例题：对超高压杀灭枯草芽孢杆菌效果杆菌效果Y Y的探讨发觉：温度、的探讨发觉：温度、压力、保压时间是灭活枯草芽压力、保压时间是灭活枯草芽孢杆菌显著影响因子。孢杆菌显著影响因子。探讨结果表明杀灭探讨结果表明杀灭6 6个

16、数量个数量级的枯草芽孢杆菌的杀菌条件：级的枯草芽孢杆菌的杀菌条件：温度为温度为T=30T=306060，压力为，压力为P=200P=200600 MPa600 MPa，保压时间为，保压时间为M=10M=1020min20min，试分析最优杀，试分析最优杀菌工艺参数。菌工艺参数。BoxBoxBenhkenBenhken设计设计BoxBoxBenhkenBenhken设计设计题解：本试验接受题解：本试验接受Box-BehnkenBox-Behnken设计，以温设计，以温度度T T，压力，压力P P，保压时间，保压时间M M 三个外界因子为自三个外界因子为自变量，并以变量，并以+1+1、0 0、-1

17、-1分别代表自变量的高、分别代表自变量的高、中、低水平，对自变量进行编码。中、低水平，对自变量进行编码。超高压杀灭菌的数量级超高压杀灭菌的数量级Y Y为响应值（为响应值（Y=-Y=-log10 Nt/N0 log10 Nt/N0，即经超高压作用后枯草芽孢，即经超高压作用后枯草芽孢杆菌死亡的数量级，杆菌死亡的数量级，NtNt为超高压处理后为超高压处理后1ml1ml菌液中的活菌数，菌液中的活菌数，N0N0为比照为比照1ml1ml菌液中的活菌液中的活菌数）菌数）BoxBoxBenhkenBenhken设计设计因子因子代号代号水平水平编码-1-10 01 1温度温度()()T T30304545606

18、0压力力(MPa)(MPa)P P200200400400 600600保保压时间(min)(min)M M101015152020试验因子的水平及编码表试验因子的水平及编码表BoxBoxBenhkenBenhken设计设计试验设计与试验结果列表试验设计与试验结果列表Trial No.Trial No.T TP PMMY Y1 1-1-10 0-1-14.274.272 21 10 0-1-15.445.443 3-1-10 01 15.115.114 41 10 01 15.795.795 5-1-1-1-10 02.112.116 61 1-1-10 03.213.217 7-1-11 1

19、0 06.046.048 81 11 10 06.876.879 90 0-1-1-1-12.702.7010100 0-1-11 13.443.4411110 01 1-1-16.236.2312120 01 11 16.436.4313130 00 00 05.455.4514140 00 00 05.325.3215150 00 00 05.675.6716160 00 00 05.435.4317170 00 00 05.235.23BoxBoxBenhkenBenhken设计设计分析结果分析结果Factor DF SS MS F PT 4 2.041247 0.510312 13.6

20、7 0.0020P 4 26.797874 6.699469 179.46 .0001M 4 0.716485 0.179121 4.80 0.0352 在在0.050.05水平下，只有温度（水平下，只有温度（T T）压力（）压力（P P）和保压时间（和保压时间（M M）与灭菌效果都存在显著的）与灭菌效果都存在显著的回来关系。回来关系。在在T=60.37,P=663.87,M=13.51 T=60.37,P=663.87,M=13.51 时，灭菌时，灭菌效果最大，达到效果最大，达到6.796.79。须要进行试验验证。须要进行试验验证。BoxBoxBenhkenBenhken设计设计T=60.3

21、7,P=663.87,M=13.51T=60.37,P=663.87,M=13.51时，极大值时，极大值Y=6.79Y=6.795.3 二次回来的中心组合设计二次回来的中心组合设计 一、中心组合设计方案一、中心组合设计方案 中心组合设计中的试验点由三部分中心组合设计中的试验点由三部分组成：组成：（1）将编码值）将编码值-1与与1看成每个因子的看成每个因子的两个水平，接受二水平正交表支配试两个水平，接受二水平正交表支配试验，可以是全因子试验，也可以是其验，可以是全因子试验，也可以是其1/2实施，实施，1/4实施等，称这种试验点为实施等，称这种试验点为正交点。这样的点有正交点。这样的点有mc=2p

22、个，选取个，选取正交表的正交表的p个基本列构成。个基本列构成。（2）在每一因子的坐标轴上取两个）在每一因子的坐标轴上取两个试验点，该因子的编码值分别为试验点，该因子的编码值分别为-与与 ，其它因子的编码值为，其它因子的编码值为0。由于有。由于有p个个因子，因此这部分试验点共有因子，因此这部分试验点共有2p个。个。称这种试验点为星号点或主轴点。称这种试验点为星号点或主轴点。（3）在试验区域的中心进行）在试验区域的中心进行m0次重次重复试验，这时每个因子的编码值均为复试验，这时每个因子的编码值均为0。称这种试验点为中心点。称这种试验点为中心点。如如p=2=2的中心组合设计方案是：的中心组合设计方案

23、是：如如p=2=2的中心组合设计试验点的分布图的中心组合设计试验点的分布图二、中心组合设计方案的特点二、中心组合设计方案的特点 该方案总试验次数该方案总试验次数n为：为：每个因子都取每个因子都取5个水平，故该方案所布的试验点个水平，故该方案所布的试验点范围较广。范围较广。该方案还有较大的敏捷性，因为在方案中留有两该方案还有较大的敏捷性，因为在方案中留有两个待定参数个待定参数 m0（中心点的试验次数）和（中心点的试验次数）和 （主轴（主轴点的位置），使二次回来设计具有正交性、旋转点的位置），使二次回来设计具有正交性、旋转性等。性等。中心点处的中心点处的m0次重复，可以精确估计试验误差，次重复，可

24、以精确估计试验误差，从而使对方程与系数的检验有了牢靠依据。从而使对方程与系数的检验有了牢靠依据。5.4 二次回来正交设计二次回来正交设计 二次回来正交设计是二次回来中心组合二次回来正交设计是二次回来中心组合设计的一种常用设计方法。设计的一种常用设计方法。假如一个设计具有正交性，则数据分析假如一个设计具有正交性，则数据分析将是特别便利的，由于所得的回来系数将是特别便利的，由于所得的回来系数的估计值之间互不相关，因此删除某些的估计值之间互不相关，因此删除某些因子时不会影响其它的回来系数的估计，因子时不会影响其它的回来系数的估计，从而很简洁写出全部回来系数为显著的从而很简洁写出全部回来系数为显著的回

25、来方程。回来方程。我们可以适当选择我们可以适当选择m0与与 使二次回来中使二次回来中心组合设计具有正交性。心组合设计具有正交性。5.4.1 二次中心组合设计的结构矩阵二次中心组合设计的结构矩阵X与系数矩阵与系数矩阵 p=2的中心组合设计回来模型的结构式为的中心组合设计回来模型的结构式为 结构矩阵如下：结构矩阵如下：x0 x1 x2 x1x2 (x1)2(x2)2这里这里mc=4，2p=4，则，则n=mc+2p+m0=8+m0，再记，再记那么那么各平方项所对应的行、列在非对角线都有非各平方项所对应的行、列在非对角线都有非0 0元素元素5.4.2 正交性的实现正交性的实现 要使中心组合设计具有正交

26、性，就要求要使中心组合设计具有正交性，就要求 为对角阵。为对角阵。首首先先利利用用“中中心心化化”变变换换使使各各平平方方项项列列的的和和为为0 0，为为此此把把列的元素减去该列的均值，而此时的列的元素减去该列的均值，而此时的 阵为：阵为：这里这里GG是是p阶对称方阵：阶对称方阵：为使设计成为正交的只要设法使为使设计成为正交的只要设法使g=0因为因为 n=mc+2p+m0设定设定 m0后，因此可以适当选取后，因此可以适当选取 使使 g=0。对不同的因子个数对不同的因子个数 p 与中心点重复次数与中心点重复次数 m0，对对应的值见表应的值见表。表表5.4.1 5.4.1 二次回来正交设计的参数二

27、次回来正交设计的参数 值表值表 1 1回来系数的估计回来系数的估计 在对在对 列作了中心化变换后，我们可以首先建立列作了中心化变换后，我们可以首先建立y y 关于关于诸诸 的回来方程：的回来方程：再记再记 ，其中，其中 则各项回来系数：则各项回来系数：5.4.3 统计分析统计分析2对回来方程与回来系数的检验 由于是正交设计，各项 的回来平方和为 总回来平方和为 仍旧用 表示总平方和，其自由度为 ，则残差平方和为回来方程的检验：回来方程的检验：若在中心点上有重复试验的话，还可以进一步对 进行分解：则失拟项：可用 对二次回来模型的合适性进行检验。各项回来系数可用进行检验。进行检验。例例5.4.1

28、5.4.1 为提高钻头的寿命，在数控机床上进行试验，为提高钻头的寿命，在数控机床上进行试验，考察钻头的寿命与钻头轴向振动频率考察钻头的寿命与钻头轴向振动频率F F及振幅及振幅A A的关系。的关系。在试验中，在试验中，F F与与A A的变动范围分别为：的变动范围分别为：125 Hz125 Hz，375Hz375Hz与与1.51.5，5.55.5，接受二次回来正交组合设计，并在中心点重复，接受二次回来正交组合设计，并在中心点重复进行三次试验。进行三次试验。1对因子的取值进行编码对因子的取值进行编码 现在有两个因子，即现在有两个因子，即p=2，现在中心点进行三次试验，现在中心点进行三次试验，即即m0

29、=3，则查得此二次回来正交组合设计中的，则查得此二次回来正交组合设计中的 =1.148。因子因子F与与A的零水平分别是的零水平分别是250，3.5;它们的变更半径分它们的变更半径分别是别是109，1.74.因子编码值见表因子编码值见表5.4.4。2试验支配与试验结果 本例的试验支配及试验结果见表5.4.5。表5.4.5 试验支配与试验结果 3参数估计参数估计4.模型、方程及系数的检验模型、方程及系数的检验 本例中由于在中心点有本例中由于在中心点有3次重复试验，所以在给出所得到次重复试验，所以在给出所得到的回来方程之前，先对模型的合适性、方程及系数作显著的回来方程之前，先对模型的合适性、方程及系

30、数作显著性检验：性检验：中心点上中心点上3次试验结果的平均值为次试验结果的平均值为 =206，由此求得纯误，由此求得纯误差平方和差平方和 Se=1026，从而失拟平方和为：从而失拟平方和为：SLf=1281.53-1026=255.53，失拟检验的统计量为：失拟检验的统计量为：在在 时，时，所以认为模型合适。，所以认为模型合适。有关方程与系数的检验见表有关方程与系数的检验见表5.4.7。由于由于 ，所以认为方程显著。又，所以认为方程显著。又 ，。所以。所以 与与 的系数在显著性水平的系数在显著性水平0.050.05上是上是显著的，显著的，x x2 2的系数在显著性水平的系数在显著性水平0.10

31、0.10上是显著的。上是显著的。5.写出二次回来方程并求最佳条件写出二次回来方程并求最佳条件 我们可以写出在我们可以写出在0.10水平上各系数都显著的回来方程为：水平上各系数都显著的回来方程为：再将再将(5.4.16)(5.4.16)代入，即可得代入，即可得y y关于关于x1,x2x1,x2的二次回来方程：的二次回来方程：最终再将编码式最终再将编码式代入，即可得代入，即可得y y关于关于F F，A A的二次回来方程：的二次回来方程：为延长寿命，可以将回来方程对为延长寿命，可以将回来方程对F F与与A A分别求导，并令其分别求导，并令其为零以解出最佳水平组合为为零以解出最佳水平组合为F=291.

32、58F=291.58，A=3.50A=3.50，在该水平，在该水平组合下，平均寿命的估计是组合下，平均寿命的估计是211.6211.6。5.5 二次回来旋转设计二次回来旋转设计5.5.1 旋转性旋转性 回来正交设计的最大优点是试验次数较少，回来正交设计的最大优点是试验次数较少，计算简便，又消退了回来系数间的相关性。计算简便，又消退了回来系数间的相关性。但是其缺点是预料值的方差依靠于试验点但是其缺点是预料值的方差依靠于试验点在因子空间中的位置。由于误差的干扰，试在因子空间中的位置。由于误差的干扰，试验者不能依据预料值干脆找寻最优区域。验者不能依据预料值干脆找寻最优区域。若能使二次设计具有旋转性，

33、即能使与试若能使二次设计具有旋转性，即能使与试验中心距离相等验中心距离相等()的点上预料值的方差相的点上预料值的方差相等，即等，即Var()=f()，那就有助于克服上述缺，那就有助于克服上述缺点。点。所以试验者常常希望牺牲部分的正交性而所以试验者常常希望牺牲部分的正交性而获得旋转性，计算的工作量可以交由计算机获得旋转性，计算的工作量可以交由计算机帮助处理。帮助处理。5.5.2 二次旋转设计二次旋转设计 一个中心组合设计要成为二次旋转设计应满足一个中心组合设计要成为二次旋转设计应满足旋转性条件和非退化条件。旋转性条件和非退化条件。1.二次设计的旋转性条件二次设计的旋转性条件 二次设计的旋转性条件

34、为：二次设计的旋转性条件为：2.2.二次旋转设计的非退化条件：二次旋转设计的非退化条件：为使设计是使矩阵为使设计是使矩阵 不退化，就要求试验点的不退化，就要求试验点的分布满足：分布满足：在中心组合设计方案中在中心组合设计方案中n n个试验点分布在三个不同半径个试验点分布在三个不同半径的球面上，其中：的球面上，其中：个点分布在半径为个点分布在半径为 的球面上；的球面上；2p 2p个点分布在半径为个点分布在半径为 的球面上；的球面上；个点分布在半径为个点分布在半径为 的球面上。的球面上。满足不会使矩阵满足不会使矩阵 退化的条件。退化的条件。3.的选取的选取 为使设计满足旋转性条件只要适当选取参数为

35、使设计满足旋转性条件只要适当选取参数 ，在中心组合，在中心组合设计中有：设计中有：因此因此 ，为使设计具有旋转性，则要求，为使设计具有旋转性，则要求 即只要：即只要：或或 当对中心组合设计提出进一步的要求时，可以确定设计中当对中心组合设计提出进一步的要求时，可以确定设计中的另一个参数的另一个参数m0。5.5.3 二次回来正交旋转设计（二次回来正交旋转设计（Orthogonal）当要求一个回来设计不仅具有旋转性，还要求具当要求一个回来设计不仅具有旋转性，还要求具有正交性，或至少是近似正交的，称为二次回来有正交性，或至少是近似正交的，称为二次回来正交旋转设计。这须要使正交旋转设计。这须要使 的非对

36、角线元素全为的非对角线元素全为0，即只须要：，即只须要：在在g的表达式中，的表达式中，mc是给定的，因为满足旋转性是给定的，因为满足旋转性 也已确定，式中也已确定，式中 ，所以，所以g只是只是m0的函数，的函数，所以可解出所以可解出m0。假如解得的假如解得的m0是整数，则所得设计为正交旋转是整数，则所得设计为正交旋转设计；假如设计；假如m0不是整数，则取最接近的整数，这不是整数，则取最接近的整数，这时是近似正交的旋转设计。时是近似正交的旋转设计。二次回来正交（或近似正交）旋转组合设计的参数 与m0见表5.5.1。表5.5.1 二次回来正交旋转组合设计参数5.5.4 二次回来通用旋转设计二次回来

37、通用旋转设计(Uniform Precision)所谓一个设计具有通用性是指在与编码中心距离所谓一个设计具有通用性是指在与编码中心距离小于小于1的随意点的随意点(x1,x2,xp)上的预料值的方差近上的预料值的方差近似相等。似相等。一个旋转设计各点预料值的方差仅与该点到中心一个旋转设计各点预料值的方差仅与该点到中心的距离的距离有关，即有关，即Var()=f()。而通用设计要求当。而通用设计要求当|t|X17.8188740.2843927.493460.0001X2-8.566080.28439-30.12090.0001X310.80570.2843937.996020.0001X1*X1-

38、0.706850.276846-2.553230.028705X1*X2-1.90.371574-5.113390.000455X1*X32.70.3715747.2663920.0001X2*X2-0.017410.276846-0.06290.951088X2*X3-0.350.371574-0.941940.368422X3*X3-3.464570.276846-12.51440.00015.5.去掉不显著的项重新回来去掉不显著的项重新回来模型检验模型检验SourceDFSSMSFPrFModel73695.62527.9458526.6410.0001Error1212.029731.

39、002478(Lackoffit)78.9213971.2744852.050110.223309(PureError)53.1083330.621667Total193707.656.6.重新回来后重新回来后参数估计参数估计TermEstimateStdErrtPr|t|X17.8188740.27093328.859050.0001X2-8.566080.270933-31.6170.0001X310.80570.27093339.883270.0001X1*X1-0.705120.262443-2.686770.019788X1*X2-1.90.353991-5.367370.00016

40、9X1*X32.70.3539917.6273110.0001X3*X3-3.462850.262443-13.19470.00017.7.回来方程及其驻点回来方程及其驻点Y1=43.096+7.819*X1-8.5669*X2+10.806*X3-0.705*X1*X1-1.9*X1*X2+2.7*X1*X3-0.463*X3*X3驻点处驻点处X1-4.53107鞍点鞍点X26.711891Y=-6.296 X3-0.54514特征值特征值0.865802-1.02896-4.02568 在驻点处其二次型矩阵特征值有正有负，此驻点为鞍点，在驻点处其二次型矩阵特征值有正有负，此驻点为鞍点，不存

41、在极值，需进行岭脊分析。不存在极值，需进行岭脊分析。8.8.岭脊分析岭脊分析半径半径Y预测值预测值标准误标准误X1X2X3043.1103180.4286350000.145.7716310.4272330.086905-0.0932550.1097060.248.4318250.4238690.180418-0.1906540.2103300.351.1010420.4211250.278880-0.2914100.3030960.453.7871420.4233790.381000-0.3948910.3891690.556.4962010.4364940.485803-0.5006040

42、.4695790.659.2329320.4666900.592567-0.6081610.5452040.762.0010150.5188080.700760-0.7172610.6167770.864.8033500.5951280.809989-0.8276660.6849050.967.6422440.6956180.919966-0.9391880.7500891.070.5195490.8190191.030477-1.0516750.8127418.8.岭脊分析（续）岭脊分析（续）半径半径Y预测值预测值标准误标准误X1X2X31.173.436770.9637831.141363

43、-1.1650.8732051.276.395141.1285371.252504-1.279070.9317661.379.395671.3121991.363813-1.393790.9886631.482.439221.5139641.475222-1.509091.0440961.585.526481.733241.586681-1.624911.0982361.688.658071.9695961.698153-1.74121.1512281.791.83452.2227141.809609-1.857921.2031961.895.056192.4923591.921028-1.9

44、75021.2542471.998.323552.7783522.032395-2.092471.3044732.0101.63693.080562.143697-2.210241.3539545.6 D最优混合设计最优混合设计5.6.1 D最优设计最优设计 回来设计的正交性、旋转性和通用性各有回来设计的正交性、旋转性和通用性各有其优点，但是都没有涉及统计意义上的优劣。其优点，但是都没有涉及统计意义上的优劣。最优设计就是从统计意义上来探讨不同试最优设计就是从统计意义上来探讨不同试验方案的优劣并建立最优方案。在全部的试验方案的优劣并建立最优方案。在全部的试验方案中，能使回来预料值与视察值拟合最验

45、方案中，能使回来预料值与视察值拟合最好的那个方案就是最优方案，即最优设计。好的那个方案就是最优方案，即最优设计。推断试验方案的优劣有很多标准，如：推断试验方案的优劣有很多标准，如：D优良性、优良性、G优良性、优良性、A优良性、优良性、E优良性、优良性、I优良性、优良性、U优良性等。其中以优良性等。其中以D优良性的运优良性的运用最为普遍，有人证明：事实上用最为普遍，有人证明：事实上G优良性与优良性与D优良性等价。优良性等价。5.6.1 D最优设计最优设计 1943年，年，Wald提出信息矩阵的行列式极大值判别提出信息矩阵的行列式极大值判别法。结构矩阵和信息矩阵与试验方案有关，设试法。结构矩阵和信

46、息矩阵与试验方案有关，设试验方案为验方案为，可以证明，试验方案的信息矩阵，可以证明，试验方案的信息矩阵A()的行列式的值的行列式的值|A()|越大，回来系数的预料值的方越大，回来系数的预料值的方差越小，预料值的方差也越小，试验方案也就越差越小，预料值的方差也越小，试验方案也就越优良。以此为依据，从各种试验方案中选择最优优良。以此为依据，从各种试验方案中选择最优设计方案的方法，称为设计方案的方法，称为D最优设计。最优设计。在同一模型下，两个试验方案在同一模型下，两个试验方案1和和2，假如方案，假如方案1的信息矩阵行列式的值大于的信息矩阵行列式的值大于2的值，即：的值，即：|A(1)|A(2)|，

47、则说明在，则说明在D优良性下方案优良性下方案1比比2有更好有更好的优良性。的优良性。5.6.2 D最优混合设计最优混合设计 D优良设计一般不满足正交性和旋转性，于是有人优良设计一般不满足正交性和旋转性，于是有人以回来组合设计为基础，提出了部分兼有近似以回来组合设计为基础，提出了部分兼有近似D优优良性、正交性和旋转性的良性、正交性和旋转性的D最优混合设计。最优混合设计。D最优混合设计的设计方案处理数较少，试验效率最优混合设计的设计方案处理数较少，试验效率较高，回来系数和待估参数之间拟合得较好，统计较高，回来系数和待估参数之间拟合得较好，统计分析上也较为便利。到目前为止，人们已经找到了分析上也较为

48、便利。到目前为止，人们已经找到了若干若干2至至6个因子的个因子的D最优混合设计方案。最优混合设计方案。如如:R206,R207,R208,R310A,R310B,R311A,R311B,R312,R3414,R415,R416A,R416B,R416C,R521,R628A,R628B。其中其中R表示回来设计，第一个数字表示因子数，其表示回来设计，第一个数字表示因子数，其次三位数字表示处理个数，最终的字母表示相同因次三位数字表示处理个数，最终的字母表示相同因子的方案编号。子的方案编号。5.6.2 D D最优混合设计最优混合设计方案示例方案示例 R311AR311ANOX1X2X3Y1001.4

49、142.200-1.4142.3-1-10.7071.41-10.7071.5-110.7071.6110.7071.71.41420-0.7071.8-1.41420-0.7071.901.4142-0.7071.100-1.4142-0.7071.11000.5.6.2 D D最优混合设计最优混合设计方案示例方案示例 R416BR416BNOX1X2X3X4Y10001.7317.2000-0.2692.3-1-1-10.6045.41-1-10.6045.5-11-10.6045.611-10.6045.7-1-110.6045.81-110.6045.9-1110.6045.10111

50、0.6045.111.517700-1.0498.12-1.517700-1.0498.1301.51770-1.0498.140-1.51770-1.0498.15001.5177-1.0498.1600-1.5177-1.0498.5.6.2 D D最优混合设计最优混合设计方案示例方案示例 R3414R3414NOX1X2X3Y1000.2022.3122.4202.5212.6222.7232.8220.9221.10223.11322.12112.13121.14211.2005 2005年国家农业部下年国家农业部下发发“测土壤施肥技术规测土壤施肥技术规范范(试行试行)”)”举荐的运用