第二章傅里叶变换解析优秀PPT.ppt

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1、数字图像处理技术数字图像处理技术Digital Image Processing Technique吴昊天吴昊天E-mail:htwu1981163 2其次章其次章 图像变换技术图像变换技术要点：要点：1.主要介绍图像处理重要的工具主要介绍图像处理重要的工具 傅里叶变换傅里叶变换.2.傅立叶变换在图象处理中的意义是什么傅立叶变换在图象处理中的意义是什么?3.什么是高频、中频和低频成分，它们分别对应空间域图像的哪些部分什么是高频、中频和低频成分，它们分别对应空间域图像的哪些部分?4.什么是卷积定理，它在图象处理中的作用是什么什么是卷积定理，它在图象处理中的作用是什么?5.傅立叶变换的性质。傅立叶

2、变换的性质。31822年，傅立叶（年，傅立叶（Fourier）发表了发表了“热传导解析理论热传导解析理论”，提出了傅立，提出了傅立叶变换。它本质上提出了一种与空间思维不同的频域思维方法。叶变换。它本质上提出了一种与空间思维不同的频域思维方法。傅立叶变换是十九世纪数学界和工程界最辉煌的成果之一。它始终是傅立叶变换是十九世纪数学界和工程界最辉煌的成果之一。它始终是信号处理领域中最完备、应用最广泛、效果最好的一种分析手段。它信号处理领域中最完备、应用最广泛、效果最好的一种分析手段。它也是线性系统分析的有利工具。也是线性系统分析的有利工具。傅立叶变换能使我们从空间域（或时域）与频率域两个不同的角度来傅

3、立叶变换能使我们从空间域（或时域）与频率域两个不同的角度来看待信号或图象的问题。有时在时域无法解决的问题，在频域却是自看待信号或图象的问题。有时在时域无法解决的问题，在频域却是自不待言的。不待言的。4.1 4.1 4.1 背景背景背景背景背景背景4n傅里叶分析中最重要的结论就是几乎傅里叶分析中最重要的结论就是几乎“全部全部”的函数的函数(信号信号)都可以表都可以表示为示为(分解成分解成)简洁的简洁的(加权加权)正弦波和余弦波之和。从而供应了一种具正弦波和余弦波之和。从而供应了一种具有物理意义的函数表达方式。有物理意义的函数表达方式。设设:f(x)是以是以T为周期的函数为周期的函数,满足确定的条

4、件满足确定的条件,例如确定可积例如确定可积,则有则有564.1 4.1 4.1 背景背景背景背景背景背景特殊留意特殊留意n傅氏级数中基底的物理意义特别明确傅氏级数中基底的物理意义特别明确,每一个基函数都是一个单频谐每一个基函数都是一个单频谐波波,而相应的系数而相应的系数(频谱频谱)表明白原函数对这种频率成份贡献的大小表明白原函数对这种频率成份贡献的大小(原原函数在这个谐波上的投影函数在这个谐波上的投影),或者说原函数中某种频率成分的多少或者说原函数中某种频率成分的多少.n从图像从图像(信号信号)处理的角度处理的角度,利用谐波的物理性质可以通过对系数的处利用谐波的物理性质可以通过对系数的处理达到

5、对图像的处理理达到对图像的处理,如增加、压缩等等如增加、压缩等等.nf(x)傅氏系数傅氏系数ak的计算的计算,须要用到函数在整个空间须要用到函数在整个空间(或时间或时间)上的分布状上的分布状况况.7一维傅里叶变换及反变换一维傅里叶变换及反变换考虑定义在无穷区间连续函数的傅里叶变换公式考虑定义在无穷区间连续函数的傅里叶变换公式(通常函通常函数要满足确定的条件才能保证傅里叶变换的存在性和收敛性数要满足确定的条件才能保证傅里叶变换的存在性和收敛性):4.2 4.2 4.2 傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域

6、介绍8连续情形的傅里叶变换比较便利用于公式推导和定理证明连续情形的傅里叶变换比较便利用于公式推导和定理证明,但在实际但在实际应用中应用中,面临更多也更实际的是离散的状况面临更多也更实际的是离散的状况.定义离散情形的傅里叶变换定义离散情形的傅里叶变换(DFT)公式公式:f(x)为离散函数为离散函数,其中其中x=0,1,M-1.离散傅里叶变换和它对应的反变换总是存在的离散傅里叶变换和它对应的反变换总是存在的,不必特地关切分析不必特地关切分析各项的意义各项的意义.9频率域的概念频率域的概念:利用欧拉公式利用欧拉公式:ej =cos +jsin,有有其中其中u=0,1,2,M-1.变量变量u确定了变换

7、的频率成分确定了变换的频率成分 u的取值范围称为频率域的取值范围称为频率域(给定一个给定一个u 上述公式可以计算出离散信号中包含了上述公式可以计算出离散信号中包含了“多少多少”这个频率的谐波这个频率的谐波).对每对每一个一个u,F(u)称为变换的频率重量称为变换的频率重量(也叫振幅也叫振幅).4.2 4.2 4.2 傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍 F(u)可以看作f(x)在谐波上的投影，即f(x)在频率为u的谐波上占有的成份。10谱的概念谱的概念:留意到傅里叶变换后的函数是在复数域内留意到傅里

8、叶变换后的函数是在复数域内,也可以表示也可以表示为为F(u)=R(u)+iI(u)或极坐标的形式或极坐标的形式:F(u)=|F(u)|ej(u).我们把量我们把量|F(u)|=R2(u)+I2(u)1/2称为傅里叶变换的幅称为傅里叶变换的幅度度(Magnitude)或者谱或者谱(Spectrum).这是在图像处理中要常常这是在图像处理中要常常用到的量用到的量.谱可以表示原函数谱可以表示原函数(或图像或图像)对某一频谱重量的贡对某一频谱重量的贡献献.称为变换的相角或者相位谱称为变换的相角或者相位谱,用来表示原函数中某一频谱重量的起用来表示原函数中某一频谱重量的起始位置始位置*.另外另外,一个重要

9、的量是功率谱一个重要的量是功率谱(有时也叫能量谱、谱密度有时也叫能量谱、谱密度)P(u)=|F(u)|2=R2(u)+I2(u)4.2 4.2 4.2 傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍11例例4.1 两个简洁一维函数的傅里叶谱两个简洁一维函数的傅里叶谱特征特征:(1)当曲线下的面积在当曲线下的面积在x域加倍时域加倍时,频率谱的高度也加倍频率谱的高度也加倍;(2)当函数的长度加倍时当函数的长度加倍时,相同长度区域内的零点数量也加倍相同长度区域内的零点数量也加倍.极限状况极限状况?4.2 4.2 4

10、.2 傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍12说明说明:图图a函数的傅里叶变换为函数的傅里叶变换为:易见易见,当当u=0时时,ru=1,故而故而若若u 0,则则ru 1,对对u=1,2,M-1,利用欧拉公式可知利用欧拉公式可知:r=cos(2/M)-jsin(2/M).所以所以,当当uK是是M的倍数时的倍数时,就有就有ruK=1(当然这时也有当然这时也有ru2K=1),从而从而F(u)=0.假如图假如图a中函数中函数f(x)非零点的个数是非零点的个数是K时时,F(u)=0的点数是的点数是n个个,那么

11、那么,当当f(x)的非零点数是的非零点数是2K时时,F(u)=0的点数应当是的点数应当是2n个个.4.2 4.2 4.2 傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍13关于变量的说明关于变量的说明:书中的记号书中的记号 f(x)(x=0,1,M-1)表示从连续函数中取表示从连续函数中取M个样点个样点,这些这些点不确定选取为区间点不确定选取为区间0,M-1中的整数点中的整数点.通常用通常用x0(随意位置的随意位置的)表示第表示第一个取样点一个取样点,x是取样间隔是取样间隔.所以所以,f(x)理解为理解为其中

12、其中:u=0,1,M-1.值得留意的是值得留意的是,当当M固定时固定时,x和和u之间有如下的反比关系之间有如下的反比关系:其中其中:x=0,1,M-1.同理同理,变量变量u有相像的说明有相像的说明,但序列通常总是从但序列通常总是从0频率起先频率起先.因此因此,u的的取值序列为取值序列为u=0,u,2u,(M-1)u.F(u)理解为理解为:4.2 4.2 4.2 傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍14二维二维DFT及反变换及反变换离散情形离散情形完全类似完全类似.设设f(x,y)是一幅尺寸为是一幅尺

13、寸为MN的图象函数的图象函数,相应的相应的离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)可以表示为可以表示为:傅里叶谱傅里叶谱:|F(u,v)|=R2(u,v)+I2(u,v)1/2二维傅里叶变换本质上是一维情形向两个方向的简洁扩展二维傅里叶变换本质上是一维情形向两个方向的简洁扩展.4.2 4.2 4.2 傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍15相角相角:(u,v)=arctan(I(u,v)/R(u,v)功率谱功率谱:P(u,v)=|F(u,v)|2=R2(u,v)+I2(u,v)留意留意:为了把变换后的

14、中心移到图像的中心为了把变换后的中心移到图像的中心(M/2,N/2),通常在变换通常在变换之前都要在函数上乘以之前都要在函数上乘以(-1)x+y.这是由于傅里叶变换的平移性质确定这是由于傅里叶变换的平移性质确定的的,以一维为例以一维为例:f(x)ej2u0 x/M F(u-u0)f(x-x0)F(u)e-j2x0u/M当当x0=M/2或或u0=M/2时时f(x)(-1)x F(u-M/2)f(x-M/2)F(u)(-1)u4.2 4.2 4.2 傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍16对频谱图像的相

15、识对频谱图像的相识?4.2 4.2 4.2 傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍17易见易见是图像的平均灰度是图像的平均灰度.因为在原点处两个方向的频率都为零因为在原点处两个方向的频率都为零,所以所以,这这个量常常被称为频谱的直流重量个量常常被称为频谱的直流重量(DC).DC就是电子工程领域中的直流就是电子工程领域中的直流,也就是零频率的电流也就是零频率的电流.和一维情形和一维情形,同样也有同样也有4.2 4.2 4.2 傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和

16、频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍18例例4.2 一个简洁函数的频谱一个简洁函数的频谱(已经做过中心化处理已经做过中心化处理).图像是图像是512 512的黑色背景上叠加一个的黑色背景上叠加一个20 40 象素的白色矩形象素的白色矩形.频谱的显示频谱的显示经过了对数变换处理以加强灰度级细微环节经过了对数变换处理以加强灰度级细微环节,并适当调整了灰度强度并适当调整了灰度强度.可以看出可以看出,u方向谱的零点分隔恰好是方向谱的零点分隔恰好是v方向零点分隔的两倍方向零点分隔的两倍,在不同方向上符合了原图中在不同方向上符合了原图中1:2的矩形尺寸比例的矩形尺寸比例.这和一维情形完全

17、类似这和一维情形完全类似.极限状况、能量分布状况极限状况、能量分布状况?4.2 4.2 4.2 傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍19频率域滤波频率域滤波频率域的基本性质频率域的基本性质傅里叶变换每个频谱重量都要涉及到图像空间中的每个像素傅里叶变换每个频谱重量都要涉及到图像空间中的每个像素,所以所以一般来说一般来说,频谱信息中很难看出空间的信息。但由于频率反映的是空间频谱信息中很难看出空间的信息。但由于频率反映的是空间强度的变更率强度的变更率,如低频对应着图像变更慢的部分如低频对应着图像变更慢的部

18、分,高频对应着图像变更快高频对应着图像变更快的部分。所以的部分。所以,在某种意义上两者之间仍旧有不行分割的联系在某种意义上两者之间仍旧有不行分割的联系,尽管这些尽管这些联系是联系是“总体总体”的的.(4.2.16)(4.2.17)4.2 4.2 4.2 傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍20例例4.3 一幅图像和显示某些重要特征的傅利叶谱一幅图像和显示某些重要特征的傅利叶谱集成电路的扫描电子显微镜图像集成电路的扫描电子显微镜图像,放大放大2500倍倍.留意留意:45角角的两个强边缘和热感的两个强边

19、缘和热感应不足引起的两个白应不足引起的两个白色氧化突起色氧化突起.高频和低频部分高频和低频部分,能量分布的一般状况能量分布的一般状况.4.2 4.2 4.2 傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍21频率域滤波基础频率域滤波基础 f(x,y)F(u,v)步骤步骤:(1)用用(-1)x+y乘以输入图像乘以输入图像,做频谱中心化处理做频谱中心化处理;(2)计算计算(1)结果的结果的DFT,即即F(u,v);(3)用滤波器函数用滤波器函数H(u,v)乘以乘以F(u,v)(在频谱域处理图像在频谱域处理图像)滤

20、波器函滤波器函数下面探讨数下面探讨;(4)计算计算(3)中结果的反中结果的反DFT;(5)得到得到(4)结果中的实部结果中的实部;(6)用用(-1)x+y乘以乘以(5)中的结果中的结果滤波和滤波器滤波和滤波器:滤波顾名思义就是阻挡或削减信号或图像中的某些频滤波顾名思义就是阻挡或削减信号或图像中的某些频率成分率成分.滤波器滤波器(函数函数)就是能起到这样作用的函数就是能起到这样作用的函数.一般表达式一般表达式:G(u,v)=H(u,v)F(u,v)滤波后的结果图像可以从滤波后的结果图像可以从G(u,v)的反傅里叶变换得到的反傅里叶变换得到.g(x,y)=-1G(u,v)4.2 4.2 4.2 傅

21、里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍22频域滤波的基本步骤频域滤波的基本步骤(包括前处理和后处理包括前处理和后处理):一些基本的滤波器及其性质一些基本的滤波器及其性质一些基本的滤波器及其性质一些基本的滤波器及其性质陷波滤波器陷波滤波器(Notch Filter):使得处理后的图像平均值为零使得处理后的图像平均值为零,从而图从而图像的整体灰度降低像的整体灰度降低.4.2 4.2 4.2 傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变

22、换和频率域介绍23对图对图4.4a运用陷波滤波器运用陷波滤波器,将傅里叶变换的原点设置为将傅里叶变换的原点设置为0.4.2 4.2 4.2 傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍24低通滤波器和高通滤波器低通滤波器和高通滤波器4.2 4.2 4.2 傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍25高频增加滤波高频增加滤波4.2 4.2 4.2 傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶

23、变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍26空间域滤波器和频率域滤波器之间的对应关系空间域滤波器和频率域滤波器之间的对应关系结论:空间域的滤波器,和频率域的滤波器组成了一组傅里叶变换对.也就是说,给出在频率域的滤波器,通过傅里叶反变换就可以得到在空间域相应的滤波器,反之亦然.这个最基本的联系是由著名的卷积定理建立起来的.两个MN的离散函数f(x,y)和h(x,y)的卷积定义为空间域滤波的本质上就是用选好的掩模空间域滤波的本质上就是用选好的掩模(mask),经过确定的处理经过确定的处理,与与给定的图像作卷积给定的图像作卷积.例如例如:平滑滤波的掩模平滑滤波的掩模4.2 4.2

24、 4.2 傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍27卷积定理卷积定理F(u,v)f(x,y)的傅里叶变换的傅里叶变换H(u,v)h(x,y)的傅里叶变换的傅里叶变换则有则有f(x,y)*h(x,y)F(u,v)H(u,v)f(x,y)h(x,y)F(u,v)*H(u,v)4.2 4.2 4.2 傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍28卷积定理的证明提示：卷积定理的证明提示：（51）（52）证明：由定义：29

25、定义定义:在坐标在坐标(x0,y0)处强度为处强度为A的冲激的冲激(脉冲脉冲)函数函数A(x x0,y y0)满足满足一些结论：一些结论：1。2。3。30这这个个结结论论的的指指导导意意义义:在在频频率率域域选选择择滤滤波波器器更更为为直直观观,物物理理意意义义比比较较明明确确.在在空空间间域域用用较较小小的的模模板板进进行行滤滤波波计计算算则则比比较较经经济济.假假如如两两个个滤滤波波器器的的大大小小一一样样,则则在在频频率率域域进进行行滤滤波波计计算算比比较较便便利利.更更令令人人感感爱爱好好的的是是,在在频频率率域域找找到到一一个个有有意意义义的的滤滤波波器器,然然后后作作傅傅里里叶叶反

26、反变变换换,并并以以此此为为依依据据,尽可能在空间域建立尽可能小的滤波模板尽可能在空间域建立尽可能小的滤波模板.高斯滤波器高斯滤波器以以一一维维为为例例,设设高高斯斯滤滤波波器器(频频率率域域)为为H(u)=Ae-u2/2 2,其其中中:为为高斯曲线的标准差高斯曲线的标准差.而相关的空间滤波器则为而相关的空间滤波器则为留意高斯函数有两个重要特性留意高斯函数有两个重要特性:它本身和它的傅里叶变换都是实高斯函数它本身和它的傅里叶变换都是实高斯函数;这一对傅利叶变换相互间有某种反比特性这一对傅利叶变换相互间有某种反比特性,即当即当H(u)有较宽的轮有较宽的轮廓廓(大的大的 值值)时时,h(x)有较窄

27、的轮廓有较窄的轮廓,反之亦然反之亦然.当接近无限时当接近无限时,H(u)趋于常数量趋于常数量,h(x)则趋于冲激函数则趋于冲激函数.4.2 4.2 4.2 傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍31高斯函数是低高斯函数是低通滤波器通滤波器(?),但也但也可以通过组合构造可以通过组合构造出更困难的滤波器出更困难的滤波器,如高通和带通等如高通和带通等.高频增加高频增加空间域空间域频域滤波器频域滤波器空间域空间域4.2 4.2 4.2 傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶

28、变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍其中其中:32在频率域技术的发展过程中在频率域技术的发展过程中,常常被问到的问题就是计算困难性常常被问到的问题就是计算困难性.为为什么在空间域用小模板就可以做到的事情什么在空间域用小模板就可以做到的事情,却要在频率域里去考虑却要在频率域里去考虑?这个这个问题可以从两方面来回答问题可以从两方面来回答:一方面是因为频率域直观一方面是因为频率域直观,可以很简洁凭阅历指定滤波器可以很简洁凭阅历指定滤波器;另一方面的答案取决于空间模板的大小另一方面的答案取决于空间模板的大小,并可以用对比计算困难性的并可以用对比计算困难性的方式来回答方式来回答.

29、一个用于计算困难性对比的基准是计算卷积一个用于计算困难性对比的基准是计算卷积.空间域的卷积由公式空间域的卷积由公式(4.2.30)给出给出.而由卷积定理可知而由卷积定理可知,对两个函数傅里叶变换的乘积做反变对两个函数傅里叶变换的乘积做反变换换,也可以得到同样的结果也可以得到同样的结果.假定假定:在同一台微机上用软件实现这两种算法在同一台微机上用软件实现这两种算法(频率域运用频率域运用4.6.6节探节探讨的讨的FFT),会发觉对较小的会发觉对较小的M和和N值值,频率域的计算会特别快频率域的计算会特别快.频率域可以看成是一个试验室频率域可以看成是一个试验室,从中可以利用频率成分和图像外观之从中可以

30、利用频率成分和图像外观之间的对应关系间的对应关系.后面的很多例子将反复证明后面的很多例子将反复证明:一些在空间域中很难表述、甚至不行能一些在空间域中很难表述、甚至不行能的增加任务的增加任务,在频率域会变得特别简洁在频率域会变得特别简洁.例如周期性背景噪声例如周期性背景噪声.4.2 4.2 4.2 傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍傅里叶变换和频率域介绍334.3 4.3 4.3 傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现这一节是本章的重要内容之一这一节是本章的重要内

31、容之一.目的是解决实际计算傅里叶变换时目的是解决实际计算傅里叶变换时出现的问题出现的问题,包括快速傅里叶变换包括快速傅里叶变换.假设假设:f(x,y)是是M N的二维图像的二维图像,F(u,v)是其傅里叶变换是其傅里叶变换,有有平移性质平移性质f(x,y)ej2(u0 x/M+v0y/N)F(u u0,v v0)f(x x0,y y0)F(u,v)e-j2(x0u/M+x0v/N)二维傅里叶变换的性质二维傅里叶变换的性质34留意留意:当当u0=M/2和和v0=N/2时时,有有ej2(u0 x/M+v0y/N)=ej(x+y)=(-1)x+yf(x,y)(-1)x+y F(u M/2,v N/2

32、)供应了频谱中心化的方法供应了频谱中心化的方法.安排性和比例变换性安排性和比例变换性旋转性质旋转性质:假如引入极坐标假如引入极坐标:x=rcos,y=rsin,u=cos,v=sin f(r,+0)F(,+0)此式表明当原图像此式表明当原图像f(x,y)以某一角度旋转时以某一角度旋转时,其谱平面也将转过同样其谱平面也将转过同样的角度的角度.注注:对离散情形对离散情形,若有若有M=N,证明易见证明易见.4.3 4.3 4.3 傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现f(x,y)ej2(u0 x/M+v0y/N)F(u u0,v v0)352

33、022/11/535(a)原始图像 (b)DFT变换 (c)原始图像旋转45(d)旋转之后DFT变换结果 36*周期性和对称性周期性和对称性干脆验证可知干脆验证可知,离散傅里叶变换具有周期性离散傅里叶变换具有周期性F(u,v)=F(u+M,v)=F(u,v+N)=F(u+M,v+N)留意留意e-j2x=1,故故e-j2(u+M)x/M+vy/N)=e-j2(ux/M+vy/N)同理同理,反变换也具有周期性反变换也具有周期性f(x,y)=f(x+M,y)=f(x,y+N)=f(x+M,y+N)除此之外除此之外,还有共轭对称性还有共轭对称性F(u,v)=F*(-u,-v)共轭的定义为共轭的定义为:

34、若一个复数若一个复数Z=x+i y,则其共轭为则其共轭为Z*=x-i y,且且|Z|=|Z*|.4.3 4.3 4.3 傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现37由傅里叶变换的共轭对称性质可以得到结论由傅里叶变换的共轭对称性质可以得到结论:频谱是关于原点对频谱是关于原点对称的称的.|F(u,v)|=|F(-u,-v)|上述这些性质说明在这里给出的离散傅里叶变换是周期函数上述这些性质说明在这里给出的离散傅里叶变换是周期函数,并并关于原点对称关于原点对称(经过平移即为中心对称经过平移即为中心对称).4.3 4.3 4.3 傅里叶变换的实现傅

35、里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现38可分性可分性还可交换依次还可交换依次.因而在实际计算中因而在实际计算中,可逐列或逐行先计算一维的傅可逐列或逐行先计算一维的傅里叶变换里叶变换,然后对另外一个方向实行计算然后对另外一个方向实行计算 反变换的计算类似。反变换的计算类似。4.3 4.3 4.3 傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现39用前向变换计算傅里叶反变换用前向变换计算傅里叶反变换上式两边取复共轭并除以上式两边取复共轭并除以M,有有上式的形式和前向变换一样上式的形式和前向变换一样,左边再取

36、复共轭并乘以左边再取复共轭并乘以M就是对就是对F(u)反反变换的函数变换的函数.4.3 4.3 4.3 傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现主要思路是基于傅里叶变换的共轭性质主要思路是基于傅里叶变换的共轭性质,利用正变换公式计算反变利用正变换公式计算反变换换.傅里叶变换傅里叶变换40我们知道我们知道,傅里叶变换可以简化一些运算傅里叶变换可以简化一些运算,例如例如:卷积、微分等卷积、微分等.但但由于离散傅里叶变换由于离散傅里叶变换(反变换反变换)自动将原函数做了周期化的处理自动将原函数做了周期化的处理,因此在因此在利用傅里叶变换处理函数

37、利用傅里叶变换处理函数(或图象或图象)时时,确定要留意这种周期化对运算的确定要留意这种周期化对运算的影响影响.以卷积为例以卷积为例(特殊留意在频谱域滤波就相当于在空间域的卷积特殊留意在频谱域滤波就相当于在空间域的卷积).以一维为例以一维为例:假如假如f(x)和函数和函数h(x)各有各有400个点个点(如图如图4.36a和和4.36b),那么那么,(4.3.20)4.3 4.3 4.3 傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现关于周期性的更多探讨关于周期性的更多探讨:l干脆按公式干脆按公式(4.6.20)计算计算(留意在定义域外留意在定义域

38、外的点不参与运算的点不参与运算),它们的卷积函数它们的卷积函数g(x)应应当是有当是有800个点个点,从从0到到799,结果函数如图结果函数如图4.36e所示所示(这个是正确的解这个是正确的解).41l假如把函数假如把函数f(x)和和h(x)先作周期化处理先作周期化处理(为为什么什么?)l然后利用公式然后利用公式(4.3.20)计算计算,这时它们的这时它们的卷积函数卷积函数g(x)只有只有400个点个点,并且在开头有并且在开头有数据误差数据误差,结尾处出现数据丢失结尾处出现数据丢失4.3 4.3 4.3 傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换

39、的实现42l利用离散傅里叶变换的性质利用离散傅里叶变换的性质,两个函数的卷积可以由它们傅里叶变换两个函数的卷积可以由它们傅里叶变换的乘积做反变换得到的乘积做反变换得到由于傅里叶变由于傅里叶变换换(反变换反变换)附加的附加的周期性周期性(周期的长度周期的长度等于函数的长度等于函数的长度),假如不谨慎处理周假如不谨慎处理周期问题期问题,会得到和会得到和上面类似的结果上面类似的结果.4.3 4.3 4.3 傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现43如何处理周期问题如何处理周期问题?处理的方法是对要处理的函数作零延拓处理的方法是对要处理的函数作

40、零延拓(Padding).假设函数假设函数f(x)和和h(x)分别有分别有A个点和个点和B个点组成个点组成,对两个函数同时添加零对两个函数同时添加零,使它们具有相同使它们具有相同的周期的周期,用用P表示表示只要只要P A+B-1,将将fe(x)和和he(x)作周期化处理作周期化处理,然后再用然后再用(4.6.20)作卷积作卷积,就得到图就得到图4.37e的结果的结果,这个结果在这个结果在0-799的范围内的范围内,和原来的卷积结果和原来的卷积结果(图图4.36e)是相同的是相同的.另一方面另一方面,在作了适当的函数延拓后在作了适当的函数延拓后,我们就可以利用傅我们就可以利用傅里叶变换和反变换来

41、计算相应的卷积里叶变换和反变换来计算相应的卷积(或者相应的滤波或者相应的滤波)了了.4.3 4.3 4.3 傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现444.3 4.3 4.3 傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现45在频率域计算卷积的正确步骤在频率域计算卷积的正确步骤(1)对两个函数作零延拓至适当的长度对两个函数作零延拓至适当的长度;(2)做两个序列的傅里叶变换做两个序列的傅里叶变换(长度和延拓后的一样长度和延拓后的一样);(3)将两个序列的傅里叶变换相乘将两个序列的傅里叶变换相

42、乘;(4)计算乘积的傅里叶反变换计算乘积的傅里叶反变换.二维图像滤波问题二维图像滤波问题同样的道理同样的道理,在处理二维图像在处理二维图像,例如滤波等时例如滤波等时,也应遵循同样的理也应遵循同样的理念念.假设假设f(x,y)和和h(x,y)是两幅图像是两幅图像(可把可把h(x,y)看成是空间滤波器看成是空间滤波器),大小大小分别为分别为A B和和C D,选选:P A+C-1,Q B+D-1.延拓函数延拓函数f(x,y)和和h(x,y).4.3 4.3 4.3 傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现46在频谱域作卷积的正确步骤和一维类似在

43、频谱域作卷积的正确步骤和一维类似.图图4.38给出了几种滤波方式给出了几种滤波方式的结果的结果,这里这里h(x,y)是滤波器是滤波器H(u,v)的傅里叶反变换的傅里叶反变换.4.38a是图像未作延是图像未作延拓就实行傅里叶变换拓就实行傅里叶变换,4.38b是正确的函数延拓是正确的函数延拓,4.38c是延拓后的图像正是延拓后的图像正确滤波的结果确滤波的结果.留意在这个过程中留意在这个过程中用到了频率域滤波函数用到了频率域滤波函数的傅里叶反变换的傅里叶反变换,对反对反变换作零延拓变换作零延拓,然后再然后再进行正变换进行正变换.同样要留意同样要留意反变换的实部和虚部反变换的实部和虚部,不能在傅里叶计

44、算的中不能在傅里叶计算的中间过程中忽视虚部间过程中忽视虚部,而而且延拓要同时包括实部且延拓要同时包括实部和虚部和虚部.4.3 4.3 4.3 傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现47在空间域延拓低通滤波器在空间域延拓低通滤波器滤波结果滤波结果4.3 4.3 4.3 傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现48众所周知，两个二维函数众所周知，两个二维函数f(x,y)和和h(x,y)的卷积定义为的卷积定义为:它们之间的傅里叶变换有如下关系它们之间的傅里叶变换有如下关系f(x,y)*h

45、(x,y)F(u,v)H(u,v)f(x,y)h(x,y)F(u,v)*H(u,v)两个二维函数两个二维函数f(x,y)和和h(x,y)的相关函数定义为的相关函数定义为:(没有镜像变换没有镜像变换)其中其中:f*表示表示f的复共轭的复共轭.留意相关函数和卷积有特别类似的结构留意相关函数和卷积有特别类似的结构,因此因此f(x,y)h(x,y)F*(u,v)H(u,v)f*(x,y)h(x,y)F(u,v)H(u,v)4.3 4.3 4.3 傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现卷积和相关性理论卷积和相关性理论(引入一个新的概念引入一个新的

46、概念,相关性相关性)49相关的重要应用是匹配相关的重要应用是匹配.假设假设f(x,y)是一幅包含物体是一幅包含物体或者区域的图像或者区域的图像,假如想知道假如想知道中是否包含有感爱好的物体或中是否包含有感爱好的物体或区域区域,就让就让h(x,y)作为那个区域作为那个区域或物体或物体(模板模板),然后求两者的然后求两者的相关函数相关函数.假如存在匹配假如存在匹配(即即f中有感中有感爱好的物体或区域爱好的物体或区域),则相关函则相关函数会在数会在h和和f对应的位置达到最对应的位置达到最大值大值.4.3 4.3 4.3 傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现

47、傅里叶变换的实现卷积和相关性理论卷积和相关性理论504.3 4.3 4.3 傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现二维傅里叶变换的一些基本性质二维傅里叶变换的一些基本性质514.3 4.3 4.3 傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现二维傅里叶变换的一些基本性质二维傅里叶变换的一些基本性质524.3 4.3 4.3 傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现傅里叶变换的实现532022/11/553快速傅立叶变换快速傅立叶变换(FFT)n离

48、散傅立叶变换已成为数字信号处理的重要工具，离散傅立叶变换已成为数字信号处理的重要工具，然而，它的计算量大，运算时间长，在某种程度然而，它的计算量大，运算时间长，在某种程度上却限制了它的运用范围。上却限制了它的运用范围。n快速算法大大提高了运算速度，在某些应用场合快速算法大大提高了运算速度，在某些应用场合已能作实时处理，并且应用在限制系统中已能作实时处理，并且应用在限制系统中n快速傅立叶变换不是一种新的变换，它是离散傅快速傅立叶变换不是一种新的变换，它是离散傅立叶变换的一种算法，它是在分析离散傅立叶变立叶变换的一种算法，它是在分析离散傅立叶变换中的多余运算的基础上，进而消退这些重复工换中的多余运

49、算的基础上，进而消退这些重复工作的思想指导下得到的作的思想指导下得到的542022/11/554其原理：其原理：对于一个有限长序列对于一个有限长序列f(x)(0 x N-1)，它的傅立叶变换由它的傅立叶变换由下式表示：下式表示：令令傅立叶变换对可写为：傅立叶变换对可写为：(1)(2)55将正变换将正变换(1)绽开得到：绽开得到：矩矩阵阵表表示示为为：从上式可以看出，要得到每一个频率重量，需进行从上式可以看出，要得到每一个频率重量，需进行N次乘法和次乘法和N-1次加次加法运算。要完成整个变换须要法运算。要完成整个变换须要N2次乘法和次乘法和N(N-1)次加法运算。当序列次加法运算。当序列较长时，

50、必定要花费大量的时间较长时，必定要花费大量的时间562022/11/556视察上面的系数矩阵，发觉视察上面的系数矩阵，发觉Wmn是以是以N为周期的，即为周期的，即当当N=8时，其周期性如图所示，由于时，其周期性如图所示，由于所以当所以当N=8时，可得：时，可得：W0W1W2W3W4W5W6W7572022/11/557可见，离散傅立叶变换中的乘法运算有很多重复内容。可见，离散傅立叶变换中的乘法运算有很多重复内容。1965年年库利库利-图基提出原始的图基提出原始的N点序列依次分解成一系列短序列，然后，点序列依次分解成一系列短序列，然后，求出这些短序列的离散傅立叶变换，以此来削减乘法运算，例求出这