[工学]画法几何及土木工程制图06-曲线和曲面.ppt

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1、第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 工学画法几何及土木工程制图06-曲线和曲面 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 目目 录录6-1 曲线6-2 曲面概述6-3 直纹面6-4 曲线面2第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-1 6-1 曲线曲线 一、曲线的形成和分类一、曲线的形成和分类一、曲线的形成和分类一、曲线的形成和分类 曲线可以看作是由以下三种方式形成的：曲线可以看作是由以下三种方式形成的：曲线可以看作是由以下三

2、种方式形成的：曲线可以看作是由以下三种方式形成的：1.1.不断改变方向的点连续运动的轨迹。不断改变方向的点连续运动的轨迹。不断改变方向的点连续运动的轨迹。不断改变方向的点连续运动的轨迹。2.2.曲面立体表面的交线。曲面立体表面的交线。曲面立体表面的交线。曲面立体表面的交线。3.3.直线族或曲线族的包络。直线族或曲线族的包络。直线族或曲线族的包络。直线族或曲线族的包络。点的运动轨迹点的运动轨迹曲表面的交线曲表面的交线包络曲线包络曲线3第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-1 6-1 曲线曲线 曲线的分类：曲线的分类：曲线的分类：曲线的分类：可分为规则曲线与不规则曲线，例如圆是规则曲线，地面可分

3、为规则曲线与不规则曲线，例如圆是规则曲线，地面可分为规则曲线与不规则曲线，例如圆是规则曲线，地面可分为规则曲线与不规则曲线，例如圆是规则曲线，地面等高线是不规则曲线；等高线是不规则曲线；等高线是不规则曲线；等高线是不规则曲线；又可分为平面曲线和空间曲线，曲线上所有的点都位于一又可分为平面曲线和空间曲线，曲线上所有的点都位于一又可分为平面曲线和空间曲线，曲线上所有的点都位于一又可分为平面曲线和空间曲线，曲线上所有的点都位于一个平面上，这样的曲线叫平面曲线；连续四个点不在同一平面个平面上，这样的曲线叫平面曲线；连续四个点不在同一平面个平面上，这样的曲线叫平面曲线；连续四个点不在同一平面个平面上，这

4、样的曲线叫平面曲线；连续四个点不在同一平面上的曲线叫空间曲线。圆上的曲线叫空间曲线。圆上的曲线叫空间曲线。圆上的曲线叫空间曲线。圆柱螺旋线就是空间曲线的柱螺旋线就是空间曲线的柱螺旋线就是空间曲线的柱螺旋线就是空间曲线的例子。例子。例子。例子。4第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-1 6-1 曲线曲线 二、曲线的投影二、曲线的投影二、曲线的投影二、曲线的投影 画出曲线上一系列点的投影，可得到曲线的投影。为了准确地画出曲线上一系列点的投影，可得到曲线的投影。为了准确地画出曲线上一系列点的投影，可得到曲线的投影。为了准确地画出曲线上一系列点的投影，可得到曲线的投影。为了准确地表示曲线，一般应画出

5、曲线上特殊点的投影，以便控制好曲线的形表示曲线，一般应画出曲线上特殊点的投影，以便控制好曲线的形表示曲线，一般应画出曲线上特殊点的投影，以便控制好曲线的形表示曲线，一般应画出曲线上特殊点的投影，以便控制好曲线的形状。状。状。状。曲线的投影性质：曲线的投影性质：曲线的投影性质：曲线的投影性质：1.1.1.1.曲线的投影一般仍为曲线，特殊情形下平面曲线的投影可能曲线的投影一般仍为曲线，特殊情形下平面曲线的投影可能曲线的投影一般仍为曲线，特殊情形下平面曲线的投影可能曲线的投影一般仍为曲线，特殊情形下平面曲线的投影可能退化成直线；退化成直线；退化成直线；退化成直线；5第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面

6、 6-1 6-1 曲线曲线 2.2.曲线的切线在某投影面上的投影仍与曲线在该投影面上的投曲线的切线在某投影面上的投影仍与曲线在该投影面上的投曲线的切线在某投影面上的投影仍与曲线在该投影面上的投曲线的切线在某投影面上的投影仍与曲线在该投影面上的投影相切，而且切点的投影仍为切点；影相切，而且切点的投影仍为切点；影相切，而且切点的投影仍为切点；影相切，而且切点的投影仍为切点；3.3.3.3.二次曲线的投影一般仍为二次曲线，例如圆的投影一般为椭二次曲线的投影一般仍为二次曲线，例如圆的投影一般为椭二次曲线的投影一般仍为二次曲线，例如圆的投影一般为椭二次曲线的投影一般仍为二次曲线，例如圆的投影一般为椭圆。

7、圆。圆。圆。6第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-1 6-1 曲线曲线 平面曲线的投影，其形状平面曲线的投影，其形状平面曲线的投影，其形状平面曲线的投影，其形状视平面与投影面的倾斜状态而视平面与投影面的倾斜状态而视平面与投影面的倾斜状态而视平面与投影面的倾斜状态而定，当平面平行于投影面时，定，当平面平行于投影面时，定，当平面平行于投影面时，定，当平面平行于投影面时，曲线的投影反映曲线的实形；曲线的投影反映曲线的实形；曲线的投影反映曲线的实形；曲线的投影反映曲线的实形；当平面垂直于投影面时，曲线当平面垂直于投影面时，曲线当平面垂直于投影面时，曲线当平面垂直于投影面时，曲线的投影退化为直线；当

8、平面倾的投影退化为直线；当平面倾的投影退化为直线；当平面倾的投影退化为直线；当平面倾斜于投影面时，曲线的投影为斜于投影面时，曲线的投影为斜于投影面时，曲线的投影为斜于投影面时，曲线的投影为变了形的曲线。变了形的曲线。变了形的曲线。变了形的曲线。反映实形反映实形退化成直线退化成直线变了形的曲线变了形的曲线7第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-1 6-1 曲线曲线 三、圆的投影三、圆的投影三、圆的投影三、圆的投影 1.1.1.1.投影面垂直面上的圆投影面垂直面上的圆投影面垂直面上的圆投影面垂直面上的圆 圆在所垂直的那个投影面上圆在所垂直的那个投影面上圆在所垂直的那个投影面上圆在所垂直的那个投影

9、面上的投影为直线段，线段的长度等的投影为直线段，线段的长度等的投影为直线段，线段的长度等的投影为直线段，线段的长度等于圆的直径，圆的另外两投影为于圆的直径，圆的另外两投影为于圆的直径，圆的另外两投影为于圆的直径，圆的另外两投影为椭圆，椭圆的长轴长度等于圆的椭圆，椭圆的长轴长度等于圆的椭圆，椭圆的长轴长度等于圆的椭圆，椭圆的长轴长度等于圆的直径。直径。直径。直径。8第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-1 6-1 曲线曲线 例例例例6-1 6-1 已知直径为已知直径为已知直径为已知直径为d d 的圆位于铅垂面内，并知圆心的圆位于铅垂面内，并知圆心的圆位于铅垂面内，并知圆心的圆位于铅垂面内，并知

10、圆心O O和和和和P PHH的位置，试作出其投影。的位置，试作出其投影。的位置，试作出其投影。的位置，试作出其投影。解：解：解：解：水平投影为线段，长度等水平投影为线段，长度等水平投影为线段，长度等水平投影为线段，长度等于于于于d d，重合在，重合在，重合在，重合在P PHH上；正面投影和上；正面投影和上；正面投影和上；正面投影和侧面投影为椭圆，长轴竖直，长侧面投影为椭圆，长轴竖直，长侧面投影为椭圆，长轴竖直，长侧面投影为椭圆，长轴竖直，长度等于度等于度等于度等于d d，短轴水平，长度根据水，短轴水平，长度根据水，短轴水平，长度根据水，短轴水平，长度根据水平投影作出。利用圆的辅助投影平投影作出

11、。利用圆的辅助投影平投影作出。利用圆的辅助投影平投影作出。利用圆的辅助投影可作出椭圆上的一些中间点。可作出椭圆上的一些中间点。可作出椭圆上的一些中间点。可作出椭圆上的一些中间点。9第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-1 6-1 曲线曲线 2.2.2.2.一般斜平面上的圆一般斜平面上的圆一般斜平面上的圆一般斜平面上的圆 圆所在的平面倾斜圆所在的平面倾斜圆所在的平面倾斜圆所在的平面倾斜于三个投影面时，圆的于三个投影面时，圆的于三个投影面时，圆的于三个投影面时，圆的任一投影都是椭圆，椭任一投影都是椭圆，椭任一投影都是椭圆，椭任一投影都是椭圆，椭圆长轴的长度总是等于圆长轴的长度总是等于圆长轴的长度

12、总是等于圆长轴的长度总是等于圆的直径圆的直径圆的直径圆的直径d d。10第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-1 6-1 曲线曲线 例例例例6-2 6-2 半径为半径为半径为半径为r r的圆位于一般倾斜平面的圆位于一般倾斜平面的圆位于一般倾斜平面的圆位于一般倾斜平面ABCDABCD上，上，上，上，并知圆心的位置，试作出其投影。并知圆心的位置，试作出其投影。并知圆心的位置，试作出其投影。并知圆心的位置，试作出其投影。解：解：解：解：首先，在水平投影中首先，在水平投影中首先，在水平投影中首先，在水平投影中作椭圆的长短轴：长轴的方向作椭圆的长短轴：长轴的方向作椭圆的长短轴：长轴的方向作椭圆的长短轴

13、：长轴的方向为面内水平线的水平投影的方为面内水平线的水平投影的方为面内水平线的水平投影的方为面内水平线的水平投影的方向，长度等于圆的直径向，长度等于圆的直径向，长度等于圆的直径向，长度等于圆的直径2r2r。短。短。短。短轴垂直于长轴，长度利用直角轴垂直于长轴，长度利用直角轴垂直于长轴，长度利用直角轴垂直于长轴，长度利用直角三角形法求出。三角形法求出。三角形法求出。三角形法求出。（点击鼠标看过程）（点击鼠标看过程）11第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-1 6-1 曲线曲线 其次，求出水平投影中长短轴在正面投影中的投影，它们是其次，求出水平投影中长短轴在正面投影中的投影，它们是其次，求出水平

14、投影中长短轴在正面投影中的投影，它们是其次，求出水平投影中长短轴在正面投影中的投影，它们是一对共轭直径一对共轭直径一对共轭直径一对共轭直径12121212、34343434。根据共轭直径可求出椭圆上的其余。根据共轭直径可求出椭圆上的其余。根据共轭直径可求出椭圆上的其余。根据共轭直径可求出椭圆上的其余四个四个四个四个点点点点5555、6666、7777、8888，用八点法画用八点法画用八点法画用八点法画出正面投影椭圆。出正面投影椭圆。出正面投影椭圆。出正面投影椭圆。12第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-1 6-1 曲线曲线 最后，利用平面上定点最后，利用平面上定点最后，利用平面上定点最后，

15、利用平面上定点的方法求出水平投影中的的方法求出水平投影中的的方法求出水平投影中的的方法求出水平投影中的5 5、6 6、7 7、8 8四点，从而画出水平四点，从而画出水平四点，从而画出水平四点，从而画出水平投影椭圆。投影椭圆。投影椭圆。投影椭圆。13第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-1 6-1 曲线曲线 四、螺旋线的投影四、螺旋线的投影四、螺旋线的投影四、螺旋线的投影 1.1.1.1.圆柱螺旋线的形成圆柱螺旋线的形成圆柱螺旋线的形成圆柱螺旋线的形成 点点点点P P P P沿圆柱面上的一条直母线作等速移动，该母线又绕柱轴作沿圆柱面上的一条直母线作等速移动，该母线又绕柱轴作沿圆柱面上的一条直母

16、线作等速移动，该母线又绕柱轴作沿圆柱面上的一条直母线作等速移动，该母线又绕柱轴作等速转动，点等速转动，点等速转动，点等速转动，点P P P P的轨迹为圆柱螺旋线。的轨迹为圆柱螺旋线。的轨迹为圆柱螺旋线。的轨迹为圆柱螺旋线。动画14第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-1 6-1 曲线曲线 七、螺旋线的投影七、螺旋线的投影七、螺旋线的投影七、螺旋线的投影 螺旋线轴线为铅垂线时，螺螺旋线轴线为铅垂线时，螺旋线的水平投影为圆。把圆周旋线的水平投影为圆。把圆周等分（例如等分（例如1212等分），分点按等分），分点按旋向依次编号为旋向依次编号为0 0、1 1、2 2；在正面投影中把导程也作相同在正面投

17、影中把导程也作相同的等分，过各分点作水平线；的等分，过各分点作水平线；由水平投影中的各分点作竖直由水平投影中的各分点作竖直线与正面投影上的对应水平线线与正面投影上的对应水平线相交，得相交，得00、11、22,把这些点连成光滑曲线，即为把这些点连成光滑曲线，即为螺旋线的正面投影。螺旋线的正面投影。15第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-2 6-2 曲面概述曲面概述 一、曲面的形成和分类一、曲面的形成和分类一、曲面的形成和分类一、曲面的形成和分类 曲面分为规则曲面和不规则曲面。规则曲面可以看成是运动的曲面分为规则曲面和不规则曲面。规则曲面可以看成是运动的曲面分为规则曲面和不规则曲面。规则曲面可

18、以看成是运动的曲面分为规则曲面和不规则曲面。规则曲面可以看成是运动的线按照一定的规则或受某种控制运动的轨迹。运动的线称为线按照一定的规则或受某种控制运动的轨迹。运动的线称为线按照一定的规则或受某种控制运动的轨迹。运动的线称为线按照一定的规则或受某种控制运动的轨迹。运动的线称为母线母线母线母线，曲面上任意位置的母线称为曲面上任意位置的母线称为曲面上任意位置的母线称为曲面上任意位置的母线称为素线素线素线素线。控制母线运动的线或面，称为。控制母线运动的线或面，称为。控制母线运动的线或面，称为。控制母线运动的线或面，称为导导导导线线线线或或或或导面导面导面导面。16第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面

19、6-2 6-2 曲面概述曲面概述 由直母线运动生成的曲面称为直纹面，例如圆柱面、圆锥面；由直母线运动生成的曲面称为直纹面，例如圆柱面、圆锥面；由直母线运动生成的曲面称为直纹面，例如圆柱面、圆锥面；由直母线运动生成的曲面称为直纹面，例如圆柱面、圆锥面；只能由曲母线运动生成的曲面称为曲线面，例如球面。只能由曲母线运动生成的曲面称为曲线面，例如球面。只能由曲母线运动生成的曲面称为曲线面，例如球面。只能由曲母线运动生成的曲面称为曲线面，例如球面。17第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-2 6-2 曲面概述曲面概述 根据母线运动时有无旋转轴，曲面可以分为旋转面和非旋根据母线运动时有无旋转轴，曲面可以

20、分为旋转面和非旋根据母线运动时有无旋转轴，曲面可以分为旋转面和非旋根据母线运动时有无旋转轴，曲面可以分为旋转面和非旋转面。在旋转面中，由直母线旋转生成的叫旋转直纹面，由曲转面。在旋转面中，由直母线旋转生成的叫旋转直纹面，由曲转面。在旋转面中，由直母线旋转生成的叫旋转直纹面，由曲转面。在旋转面中，由直母线旋转生成的叫旋转直纹面，由曲母线旋转生成的叫旋转曲线面。母线旋转生成的叫旋转曲线面。母线旋转生成的叫旋转曲线面。母线旋转生成的叫旋转曲线面。动画动画18第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-2 6-2 曲面概述曲面概述 二、曲面的投影二、曲面的投影二、曲面的投影二、曲面的投影 平行于某个投射方

21、向而且与曲面相切的投射线，形成投射平面平行于某个投射方向而且与曲面相切的投射线，形成投射平面平行于某个投射方向而且与曲面相切的投射线，形成投射平面平行于某个投射方向而且与曲面相切的投射线，形成投射平面或柱面，它们与曲面相切的切线称为该投射方向的曲面或柱面，它们与曲面相切的切线称为该投射方向的曲面或柱面，它们与曲面相切的切线称为该投射方向的曲面或柱面，它们与曲面相切的切线称为该投射方向的曲面外形轮廓线外形轮廓线外形轮廓线外形轮廓线，简称简称简称简称外形线外形线外形线外形线。曲面在某个投影面上的投影，可以用该投射方向上外。曲面在某个投影面上的投影，可以用该投射方向上外。曲面在某个投影面上的投影，可

22、以用该投射方向上外。曲面在某个投影面上的投影，可以用该投射方向上外形线的投影来表示。此外，有时还需同时画出曲面上若干条素线。形线的投影来表示。此外，有时还需同时画出曲面上若干条素线。形线的投影来表示。此外，有时还需同时画出曲面上若干条素线。形线的投影来表示。此外，有时还需同时画出曲面上若干条素线。19第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-2 6-2 曲面概述曲面概述 外形线同时还是曲面在该投射方向下可见与不可见部分的分界外形线同时还是曲面在该投射方向下可见与不可见部分的分界外形线同时还是曲面在该投射方向下可见与不可见部分的分界外形线同时还是曲面在该投射方向下可见与不可见部分的分界线。线。线。

23、线。20第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-2 6-2 曲面概述曲面概述 三、曲面上点的投影三、曲面上点的投影三、曲面上点的投影三、曲面上点的投影 曲面上点的投影在曲面的同面投影上。曲面上点的投影在曲面的同面投影上。曲面上点的投影在曲面的同面投影上。曲面上点的投影在曲面的同面投影上。这里讨论的问题是，已知曲面的投影，根据曲面上点的一个投这里讨论的问题是，已知曲面的投影，根据曲面上点的一个投这里讨论的问题是，已知曲面的投影，根据曲面上点的一个投这里讨论的问题是，已知曲面的投影，根据曲面上点的一个投影如何求出它的其余投影。与平面上定点类似，这里也要借助于辅影如何求出它的其余投影。与平面上定点类

24、似，这里也要借助于辅影如何求出它的其余投影。与平面上定点类似，这里也要借助于辅影如何求出它的其余投影。与平面上定点类似，这里也要借助于辅助线。曲面上选用的辅助线，其投影应为直线或圆。对于直纹面，助线。曲面上选用的辅助线，其投影应为直线或圆。对于直纹面，助线。曲面上选用的辅助线，其投影应为直线或圆。对于直纹面，助线。曲面上选用的辅助线，其投影应为直线或圆。对于直纹面，可选用其直的素线为辅助线，用这种方法求点的投影称为可选用其直的素线为辅助线，用这种方法求点的投影称为可选用其直的素线为辅助线，用这种方法求点的投影称为可选用其直的素线为辅助线，用这种方法求点的投影称为素线法素线法素线法素线法。对于旋

25、转面可以选用纬圆作为辅助线，用这种方法求点的投影称为对于旋转面可以选用纬圆作为辅助线，用这种方法求点的投影称为对于旋转面可以选用纬圆作为辅助线，用这种方法求点的投影称为对于旋转面可以选用纬圆作为辅助线，用这种方法求点的投影称为纬圆法纬圆法纬圆法纬圆法。素线法动画素线法动画纬圆法动画纬圆法动画21第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-2 6-2 曲面概述曲面概述 在圆锥面上用素线法和纬圆法求点的投影的例子：在圆锥面上用素线法和纬圆法求点的投影的例子：在圆锥面上用素线法和纬圆法求点的投影的例子：在圆锥面上用素线法和纬圆法求点的投影的例子：动画动画22第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 直纹面分为

26、直纹面分为直纹面分为直纹面分为旋转直纹面旋转直纹面旋转直纹面旋转直纹面和和和和非旋转直纹面非旋转直纹面非旋转直纹面非旋转直纹面。圆柱面、圆锥面、旋。圆柱面、圆锥面、旋。圆柱面、圆锥面、旋。圆柱面、圆锥面、旋转单叶双曲面等属于旋转直纹面，切线面、双曲抛物面、锥状面、转单叶双曲面等属于旋转直纹面，切线面、双曲抛物面、锥状面、转单叶双曲面等属于旋转直纹面，切线面、双曲抛物面、锥状面、转单叶双曲面等属于旋转直纹面，切线面、双曲抛物面、锥状面、柱状面等属于非旋转直纹面。柱状面等属于非旋转直纹面。柱状面等属于非旋转直纹面。柱状面等属于非旋转直纹面。6-3 6-3 直纹面直纹面 一、柱面一、柱面一、柱面一、

27、柱面 直母线直母线直母线直母线l l 沿着一条沿着一条沿着一条沿着一条导曲线运动，且始终平导曲线运动，且始终平导曲线运动，且始终平导曲线运动，且始终平行于某一固定方向行于某一固定方向行于某一固定方向行于某一固定方向T T，这样形成的曲面称为这样形成的曲面称为这样形成的曲面称为这样形成的曲面称为柱柱柱柱面面面面。柱面的所有素线均。柱面的所有素线均。柱面的所有素线均。柱面的所有素线均互相平行，画柱面的投互相平行，画柱面的投互相平行，画柱面的投互相平行，画柱面的投影时需画出外形线的投影时需画出外形线的投影时需画出外形线的投影时需画出外形线的投影（轮廓素线）。影（轮廓素线）。影（轮廓素线）。影（轮廓素

28、线）。动画动画23第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-3 6-3 直纹面直纹面在柱面上求点的投影，一般可用素线法。在柱面上求点的投影，一般可用素线法。在柱面上求点的投影，一般可用素线法。在柱面上求点的投影，一般可用素线法。24第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-3 6-3 直纹面直纹面 柱面的曲导线一般为平面曲线。柱面是按正截面的形状取柱面的曲导线一般为平面曲线。柱面是按正截面的形状取柱面的曲导线一般为平面曲线。柱面是按正截面的形状取柱面的曲导线一般为平面曲线。柱面是按正截面的形状取名的，正截面是圆时，称为名的，正截面是圆时，称为名的，正截面是圆时，称为名的，正截面是圆时，称为圆柱面圆

29、柱面圆柱面圆柱面；正截面是椭圆时，称为；正截面是椭圆时，称为；正截面是椭圆时，称为；正截面是椭圆时，称为椭椭椭椭圆柱面圆柱面圆柱面圆柱面，等等。，等等。，等等。，等等。如果柱面有两个以上的对称平面，则对称平面的交线称为如果柱面有两个以上的对称平面，则对称平面的交线称为如果柱面有两个以上的对称平面，则对称平面的交线称为如果柱面有两个以上的对称平面，则对称平面的交线称为柱面的轴。下面是几种有轴柱面的投影。柱面的轴。下面是几种有轴柱面的投影。柱面的轴。下面是几种有轴柱面的投影。柱面的轴。下面是几种有轴柱面的投影。25第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-3 6-3 直纹面直纹面 二、锥面二、锥面二

30、、锥面二、锥面 直母线沿着一条曲导线直母线沿着一条曲导线直母线沿着一条曲导线直母线沿着一条曲导线C C 运动，且始终通过定点运动，且始终通过定点运动，且始终通过定点运动，且始终通过定点S S，这样形成，这样形成，这样形成，这样形成的曲面称为锥面。的曲面称为锥面。的曲面称为锥面。的曲面称为锥面。S S 称为称为称为称为锥顶锥顶锥顶锥顶，所有的素线都通过它。在投影图上，所有的素线都通过它。在投影图上，所有的素线都通过它。在投影图上，所有的素线都通过它。在投影图上，应画出锥顶、导曲线和锥面外形线的投影。应画出锥顶、导曲线和锥面外形线的投影。应画出锥顶、导曲线和锥面外形线的投影。应画出锥顶、导曲线和锥

31、面外形线的投影。动画动画26第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-3 6-3 直纹面直纹面 在锥面上作点，一般利用素线法。当用投影面平行面能截在锥面上作点，一般利用素线法。当用投影面平行面能截在锥面上作点，一般利用素线法。当用投影面平行面能截在锥面上作点，一般利用素线法。当用投影面平行面能截出圆形交线时，也可以用纬圆法作点。出圆形交线时，也可以用纬圆法作点。出圆形交线时，也可以用纬圆法作点。出圆形交线时，也可以用纬圆法作点。下面是几种有轴的锥面。下面是几种有轴的锥面。下面是几种有轴的锥面。下面是几种有轴的锥面。27第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-3 6-3 直纹面直纹面 三、切线面三

32、、切线面三、切线面三、切线面 直母线直母线直母线直母线l l 沿着一条曲导线沿着一条曲导线沿着一条曲导线沿着一条曲导线C C 运动，且运动，且运动，且运动，且始终与始终与始终与始终与C C 相切，这样形成的曲面称为相切，这样形成的曲面称为相切，这样形成的曲面称为相切，这样形成的曲面称为切线切线切线切线面。面。面。面。曲导线曲导线曲导线曲导线C C 是空间曲线，称为切线面的是空间曲线，称为切线面的是空间曲线，称为切线面的是空间曲线，称为切线面的脊线脊线脊线脊线。28第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-3 6-3 直纹面直纹面 工程中弯曲坡道两侧的边工程中弯曲坡道两侧的边工程中弯曲坡道两侧的边

33、工程中弯曲坡道两侧的边坡往往设计成切线面，并且使坡往往设计成切线面，并且使坡往往设计成切线面，并且使坡往往设计成切线面，并且使切线面的所有切线与地面成同切线面的所有切线与地面成同切线面的所有切线与地面成同切线面的所有切线与地面成同一角度，这样设计成的切线面一角度，这样设计成的切线面一角度，这样设计成的切线面一角度，这样设计成的切线面称为称为称为称为同坡曲面同坡曲面同坡曲面同坡曲面。29第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 直母线直母线直母线直母线l l 沿着两条交叉直导线沿着两条交叉直导线沿着两条交叉直导线沿着两条交叉直导线ABAB、CDCD运动，且始终平行于某运动，且始终平行于某运动，且始终平

34、行于某运动，且始终平行于某一导平面一导平面一导平面一导平面Q Q，这样形成的曲面称为，这样形成的曲面称为，这样形成的曲面称为，这样形成的曲面称为双曲抛物面双曲抛物面双曲抛物面双曲抛物面，工程上也称扭面。，工程上也称扭面。，工程上也称扭面。，工程上也称扭面。6-3 6-3 直纹面直纹面 四、双曲抛物面四、双曲抛物面四、双曲抛物面四、双曲抛物面 双曲抛物面的投影图中，只需画出两条直导线和若干素线的投双曲抛物面的投影图中，只需画出两条直导线和若干素线的投双曲抛物面的投影图中，只需画出两条直导线和若干素线的投双曲抛物面的投影图中，只需画出两条直导线和若干素线的投影，而不必画出导平面。影，而不必画出导平

35、面。影，而不必画出导平面。影，而不必画出导平面。30第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-3 6-3 直纹面直纹面双曲抛物面在工程上有广泛的用途。双曲抛物面在工程上有广泛的用途。双曲抛物面在工程上有广泛的用途。双曲抛物面在工程上有广泛的用途。水渠边坡渐变段水渠边坡渐变段水渠边坡渐变段水渠边坡渐变段道路边坡过渡段道路边坡过渡段道路边坡过渡段道路边坡过渡段31第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-3 6-3 直纹面直纹面 对于同一个双曲抛物面，也可以把它看作是以对于同一个双曲抛物面，也可以把它看作是以对于同一个双曲抛物面，也可以把它看作是以对于同一个双曲抛物面，也可以把它看作是以ADADADA

36、D、BCBCBCBC为交叉为交叉为交叉为交叉直导线，以平行于端点连线直导线，以平行于端点连线直导线，以平行于端点连线直导线，以平行于端点连线ABABABAB、CD CD CD CD 的平面的平面的平面的平面P P P P 为导平面所形成的。为导平面所形成的。为导平面所形成的。为导平面所形成的。也就是说，双曲抛物面上有两族素线，其中每一条素线与同族的也就是说，双曲抛物面上有两族素线，其中每一条素线与同族的也就是说，双曲抛物面上有两族素线，其中每一条素线与同族的也就是说，双曲抛物面上有两族素线，其中每一条素线与同族的所有素线都不相交，而与另一族的所有素线都相交。所有素线都不相交，而与另一族的所有素

37、线都相交。所有素线都不相交，而与另一族的所有素线都相交。所有素线都不相交，而与另一族的所有素线都相交。32第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 直母线直母线直母线直母线l l 沿着一条直导线沿着一条直导线沿着一条直导线沿着一条直导线EF EF 和一条曲导线和一条曲导线和一条曲导线和一条曲导线ABC ABC 运动，且始终平运动，且始终平运动，且始终平运动，且始终平行于导平面行于导平面行于导平面行于导平面P P（P P 平行于两条导线端点的连线平行于两条导线端点的连线平行于两条导线端点的连线平行于两条导线端点的连线AE AE 和和和和CF CF），这样形），这样形），这样形），这样形成的曲面称为成的

38、曲面称为成的曲面称为成的曲面称为锥状面锥状面锥状面锥状面。6-3 6-3 直纹面直纹面 五、锥状面五、锥状面五、锥状面五、锥状面 33第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-3 6-3 直纹面直纹面 六、柱状面六、柱状面六、柱状面六、柱状面 直母线直母线直母线直母线l l 沿着两条曲导线运动，沿着两条曲导线运动，沿着两条曲导线运动，沿着两条曲导线运动，且始终平行于某一导平面，这样形成且始终平行于某一导平面，这样形成且始终平行于某一导平面，这样形成且始终平行于某一导平面，这样形成的曲面称为的曲面称为的曲面称为的曲面称为柱状面柱状面柱状面柱状面。柱状面桥墩柱状面桥墩柱状面桥墩柱状面桥墩柱状面管道柱

39、状面管道柱状面管道柱状面管道34第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-3 6-3 直纹面直纹面 柱状面的所有素线都平行于导平面，而彼此间则成交叉状态。柱状面的所有素线都平行于导平面，而彼此间则成交叉状态。柱状面的所有素线都平行于导平面，而彼此间则成交叉状态。柱状面的所有素线都平行于导平面，而彼此间则成交叉状态。投影图上只需表示两条导线和若干条素线的投影，而不画出导平投影图上只需表示两条导线和若干条素线的投影，而不画出导平投影图上只需表示两条导线和若干条素线的投影，而不画出导平投影图上只需表示两条导线和若干条素线的投影，而不画出导平面。面。面。面。以正平面为导平面的柱以正平面为导平面的柱以正平

40、面为导平面的柱以正平面为导平面的柱状面管道状面管道状面管道状面管道35第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-3 6-3 直纹面直纹面 七、旋转单叶双曲面七、旋转单叶双曲面七、旋转单叶双曲面七、旋转单叶双曲面 直母线绕一条与它交叉的直线直母线绕一条与它交叉的直线直母线绕一条与它交叉的直线直母线绕一条与它交叉的直线OOOO旋转，这样形成的曲面称为旋转，这样形成的曲面称为旋转，这样形成的曲面称为旋转，这样形成的曲面称为旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面，直线，直线，直线，直线OOOO称为称为称为称为旋转轴旋转轴旋转轴旋转轴。36第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-3 6-

41、3 直纹面直纹面 投影图上应画出旋转轴和若干条素线的投影、直母线两端点轨投影图上应画出旋转轴和若干条素线的投影、直母线两端点轨投影图上应画出旋转轴和若干条素线的投影、直母线两端点轨投影图上应画出旋转轴和若干条素线的投影、直母线两端点轨迹的投影，以及素线的包络线。迹的投影，以及素线的包络线。迹的投影，以及素线的包络线。迹的投影，以及素线的包络线。37第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-3 6-3 直纹面直纹面 旋转中母线上的每个点都在作圆周运动，其轨迹是纬圆。旋转中母线上的每个点都在作圆周运动，其轨迹是纬圆。旋转中母线上的每个点都在作圆周运动，其轨迹是纬圆。旋转中母线上的每个点都在作圆周运动

42、，其轨迹是纬圆。母线上距轴线最近的点，其轨迹是最小的纬圆，叫母线上距轴线最近的点，其轨迹是最小的纬圆，叫母线上距轴线最近的点，其轨迹是最小的纬圆，叫母线上距轴线最近的点，其轨迹是最小的纬圆，叫喉圆喉圆喉圆喉圆。过旋转单叶双曲面上的每个点，还可以画出另外一条素线，过旋转单叶双曲面上的每个点，还可以画出另外一条素线，过旋转单叶双曲面上的每个点，还可以画出另外一条素线，过旋转单叶双曲面上的每个点，还可以画出另外一条素线，也就是说，同一个旋转单叶双曲面上存在着两族素线，同族的也就是说，同一个旋转单叶双曲面上存在着两族素线，同族的也就是说，同一个旋转单叶双曲面上存在着两族素线，同族的也就是说，同一个旋转

43、单叶双曲面上存在着两族素线，同族的素线间均不相交，而每一条素线都与另一族的所有素线相交。素线间均不相交，而每一条素线都与另一族的所有素线相交。素线间均不相交，而每一条素线都与另一族的所有素线相交。素线间均不相交，而每一条素线都与另一族的所有素线相交。38第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-3 6-3 直纹面直纹面 工程用例：水塔支架工程用例：水塔支架工程用例：水塔支架工程用例：水塔支架 冷却塔冷却塔冷却塔冷却塔39第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-3 6-3 直纹面直纹面 八、螺旋面八、螺旋面八、螺旋面八、螺旋面 分别以圆柱螺旋线和其轴线为导线，直母线分别以圆柱螺旋线和其轴线为导线，

44、直母线分别以圆柱螺旋线和其轴线为导线，直母线分别以圆柱螺旋线和其轴线为导线，直母线l l 沿此两导线移动沿此两导线移动沿此两导线移动沿此两导线移动而又同时与轴线保持一定的角度，这样形成的曲面称为而又同时与轴线保持一定的角度，这样形成的曲面称为而又同时与轴线保持一定的角度，这样形成的曲面称为而又同时与轴线保持一定的角度，这样形成的曲面称为螺旋面螺旋面螺旋面螺旋面。若。若。若。若母线与轴正交，得到母线与轴正交，得到母线与轴正交，得到母线与轴正交，得到的叫的叫的叫的叫正螺旋面正螺旋面正螺旋面正螺旋面，否则，否则，否则，否则得到的叫得到的叫得到的叫得到的叫斜螺旋面斜螺旋面斜螺旋面斜螺旋面。40第六章第

45、六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-3 6-3 直纹面直纹面 1.1.正螺旋面正螺旋面正螺旋面正螺旋面投影图投影图投影图投影图直观图直观图直观图直观图41第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-3 6-3 直纹面直纹面 应用实例：应用实例：应用实例：应用实例：螺旋楼梯的螺旋楼梯的螺旋楼梯的螺旋楼梯的作图作图作图作图42第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-3 6-3 直纹面直纹面 塔柱上的塔柱上的塔柱上的塔柱上的螺旋楼梯螺旋楼梯螺旋楼梯螺旋楼梯 43第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-3 6-3 直纹面直纹面 2.2.斜螺旋面斜螺旋面斜螺旋面斜螺旋面 在作出螺旋线的正面投影的基础上，首先在作

46、出螺旋线的正面投影的基础上，首先在作出螺旋线的正面投影的基础上，首先在作出螺旋线的正面投影的基础上，首先作一条平行于作一条平行于作一条平行于作一条平行于V V 面的素线，使其与轴的夹角等面的素线，使其与轴的夹角等面的素线，使其与轴的夹角等面的素线，使其与轴的夹角等于定角于定角于定角于定角，如图中的，如图中的，如图中的，如图中的000000001 1 1 1。自。自。自。自0 01 1 起向上量取导起向上量取导起向上量取导起向上量取导程并按水平投影的等分数将其等分，过各分点程并按水平投影的等分数将其等分，过各分点程并按水平投影的等分数将其等分，过各分点程并按水平投影的等分数将其等分，过各分点与螺

47、旋线正面投影上相应点与螺旋线正面投影上相应点与螺旋线正面投影上相应点与螺旋线正面投影上相应点00、11、1212连连连连接，即得螺旋面的素线的正面投影，最后画出接，即得螺旋面的素线的正面投影，最后画出接，即得螺旋面的素线的正面投影，最后画出接，即得螺旋面的素线的正面投影，最后画出素线的包络线，完成螺旋面的正面投影。素线的包络线，完成螺旋面的正面投影。素线的包络线，完成螺旋面的正面投影。素线的包络线，完成螺旋面的正面投影。44第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-4 6-4 曲线面曲线面 一、球面一、球面一、球面一、球面 圆绕其任一直径旋转生成球面。所以球面被任一平面截割，圆绕其任一直径旋转生

48、成球面。所以球面被任一平面截割，圆绕其任一直径旋转生成球面。所以球面被任一平面截割，圆绕其任一直径旋转生成球面。所以球面被任一平面截割，其交线均为圆。球的任一正投影也总是圆。圆的直径等于球的直其交线均为圆。球的任一正投影也总是圆。圆的直径等于球的直其交线均为圆。球的任一正投影也总是圆。圆的直径等于球的直其交线均为圆。球的任一正投影也总是圆。圆的直径等于球的直径。径。径。径。45第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面 6-4 6-4 曲线面曲线面 在球面上作点，一般用纬圆法。例如已知球上点在球面上作点，一般用纬圆法。例如已知球上点在球面上作点，一般用纬圆法。例如已知球上点在球面上作点，一般用纬圆法。

49、例如已知球上点A A的正面投影的正面投影的正面投影的正面投影a,a,过过过过aa作水平纬圆的正面投影，得纬圆半径作水平纬圆的正面投影，得纬圆半径作水平纬圆的正面投影，得纬圆半径作水平纬圆的正面投影，得纬圆半径r ra a，在水平投影中以，在水平投影中以，在水平投影中以，在水平投影中以r ra a为半径画圆，得纬圆的水平为半径画圆，得纬圆的水平为半径画圆，得纬圆的水平为半径画圆，得纬圆的水平投影，投影，投影，投影，a a在此圆上。在此圆上。在此圆上。在此圆上。动画动画动画演示了另外一个例子。动画演示了另外一个例子。动画演示了另外一个例子。动画演示了另外一个例子。46第六章第六章 曲线和曲面曲线和

50、曲面 6-4 6-4 曲线面曲线面 例例例例6-3 6-3 根据部分球面的正面投影和水平投影，求作侧面投根据部分球面的正面投影和水平投影，求作侧面投根据部分球面的正面投影和水平投影，求作侧面投根据部分球面的正面投影和水平投影，求作侧面投影，并根据球面上影，并根据球面上影，并根据球面上影，并根据球面上A A点的正面投影点的正面投影点的正面投影点的正面投影a a 和和和和B B点的水平投影点的水平投影点的水平投影点的水平投影b b，作出其，作出其，作出其，作出其余的投影。余的投影。余的投影。余的投影。解解解解：本题表示的是：本题表示的是：本题表示的是：本题表示的是1/41/4球面，其侧面投影为一扇