赵树嫄微积分第四版第五章-不定积分优秀PPT.ppt

《赵树嫄微积分第四版第五章-不定积分优秀PPT.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《赵树嫄微积分第四版第五章-不定积分优秀PPT.ppt（104页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第五章第五章 不定积分不定积分1例例第一节第一节 不定积分的概念不定积分的概念(一一)原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念定义定义不定积分又称不定积分又称反导数反导数，它是求导运算的逆运算。，它是求导运算的逆运算。本章所讲的内容就是寻求函数的原函数。本章所讲的内容就是寻求函数的原函数。2原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：连续函数确定有原函数。简言之：连续函数确定有原函数。问题：问题：(1)原函数是否存在？原函数是否存在？(2)是否唯一？是否唯一？因此初等函数在其定义域内都有原函数因此初等函数在其定义域内都有原函数。(但原函数不确定是初等函数但原函数不确定是初等函数)3唯一性？唯一

2、性？说明：说明：4积积分分变变量量(二二)不定积分的概念不定积分的概念积积分分常常数数积积分分号号被被积积函函数数记为记为定义定义 5例例1 1 求求解解解解例例2 2 求求6例例3 3 求求解解7解解例例3 3 求求合写成合写成8(三三)不定积分的几何意义不定积分的几何意义 设设F(x)是是f(x)的一个原函的一个原函数，则方程数，则方程y=F(x)的图形是的图形是直角坐标系直角坐标系Oxy中的一条曲线，中的一条曲线，称为称为f(x)的一条的一条积分曲线积分曲线.将这条曲线沿将这条曲线沿y轴向上轴向上或向下移动长度为或向下移动长度为|C|的距的距离，就可以得到离，就可以得到f(x)的无穷的无

3、穷多条积分曲线，它们构成一个曲线族，称为多条积分曲线，它们构成一个曲线族，称为f(x)的的积分曲线族积分曲线族，其方程为，其方程为 或或9它们的特点是：它们的特点是：在横坐标相同的点处，各积分曲线在横坐标相同的点处，各积分曲线的切线有相同的斜率，都是的切线有相同的斜率，都是 f(x)，即各切线平行。即各切线平行。10解解例例4 4 设曲线通过点设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.设曲线方程为设曲线方程为依据题意知依据题意知(1,2)11其次节其次节 不定积分的性质不定积分的性质或或性质性质

4、1 1 求不定积分与求导或微分互为逆运算：求不定积分与求导或微分互为逆运算：或或性质性质2 2其中其中a为非零常数。为非零常数。证证由定义可知，由定义可知，12此性质可推广到有限多个函数之和差的情形。此性质可推广到有限多个函数之和差的情形。性质性质3 3证证综合性质综合性质2和性质和性质3，可得，可得13第三节第三节 基本积分公式基本积分公式(k是常数是常数)1415干脆积分法干脆积分法分项积分法分项积分法例例例例例例16例例17例例18例例19例例例例例例20三角恒等变形三角恒等变形例例例例21例例例例例例22训练：训练：求下列不定积分求下列不定积分23问题问题第四节第四节 换元积分法换元积

5、分法(一一)第一类换元积分法第一类换元积分法(凑微分法凑微分法)24一般地，凑微分法步骤如下：一般地，凑微分法步骤如下：25常用凑微分公式：常用凑微分公式：等等等等.26例例例例例例27练习练习28例例例例例例29例例例例30例例另外：另外：31例例类似地，类似地，或或32例例33类似地，类似地，例例34基本积分公式基本积分公式35例例解法解法1 1解法解法2 2例例36例例37例例38例例39例例40或解或解例例41例例例例42例例积化和差积化和差43训练：训练：求下列不定积分求下列不定积分44(三三)其次类换元积分法其次类换元积分法回代回代,得得 45称为其次换元积分法称为其次换元积分法留

6、意：不要忘了回代。留意：不要忘了回代。回代回代46例例解解47解解例例48解解 令令例例49训练：训练：解解50例例解解失败！失败！51例例解解52例例解解53例例解解54基本积分公式基本积分公式比较：比较：55说明说明：以上几例所运用的均为三角代换以上几例所运用的均为三角代换,目的是化掉根式目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令 但是否确定接受三角代换并不是确定的但是否确定接受三角代换并不是确定的,有有时可敏捷接受别的方法时可敏捷接受别的方法.56训练：训练：求下列不定积分求下列不定积分57例例解解58例例解解59凑微分凑微分分分

7、部部积积分分公公式式问题问题解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.第五节第五节 分部积分法分部积分法分部积分的过程：分部积分的过程：60例例积分更难进行积分更难进行.61例例62例例63例例64训练：训练：65训练：训练：求下列不定积分求下列不定积分66例例分部积分法可多次运用：分部积分法可多次运用：67训练：训练：求下列不定积分求下列不定积分68例例循环法循环法69解方程组得解方程组得或解或解例例70分部积分法与换元法结合：分部积分法与换元法结合：例例解解71训练：训练：求下列不定积分求下列不定积分72解解例例因为因为所以所以73例例解解由题意由题意,74第六

8、节第六节 综合杂例综合杂例例例计算下列不定积分：计算下列不定积分：75解解例例76例例77例例78例例79例例80例例81或解或解82例例83例例84例例85例例解解86例例87例例88有理函数的积分：有理函数的积分：假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式(既约分式既约分式).有理函数是有理函数是真分式真分式；有理函数是有理函数是假分式假分式；利用多项式除法利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和。一个真分式之和。89例例要点：要点：将真分式化为将真分式化为部分分式之和部分分式之和。以下只考虑真分式的积分。以下只考虑真分式的积分。90

9、真分式的分解：真分式的分解：（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后有，则分解后有真分式化为部分分式之和的一般规律：真分式化为部分分式之和的一般规律：（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后有，则分解后有91（3）分母分母中若有因式中若有因式 ，其中，其中则分解后有则分解后有（4）分母分母中若有因式中若有因式 ，则分解后有，则分解后有其中其中92真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法：例例1 193代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数例例2 294例例3 395例例4 496真分式可分为以下四种类型的分式之和：真分式可分为以下四种类型的分式之和：这四类分式均可积分，且原函数为初等函数。这四类分式均可积分，且原函数为初等函数。因此，因此，有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数。97部分分式的积分部分分式的积分例例5 5例例6 698例例7 799例例8 8100例例9 9101例例1010102例例1111敏捷运用其他方法：敏捷运用其他方法：例例1212103END104