2022年概率论与数理统计第一章教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第一节 随机大事一、随机现象在自然界和人类社会生活中普遍存在着两类现象：的现象,称为确定性现象；一类是在肯定条件下必定显现例如： 1 一物体从高度为 h （米）处垂直下落,就经过t （秒）后必定落到地（秒）；面,且当高度 h肯定时,可由公式h1 gt 22得到,t2 h/g2 异性电荷相互吸引,同性电荷相互排斥；另一类就是在肯定条件下我们事先无法精确预知其结果的现象,称为随机现象；例如： 1 在相同条件下抛掷同一枚硬币,我们无法事先预知将显现正面仍是反 面；2 将来某日某种股票的价格是多少；概率论就是以数量化方法来争论随机现象

2、及其规律性的一门数学学科；二、 随机试验 为了对随机现象的统计规律性进行争论 ,就需要对随机现象进行重复观看,我们 把对随机现象的观看称为 随机试验 ,并简称为 试验 ,记为 E ； 例如,观看某射手对 120 急救电话 固定目标进行射击；抛一枚硬币三次 ,观看显现正面的次数；记录某市 一昼夜接到的呼叫次数等均为随机试验；随机试验具有以下特点：1 可重复性 ；试验可以在相同的条件下重复进行；2 可观看性 ；试验结果可观看 ,全部可能的结果是明确的；3 不确定性 ： 每次试验显现的结果事先不能精确预知；三、样本空间名师归纳总结 尽管一个随机试验将要显现的结果是不确定的, 但其全部可能结果是明确的

3、, 我第 1 页,共 16 页们把随机试验的每一种可能的结果称为一个样本点 , 记为 e（或）；它们的全体称为样本空间 , 记为 S 或. 例如：1 在抛掷一枚硬币观看其显现正面或反面的试验中有两个样本点：正面、反面. 样本空间为 S= 正面,反面 或S e 1,e 2e 1正面,e 2反面 ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 在将一枚硬币抛掷三次,观看正面,学习必备欢迎下载8 个样H、反面 T 显现情形的试验中,有本点,样本空间： SHHH,HHT,HTHTHH,HTT,THT,TTH,TTT；3 在抛掷一枚骰子,观看其显现的点数的试验中,有6

4、个样本点： 1 点,2 点,3 点, 4 点, 5 点,6 点,样本空间可简记为 S 1 ,2,3,4,5,6 ；4 观看某电话交换台在一天内收到的呼叫次数,其样本点有无穷多个：i 次,i =0,1,2,3, ,样本空间可简记为 S 0 ,1,2,3, ；5 在一批灯泡中任意抽取一个,测试其寿命,其样本点也有无穷多个 且不行数： t 小时,样本空间可简记为 S t | 0 t =0,+ ；注：同一个随机试验,试验的样本点与样本空间是要依据要观看的内容来确定的；四、随机大事在概率论中, 把具有某一可观看特点的随机试验的结果称为大事,大事可分为以下三类：1 随机大事 ：在试验中可能发生也可能不发生

5、的事情；2 必定大事 ：在每次试验中都必定发生的大事；3 不行能大事 ：在任何一次试验中都不行能发生的大事；明显,必定大事和不行能大事都是确定性大事,两个特殊的随机大事,并将随机大事简称为大事；五、大事的集合表示为争论便利, 今后将它们看作是任何一个大事都可以用 S的某一子集来表示 ,常用字母 A , B , 等表示；称仅含一个样本点的大事为 基本领件 ；含有两个或两个以上样本点的大事为 复合大事；明显,样本空间 S 作为大事是必定大事,空集作为一个大事是不行能大事；六、 大事的关系与运算大事之间的关系与运算可按集合之间的关系和运算来处理 对比表：表 1.1 .为了便利,给出以下名师归纳总结

6、- - - - - - -第 2 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 记号学习必备A与欢迎下载概率论集合论A样本空间,必定大事全集不行能大事空集基本领件元素大事子集AA 的对立大事A 的余集AB大事A 发生导致B发生A 是B 的子集AB大事A与大事B相等A 与B 的相等AB大事A与大事B至少有一个发生A 与B 的和集AB大事A与大事B同时发生A 与B 的交集AB大事A发生而大事B不发生A 与B 的差集AB大事A和大事B互不相容B 没有相同的元素注：两个互为对立的大事肯定是互斥大事；反之,互斥大事不肯定是对立大事,而且,互斥的概念适用于多个大事,但是对立概念只适用于

7、两个大事；七、大事的运算规律由集合的运算律,易给出大事间的运算律：（1） 交换律；（2） 结合律；（3） 安排律；（4） 自反律；（5） 对偶律；例 1 甲,乙,丙三人各射一次靶,记A “甲中靶 ” B “乙中靶 ” C “丙中靶 ” 就可用上述三个大事的运算来分别表示以下各大事：名师归纳总结 1 “甲未中靶 ”：A;ABC;第 3 页,共 16 页2 “甲中靶而乙未中靶 ”：AB;ABC;3 “ 三人中只有丙未中靶”：ABCAB C4 “ 三人中恰好有一人中靶”：ABC;ABC;5“三人中至少有一人中靶”6“ 三人中至少有一人未中靶”：ABC;或AB CA BCABC;7“ 三人中恰有两人中

8、靶”：ABACBC;8“ 三人中至少两人中靶”：ABC;9“ 三人均未中靶” ：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载10“ 三人中至多一人中靶”：A B C A B C A B C A B C ;11“ 三人中至多两人中靶”：ABC 或 A B C ;注：用其它大事的运算来表示一个大事 , 方法往往不惟一,如上例中的 6和11实际上是同一大事, 应学会用不同方法表达同一大事 依据需要挑选一种恰当的表示方法；课堂练习, 特殊在解决详细问题时 ,往往要1. 设当大事 A与 B 同时发生时 C 也发生 , 就 . C;A AB是 C 的子大事

9、 ; BABC 或ABC AB 是 C 的子大事 ; D C 是 AB 的子大事 . 2. 设大事 A甲种产品畅销 , 乙种产品滞销 , 就 A 的对立大事为 . A 甲种产品滞销 ,乙种产品畅销 ; B 甲种产品滞销 ; C 甲、乙两种产品均畅销 ; D 甲种产品滞销或者乙种产品畅销 . 课后作业P6, 1,2,4 其次节 随机大事的概率一、频率及其性质名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - fnA定义1如在相同条件下进行学习必备欢迎下载rnA , 就称n 次试验 , 其中大事A 发生的次数为r nA 为大事 A发生的

10、 频率 ；n频率的基本性质 : 1 0 f n A ;12 fn S ;13 设 A 1 , A 2 , , A n 是两两互不相容的大事 , 就f n A 1 A 2 A n f n A 1 f n A 2 f n A n . 定义 2 在相同条件下重复进行 n 次试验,如大事 A发生的频率 f n A r n A 随着n试验次数 n 的增大而稳固地在某个常数 p 0 p 1 邻近摇摆,就称 p为大事的概率,记为 P A ；例 1 从某鱼池中取 100 条鱼, 做上记号后再放入该鱼池中；现从该池中任意捉来 40 条鱼, 发觉其中两条有记号,二、概率的公理化定义问池内大约有多少条鱼？定义 3

11、设 E 是随机试验 , S 是它的样本空间 ,对于 E 的每一个大事 A 给予一个实数, 记为 P A , 如 P A 满意以下三个条件 : 1 非负性：对每一个大事 A ,有 P A 0 ; 2 完备性：P S 1 ; 3 可列可加性：设 A 1A 2 , 是两两互不相容的大事,就有P A i P A i .i 1 i 1就称 P A 为大事 A 的概率 . 三、 概率的性质名师归纳总结 性质 1 P 0A 1,A 2,A n两两互不相容,就有第 5 页,共 16 页性质 2 有限可加性 如大事P A 1A 2A nP A 1PA 2PA n- - - - - - -精选学习资料 - - -

12、 - - - - - - 学习必备欢迎下载ABC性质 3 对任一大事 A ,有PA 1PA 性质 4 PABPAPAB； 特殊地,如 AB ,就有（1）PBAPBPA,（2）PBPA 性质 5 对任一大事 A ,PA1性质 6 对任意两个大事A,B,有PABPAPBPAB注：推广到对任意三个大事A ,B,C,就有PABCPA PB PCPABPACPBCP例 2 已知PA0 5. ,P B0 2. ,PB 0.4, 求1 PAB; 2 PAB; 3 PAB; 4 PAB. 课堂练习1.设AB,P A 0.6,PAB0 .8, 求大事 B 的逆大事的概率 . . 2.设PA0 .4 ,PB0 .

13、,3PAB0 .6 ,求PAB. 3.设A,B都显现的概率与A,B都不显现的概率相等 , 且PA p, 求PB课后作业P10 3、4 第三节 古典概型一、古典概型名师归纳总结 1、我们称具有以下两个特点的随机试验模型为古典概型；第 6 页,共 16 页1 随机试验只有有限个可能的结果; - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 每一个结果发生的可能性大小相同. 学习必备欢迎下载古典概型又称为 等可能概型 .在概率论的产生和进展过程中,它是最早的争论对象,且在实际中也最常用的一种概率模型；2、古典概率PA P kj1ejjk1Pe ijkA 包含的基本领件数

14、.nS 中基本领件的总数二、 运算古典概率的方法1.基本计数原理：1 加法原理 ：设完成一件事有 m种方式 ,其中第一种方式有n 种方法,其次种方式有n 种方法, ,第 m种方式有n 种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事,就完成这件事的方法总数为n 1n2n m. 2 乘法原理 ：设完成一件事有 m个步骤 ,其中第一个步骤有n 种方法,其次个步骤有 n 种方法, ,第 m 个步骤有 n 种方法；完成该件事必需通过每一步骤才算完成,就完成这件事的方法总数为 n 1 n 2 n m .2. 排列组合方法11 排列公式： 2 组合公式；例 1 一个袋子中装有 10 个大小相同的球 , 其中 3

15、个黑球 , 7 个白球 , 求1 从袋子中任取一球 , 这个球是黑球的概率 ; 2 从袋子中任取两球 , 刚好一个白球一个黑球的概率以及两个球全是黑球的概率. 例 2 将 3个球随机放入 4 个杯子中 , 问杯子中球的个数最多为 1, 2, 3 的概率各是多少. 例 3在 12000的整数中随机地取一个数 , 问取到的整数既不能被6 整除 , 又不能被 8 整除的概率是多少 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载课堂练习P14 1、2、3、4、课后作业P14 6、9、10 第四节 条件概率一、 条

16、件概率的引入引例 一批同型号的产品由甲、乙两厂生产,产品结构如下表：厂别名师归纳总结 数量甲厂乙厂合计第 8 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载等级合格品475 644 1119 次品25 56 81 合计500 700 1200 1 从这批产品中随便地取一件,就这件产品为次品的概率为多少？2 当被告知取出的产品是甲厂生产的时,那么这件产品为次品的概率又是多大？在大事 A发生的条件下,求大事B发生概率,这就是条件概率,记作PB|A；二、条件概率的定义1、定义 1设A,B是两个大事 , 且PA 0, 就称PB称为无条件概

17、率；PB|APAB1 PA为在大事 A发生的条件下,大事B 的条件概率 ；相应地,把一般地,PB|A PB；2、条件概率的性质1 0 P A 1 ; 2 P S | A 1 ; 3 设 A 1 , A 2 , , A n 互不相容,就P A 1 A 2 A n | A P A 1 | A P A 2 | A P A n | A 例 1 一袋中装有 10 个球, 其中 3 个黑球 , 7 个白球 , 先后两次从袋中各取一球 不放回 1 已知第一次取出的是黑球, 求其次次取出的仍是黑球的概率; 2 已知其次次取出的是黑球, 求第一次取出的也是黑球的概率. 注: 1 用维恩图表达 1式.如大事 A

18、已发生 ,就为使 B 也发生 ,试验结果必需是既在 A 中又在 B 中的样本点 ,即此点必属于PB|A新的样本空间 . 2 运算条件概率有两种方法 : AB .因已知 A已发生 ,故 A 成为运算条件概率名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载a 在缩减的样本空间 A中求大事 B的概率,就得到 P B | A ；b 在样本空间 S中,先求大事 P AB 和 P A ,再按定义运算 P B | A ；例 2 袋中有 5 个球 , 其中 3 个红球 2 个白球 . 现从袋中不放回地连取两个 . 已知第一次取

19、得红球时 , 求其次次取得白球的概率；三、乘法公式由条件概率的定义立刻得到 : P AB P A P B | A P A 0 2 留意到 AB BA , 及 A, B 的对称性可得到 : P AB P B P A | B P B 0 3 2和3式都称为 乘法公式 , 利用它们可运算两个大事同时发生的概率 . 例 3 一袋中装 10 个球 , 其中 3 个黑球、7 个白球 , 先后两次从中随便各取一球 不放回, 求两次取到的均为黑球的概率；例 4 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2, 如第一次落下未打破 , 其次次落下打破的概率为7/10, 如前两次落下未打破 , 第三次

20、落下打破的概率为 9/10. 试求透镜落下三次而未打破的概率 . 四、全概率公式全概率公式是概率论中的一个基本公式；它使一个复杂大事的概率运算问题,可化为在不怜悯形或不同缘由或不同途径下发生的简洁大事的概率的求和问题；定理 1设A 1,A 2,A n,是一个完备大事组 ,且P iA,0i1 , 2,就对任一事件 B ,有PPA nPB|A nBPA 1PB|A 1五、贝叶斯公式利用全概率公式 ,可通过综合分析一大事发生的不同缘由、情形或途径及其可能名师归纳总结 性来求得该大事发生的概率.下面给出的贝叶斯公式就考虑与之完全相反的问题,即第 10 页,共 16 页- - - - - - -精选学习

21、资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载一大事已经发生,要考察该大事发生的各种缘由、情形或途径的可能性；取n定理 2 设A 1,A 2,A n,是一完备大事组 ,就对任一大事 B,PB0,有PA i|BPA iB PA iPB|A ij,i,12 ,PB P AjPB|Aj注: 公式中 ,PiA和PA|B分别称为缘由的 先验概率 和后验概率 ； 特殊地,如2,并记A1A, 就A2A,于是公式成为PA|BP ABPAPPA PB|AB|A.PBB|A PAP 例 5 人们为明白一支股票将来肯定时期内价格的变化, 往往会去分析影响股票价格的基本因素 , 比如利率的变化 . 现假

22、设人们经分析估量利率下调的概率为 60%, 利率不变的概率为 40%. 依据体会 , 人们估量 , 在利率下调的情形下 , 该支股票价格 上涨的概率为 80%,而在利率不变的情形下 , 其价格上涨的概率为 40%, 求该支股票 将上涨的概率 . 例 6 有三个瓶子, 1 号装有 2 红 1 黑共 3 个球, 2 号装有 3 红 1 黑共 4 个球, 3 号装有 2 红 2 黑共 4 个球,（1）如某人从中随机取一瓶,再从该瓶中任意取出一个球,求取得红球的概率？（2）如已知某人取出的球是红球,问取自第一个瓶子的概率？课堂练习1、设某种动物由诞生算起活到20 年以上的概率为 0.8, 活到 25

23、年以上的概率为0.4. 问现年 20 岁的这种动物 , 它能活到 25 岁以上的概率是多少 . 2、对以往数据分析结果说明 , 当机器调整得良好时 , 产品的合格率为 98%, 而当机器发生某种故障时 , 其合格率为55%. 每天早上机器开动时 , 机器调整良好的概率为 95%. 试求已知某日早上第一件产品是合格时, 机器调整得良好的概率是多少. 课后作业P21 7,8 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第五节学习必备欢迎下载大事的独立性一、 两个大事的独立性定义 1如两大事 A, B 满意PABPA PB1 就

24、称 A, B 独立, 或称 A , B 相互独立；注: 1 两大事互不相容与相互独立是完全不同的两个概念,它们分别从两个不同的角度表述了两大事间的某种联系； 互不相容是表述在一次随机试验中两大事不能同时发生,而相互独立是表述在一次随机试验中一大事是否发生与另一大事是否发生互无影响；2 当PA 0,P B0时, A, B 相互独立与 A, B 互不相容不能同时成立；3 如 A, B 既独立又互斥,就至少有一个是零概率大事；名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 定理 1设 A , B 是两大事 , 且PA 0学习必备欢迎

25、下载PA|BPA. 反之亦,如 A, B 相互独立 , 就然. 定理 2设大事 A, B 相互独立 ,就以下各对大事也相互独立: A与 B , A 与 B , A 与 B . 例 1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张, 记 A 抽到 K , B 抽到的牌是黑色的 , 问大事 A 、 B 是否独立 . 注：从例 1 可见,判定大事的独立性,可利用定义或通过运算条件概率来判定；但在实际应用中 , 常依据问题的实际意义去判定两大事是否独立；二、有限个大事的独立性1、定义 2 设 A , B , C 为三个大事 , 如满意等式P AB P A P B ,P AC P A P C ,P BC P B

26、P C ,P ABC P A P B P C ,就称大事 A , B , C 相互独立；定义 3 设 A 1 , A 2 , , A n 是 n 个大事 , 如其中任意两个大事之间均相互独立 , 就称A 1 , A 2 , , A n 两两独立 . 2、相互独立性的性质性质 1如大事A 1,A 2,A nn2 相互独立 , 就其中任意k 1kn个大事也相互独立; m 1性 质2如 n 个 事 件A 1,A 2,A nn2相 互 独 立 , 就 将A 1,A 2,A n中 任 意mn个大事换成它们的对立大事, 所得的 n 个大事仍相互独立 ; 注：设A 1,A 2,A n是 nn2个随机大事,就

27、A 1,A 2,A n相互独立A 1,A 2,A n两两独立 . 即相互独立性是比两两独立性更强的性质, 例 2 已知甲、乙两袋中分别装有编号为1, 2, 3, 4 的四个球 . 今从甲、乙两袋中各名师归纳总结 取出一球 , 设 A 从甲袋中取出的是偶数号球, B 从乙袋中取出的是奇数号球, 第 13 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C学习必备欢迎下载A,B,C两两独立但不相互 从两袋中取出的都是偶数号球或都是奇数号球, 试证独立. 例 3 如图是一个串并联电路系统.A,B,C,D,E,F,G,H都是电路中的元件；它们下方的数字是它们

28、各自正常工作的概率,CAB0.70FHD0.750.950.950.70G0.95E0.750.70求电路系统的牢靠性；例 4 甲, 乙两人进行乒乓球竞赛 , 每局甲胜的概率为 p,p1/2. 问对甲而言 ,采纳三局二胜制有利 , 仍是采纳五局三胜制有利 . 设各局胜败相互独立 . 三、伯努利概型设随机试验只有两种可能的结果: 大事 A 发生 记为 A 或 大事 A 不发生 记为A , 就称这样的试验为 伯努利 Bermourlli 试验 . 设PA p,PA1p,0p1 ,n 重伯努利试验 , 或将伯努利试验独立地重复进行n次, 称这一串重复的独立试验为简称为 伯努利概型 . 注: n 重伯

29、努利试验的特点是：大事A 在每次试验中发生的概率均为p ,且不受其他各次试验中 A是否发生的影响 . 定理 3（伯努利定理）设在一次试验中 ,大事 A 发生的概率为p 0p1 ,就在 n 重贝努里试验中 ,大事 A恰好发生 k 次的概率为推论P XkCkpk 1pnk,kp,1,0,n .n设在一次试验中 ,大事 A 发生的概率为p 01 ,就在 n 重贝努里试验中 , 大事 A在第 k 次试验中的才首次发生的概率为k 1p 1 p , k 0 ,1, , n .留意到“ 大事 A 第 k 次试验才首次发生” 等价于在前 k 次试验组成的 k 重伯努利试验中“ 大事 A在前 k 1 次试验中均

30、不发生而第 k 次试验中大事 A发生”,再由伯努利定理即推得 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 5学习必备欢迎下载0.6,现如干门炮同时各某型号高炮 ,每门炮发射一发炮弹击中飞机的概率为射一发 , 1问：欲以 99%的把握击中一架来犯的敌机至少需配置几门炮 . 2现有 3 门炮,欲以 99%的把握击中一架来犯的敌机 ,问:每门炮的命中率应提高到多少 . 课堂练习1. 某工人一天出废品的概率为 0.2, 求在 4 天中 : 1 都不出废品的概率 ; 2 至少有一天出废品的概率 ; 3 仅有一天出废品的概率

31、; 4 最多有一天出废品的概率 ; 5第一天出废品 , 其余各天不出废品的概率 . 课后作业P25 3,6,8 第一章 习题课一、基本学问点1、概率的定义2、概率的性质3、基本公式：古典概型、条件概率公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式、独立性、伯努利定理二、典型例题例 1、已知P A0.5,P B0.3,P AB0.6,求P AB ,P A B ,P AB0.4,P B 0.2,B=例 2、P A （1）如A B 互不相容,就P A（2）如A B 相互独立,就P AB=例 3、设某批产品中 , 甲, 乙, 丙三厂生产的产品分别占 产品的次品率分别为 4%, 2%, 5%, 现从中任取一件

32、, 45%, 35%, 20%, 各厂的名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1 求取到的是次品的概率；2 经检验发觉取到的产品为次品, 求该产品是甲厂生产的概率；例 4、发报台分别以概率 0.6 和 0.4 发出信号“.” 及“-”,由于通信系统受到干扰,当发出信号“.” 时,收报台分别以概率 0.8 及 0.2 收到“.” 及“-” ；又当发出信号“-” 时,收报台分别以概率 0.9 及 0.1 收到“-” 及“.” ,求当收报台收到“.”时,发报台确系发出信号“.” 的概率,以及收到“-” 时,确系发出“-” 的概率；例 5、两台车床加工同样的零件,第一台显现废品的概率是0.03,其次台显现废品的概率是 0.02, 加工出来的零件放在一起, 并且已知其次台加工的零件比第一台 加工的多一倍,名师归纳总结 1求任意取出的零件是合格品的概率; . 第 16 页,共 16 页2假如任意取出的零件是废品, 求它是其次台车床加工的概率- - - - - - -