三重积分(1).ppt

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1、三重积分三重积分(1)(1)9.3 三三 重重 积积 分分一、一、问题的提出问题的提出采用计算采用计算非均匀非均匀平面平面设有一非设有一非均匀空间均匀空间物体物体,非均匀非均匀空间物体的质量空间物体的质量占有界闭区域占有界闭区域,物体在点物体在点(x,y,z)处的密度处的密度f(x,y,z)为闭区域为闭区域 的连续函数的连续函数,计算该物体的质量计算该物体的质量M.如果物体是如果物体是均匀的均匀的,即其密度为常数即其密度为常数,则物体则物体的的质量等于物体的密度乘以物体的体积质量等于物体的密度乘以物体的体积.对于计对于计算算非均匀非均匀空间物体空间物体的的质量质量,薄片质量的方法薄片质量的方法

2、.2 9.3 三三 重重 积积 分分即即(1)分割分割 用一组曲面网将有界闭区域用一组曲面网将有界闭区域任意任意分成分成n个小闭区域个小闭区域(2)取近似取近似 在每个小闭区域在每个小闭区域i上任取一点上任取一点(3)求和求和整个物体质量的近似值整个物体质量的近似值(4)取极限取极限 求物体质量的精确值求物体质量的精确值四步四步:当各小闭区域直径中的最大值当各小闭区域直径中的最大值 趋于零时趋于零时,3 9.3 三三 重重 积积 分分设设f(x,y,z)是空间有界闭区域是空间有界闭区域上的上的如当各小闭区域直径中的最大值如当各小闭区域直径中的最大值在每个在每个 1.三重积分的定义三重积分的定义

3、将闭区域将闭区域任意分成任意分成 n个小闭区域个小闭区域 其中其中并作和并作和作乘积作乘积有界函数有界函数.也表示它的体积也表示它的体积.表示第表示第 i 个小闭区域个小闭区域,上任取一点上任取一点二、三重积分的概念二、三重积分的概念(define)定义定义9.2(1)(2)(3)(4)4 9.3 三三 重重 积积 分分记为记为函数函数 f(x,y,z)在闭区域在闭区域 上的上的三重积分三重积分.趋于零时这和的极限总存在趋于零时这和的极限总存在,则称此极限为则称此极限为即即体积元素体积元素5 9.3 三三 重重 积积 分分3.三重积分的几何意义三重积分的几何意义设被积函数设被积函数连续函数或分

4、片连续函数一定可积连续函数或分片连续函数一定可积2.三重积分存在性三重积分存在性则区域则区域 的体积为的体积为在在上是可积的上是可积的.当当f(x,y,z)的三重积分存在性时的三重积分存在性时,(existence)称称f(x,y,z)6 9.3 三三 重重 积积 分分对称性质对称性质补充三重积分补充三重积分4.三重积分的性质三重积分的性质与二重积分的性质类似与二重积分的性质类似.其中其中1为为在在xOy坐标面的上半部区域坐标面的上半部区域.(property)若区域若区域关于关于xOy坐标面对称坐标面对称,f(x,y,z)为为z的奇函数的奇函数,f(x,y,z)为为z的偶函数的偶函数,则称则

5、称f关于变量关于变量z的的奇奇 函数函数.(偶偶)7 9.3 三三 重重 积积 分分或或而得结果为零而得结果为零.例例0则则8 9.3 三三 重重 积积 分分例例0若域若域关于两个坐标面关于两个坐标面 yOz,xOz都对称都对称,其中其中2是是在第一在第一,五卦限部分的区域五卦限部分的区域.2是是在一在一,五卦限部分的区域五卦限部分的区域,则则f 同为同为 x,y的奇函数的奇函数,f 同为同为 x,y的偶函数的偶函数,9 9.3 三三 重重 积积 分分研究生考题研究生考题,选择选择,3分分C则则()成立成立.10 9.3 三三 重重 积积 分分若域若域关于关于三个三个坐标坐标面面都都对称对称,

6、其中其中3是是 在第在第一一卦限部分的区域卦限部分的区域.例例03是是 在第一在第一卦限的部分卦限的部分,则则f 同为同为 x,y,z的奇函数的奇函数,f 同为同为 x,y,z的偶函数的偶函数,11 9.3 三三 重重 积积 分分若若 关于关于原点对称原点对称,其中其中4为为 中中关于原点对称的一半区域关于原点对称的一半区域.f 为为 x,y,z的奇函数的奇函数,f 为为 x,y,z的偶函数的偶函数,12 9.3 三三 重重 积积 分分三、三重积分的计算三、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分故故直角坐标系下直角坐标系下的体积元素为的体积元素为在直角坐标系下在直角

7、坐标系下三重积分可表为三重积分可表为在直角坐标系中在直角坐标系中,如果用平行于坐标面的如果用平行于坐标面的平面的来划分平面的来划分,直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中将三重积分化为三次积分.思想是思想是13 9.3 三三 重重 积积 分分 解解由于由于V是长方体是长方体,故故例例三次积分的上、下限都三次积分的上、下限都是常数是常数,计算三重积分计算三重积分其中其中V是长方体是长方体 先一后二法先一后二法14 9.3 三三 重重 积积 分分 投影法投影法先一后二法先一后二法如图如图,闭区域闭区域在在xOy面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域D,过点过点作直线作直线,从从z1穿入穿入,

8、从从z2穿出穿出.(如先如先z后后xy)15 9.3 三三 重重 积积 分分 X型型再计算再计算F(x,y)在闭区域在闭区域D上的二重积分上的二重积分得得则则先将先将x,y 看作定值看作定值,将将f(x,y,z)只看作只看作z的函数的函数,因为因为16 9.3 三三 重重 积积 分分如何写出当如何写出当D为为Y型闭域型闭域时时,注注三次积分的公式三次积分的公式三重积分化为三重积分化为交不多两点情形交不多两点情形.这是平行于这是平行于z轴且穿过闭区域轴且穿过闭区域内部的直线与内部的直线与闭区域闭区域的边界曲面的边界曲面S相相 17 9.3 三三 重重 积积 分分所以所以,三重积分可以化为六种不同

9、次序的三次积三重积分可以化为六种不同次序的三次积和积分域和积分域 选取适当的三次积分进行计算选取适当的三次积分进行计算.解题时解题时,要依据具体的被积函数要依据具体的被积函数 f(x,y,z)同样同样,也可以把积分域也可以把积分域向向yOz、zOx面投影面投影.分分(累次积分累次积分).18 9.3 三三 重重 积积 分分 以上计算三重积分的方法按先以上计算三重积分的方法按先“单积分单积分”又由于此方法是先把积分区域又由于此方法是先把积分区域向坐标向坐标所以又称其为所以又称其为“先一先一后后“二重积分二重积分”的步骤的步骤,后二后二”的积分次序的积分次序.故该方法也称为故该方法也称为坐标面投影

10、法坐标面投影法.面投影面投影,且二重积分的积分区域就是且二重积分的积分区域就是的投影的投影区域区域,19 9.3 三三 重重 积积 分分解解化三重积分化三重积分为三次为三次所围成的闭区域所围成的闭区域.其中积分区域为由曲面其中积分区域为由曲面得交线投影区域得交线投影区域积分积分,20 9.3 三三 重重 积积 分分解解化三重积分化三重积分为三次为三次例例所围成的闭区域所围成的闭区域.其中积分区域为由曲面其中积分区域为由曲面消消z得交线投影区域得交线投影区域积分积分,确定积分限的口诀确定积分限的口诀:含含z方程为上、下面方程为上、下面,无无z、有有z消消z围围D线线.21 9.3 三三 重重 积

11、积 分分例例 求求解解 的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数,应先对应先对x积分后对积分后对yz积分积分一定要一定要交换积分次序交换积分次序.(先一后二先一后二)22 9.3 三三 重重 积积 分分投影法投影法(先一后二法先一后二法)计算三重积分计算三重积分例例解解其中其中为三为三23 9.3 三三 重重 积积 分分截面法截面法(先二后一法先二后一法)解解计算三重积分计算三重积分例例原式原式=其中其中为三为三24 9.3 三三 重重 积积 分分 截面法截面法(红色部分红色部分)先二后一法先二后一法截面法的一般步骤截面法的一般步骤(1)投影投影,得投影区间得投影区间c1,c2;(2)(3)计

12、算二重积分计算二重积分(4)最后计算定积分最后计算定积分得截面得截面Dz;其结果为其结果为z的函数的函数F(z);(如先如先xy 后后z)把积分区域把积分区域向某轴向某轴(如如z轴轴)用过用过z轴且平行轴且平行xOy的平面去截的平面去截,25 9.3 三三 重重 积积 分分 即即当被积函数仅与变量当被积函数仅与变量z有关有关,截面法的公式还有两个截面法的公式还有两个.用上公式简便用上公式简便.希望自己推希望自己推注注且截面且截面Dz易知时易知时,26 9.3 三三 重重 积积 分分对上述公式可作一直观的物理解释对上述公式可作一直观的物理解释:设设 f(x,y,z)是一物体的密度函数是一物体的密

13、度函数,是是中位于点中位于点(x,y)处的竖直细棒处的竖直细棒的质量的质量,而二重积分而二重积分则表示将诸细棒的质量累积成整个物体的质量则表示将诸细棒的质量累积成整个物体的质量则则先一后二法先一后二法27 9.3 三三 重重 积积 分分对上述公式可作如下物理解释对上述公式可作如下物理解释:物体的密度函数物体的密度函数,是截面是截面Dz的质量的质量,则二重积分则二重积分则表示将诸截面的质量累积成整个物体的质量则表示将诸截面的质量累积成整个物体的质量设设 f(x,y,z)是一是一而定积分而定积分先二后一法先二后一法28 9.3 三三 重重 积积 分分计算计算其中其中为椭球体为椭球体:解解 先二后一

14、法先二后一法29 9.3 三三 重重 积积 分分提示提示已知椭球已知椭球V:内点内点(x,y,z)处质量处质量的体密度为的体密度为:求求椭球的椭球的质量质量.30 9.3 三三 重重 积积 分分解解 因为因为而而其中其中先二后一法先二后一法(截面法截面法)31 9.3 三三 重重 积积 分分由对等性知由对等性知因此因此所以所以32 9.3 三三 重重 积积 分分解解 极极坐坐标标所围立体体积所围立体体积V.例例V在在xOy面的面的投影域投影域Dxy为为33 9.3 三三 重重 积积 分分规定规定直角坐标直角坐标与与柱面坐标柱面坐标的关系为的关系为就叫点就叫点M的的柱面坐标柱面坐标.2.利用柱面

15、坐标利用柱面坐标计算三重积分计算三重积分cylindrical coordinates设设M(x,y,z)为空间内一点为空间内一点,并设点并设点M在在xOy面上的投影面上的投影 P 的极坐标为的极坐标为则这样的三个数则这样的三个数直观地讲直观地讲,以以O为观察点去为观察点去观察空间一个点观察空间一个点M,则则M之间的水平距离之间的水平距离,是是而而z是是M的高度的高度.表示表示O与与的方向角的方向角,34 9.3 三三 重重 积积 分分柱面坐标柱面坐标系中系中,以以z轴为中心轴的轴为中心轴的圆柱面圆柱面;过过z轴的轴的半平面半平面.与与xOy平面平行的平面平行的平面平面;三坐标面分别为三坐标面

16、分别为称点称点M的柱面坐标的柱面坐标35 9.3 三三 重重 积积 分分柱面坐标系柱面坐标系中的中的体积元素体积元素为为 在在柱面坐标系柱面坐标系中中,如图如图,得小柱体得小柱体即即直角坐标系直角坐标系下三重积分与下三重积分与(红色部分红色部分).若以三坐标面分割空间区域若以三坐标面分割空间区域,柱柱(面面)坐标系坐标系下三重下三重积分的关系是积分的关系是36 9.3 三三 重重 积积 分分 如何计算如何计算柱坐标系柱坐标系下三重积分下三重积分回想回想直角坐标系直角坐标系下计算三重积分方法下计算三重积分方法.将三重积分化为将三重积分化为三次积分三次积分(累次积分累次积分)37 9.3 三三 重

17、重 积积 分分柱坐标系柱坐标系下三重积分的计算下三重积分的计算,可得可得柱坐标系柱坐标系下三重积分化为下三重积分化为三次积分三次积分与与x,y,z等同的看为三个变量等同的看为三个变量.如如,极坐标极坐标不等式表示不等式表示只要把被积只要把被积函数中的函数中的的计算公式的计算公式.类类比比公公式式先先将将在在xOy面上的投影域用面上的投影域用38 9.3 三三 重重 积积 分分从而从而故故再再确定确定的下的下,上边界面上边界面注注通常是通常是先积先积再积再积后积后积39 9.3 三三 重重 积积 分分如积分域如积分域为圆柱域为圆柱域(如图如图).则则40 9.3 三三 重重 积积 分分解解例例

18、所围成所围成.积分域用积分域用柱坐标柱坐标表示为表示为原式原式其中其中由半圆柱面由半圆柱面n为正偶数为正偶数n为大于为大于1的正奇数的正奇数41 9.3 三三 重重 积积 分分例例已知立体内任一点的质量的体密度已知立体内任一点的质量的体密度解解因为因为平面平面柱柱面面坐坐标标求曲面求曲面所围立体的质量所围立体的质量M,与该点到与该点到z轴轴的距离的平方成正比的距离的平方成正比.的的交线交线是是上的圆上的圆体密度函数为体密度函数为42 9.3 三三 重重 积积 分分的的下边界面下边界面是是上边界面上边界面是是故故 所以所以在在xOy面上的投影域面上的投影域即即是半径为是半径为2的圆域的圆域43

19、9.3 三三 重重 积积 分分解解如先对如先对z积分积分其中其中是由锥面是由锥面与平面与平面所围成的锥台体所围成的锥台体.柱柱面面坐坐标标44 9.3 三三 重重 积积 分分可看出如先对可看出如先对z积分积分,(积不出来积不出来).将遇到积分将遇到积分最后对最后对z积分积分.这里应先对这里应先对 积分积分,45 9.3 三三 重重 积积 分分解解对对称称性性质质例例所围成的空间闭区域所围成的空间闭区域.同理同理,因为因为所以所以因为因为zx是关于是关于x的奇函数的奇函数,所以所以且且关于关于zOx面对称面对称.且且关于关于yOz面对称面对称.46 9.3 三三 重重 积积 分分计算计算柱柱坐坐

20、标标在在xOy面上的面上的投影域投影域Dxy为为47 9.3 三三 重重 积积 分分所以所以对称性质对称性质计算计算关于两个坐标面关于两个坐标面48 9.3 三三 重重 积积 分分 当被积函数是当被积函数是积分域积分域由圆柱面由圆柱面(或一部分或一部分)、锥面、抛物面、锥面、抛物面用用所围成的所围成的.柱面坐标柱面坐标计算三重积分较方便计算三重积分较方便.在应用柱面坐标计算三重积分时在应用柱面坐标计算三重积分时,应熟悉一些常见应熟悉一些常见曲面的柱面坐标方程曲面的柱面坐标方程:直角坐标方程直角坐标方程柱面坐标方程柱面坐标方程半球面半球面圆锥面圆锥面旋转抛物面旋转抛物面圆柱面圆柱面圆柱面圆柱面4

21、9 9.3 三三 重重 积积 分分记投影记投影向量与向量与规定规定正方向间的夹角为正方向间的夹角为球面坐标球面坐标.称称为点为点M的的3.利用球面坐标利用球面坐标计算三重积分计算三重积分设设M(x,y,z)为空间内一点为空间内一点,向向xOy平面投影平面投影,x 轴正方向的夹角为轴正方向的夹角为直观地讲直观地讲,角度角度 和角度和角度 类似于我们确定地球类似于我们确定地球 表面上任一地点的纬度和经度表面上任一地点的纬度和经度,而长度而长度r则表示球面则表示球面到球心的距离到球心的距离.可想而知可想而知,球面坐标很适合描述球体球面坐标很适合描述球体或与球体有关的空间区域或与球体有关的空间区域.5

22、0 9.3 三三 重重 积积 分分球面坐标与直角坐标的关系球面坐标与直角坐标的关系为为51 9.3 三三 重重 积积 分分球面坐标系球面坐标系中的三坐标面分别为中的三坐标面分别为原点为心的原点为心的球面球面;过过z轴的轴的半平面半平面.原点为顶点、原点为顶点、z轴为轴的轴为轴的圆锥面圆锥面;称点称点M的球面坐标的球面坐标52 9.3 三三 重重 积积 分分球面坐标系球面坐标系中的中的体积元素体积元素为为若以三坐标面分割空间若以三坐标面分割空间得小六得小六面体面体(红色部分红色部分).于是于是,在在球面坐标系球面坐标系中中,区域区域,53 9.3 三三 重重 积积 分分通常是通常是注注54 9.

23、3 三三 重重 积积 分分如积分域如积分域为球域为球域(如图如图).则则55 9.3 三三 重重 积积 分分解解考研数学一考研数学一,填空填空,4分分56 9.3 三三 重重 积积 分分解解 采用采用例例所围的立体所围的立体.球面坐标球面坐标因为因为其中其中是锥面是锥面57 9.3 三三 重重 积积 分分58 9.3 三三 重重 积积 分分解解采用采用例例由锥面和球面围成由锥面和球面围成,的立体体积的立体体积.球面坐标球面坐标所围成所围成59 9.3 三三 重重 积积 分分解解 积分域关于积分域关于xOy坐标面对称坐标面对称,被积函数是被积函数是z的奇函数的奇函数.例例利用利用对称性对称性简化

24、计算简化计算其中积分区域其中积分区域60 9.3 三三 重重 积积 分分球球或或积分区域积分区域61 9.3 三三 重重 积积 分分当积分区域是球形域或是球的一部分当积分区域是球形域或是球的一部分;或上半部是球面下半部是顶点在原点的锥面或上半部是球面下半部是顶点在原点的锥面,被积函数具有被积函数具有的形式时的形式时,用用球面坐标球面坐标计算三重积分较简便计算三重积分较简便.62 9.3 三三 重重 积积 分分研究生考题研究生考题(数学一数学一)计算计算,5分分解解被积函数是被积函数是围成的空间区域围成的空间区域,x的奇函数的奇函数.球球请再用柱面坐标做请再用柱面坐标做.所以所以积分域积分域关于

25、关于yOz面对称面对称,63 9.3 三三 重重 积积 分分研究生考题研究生考题(数学一数学一)12分分 设函数设函数f(x)连续且恒大于零连续且恒大于零,其中其中(1)讨论讨论 在区间在区间 内的单调性内的单调性.(2)证明证明64 9.3 三三 重重 积积 分分(1)解解 因为因为球球极坐标极坐标(1)讨论讨论 在区间在区间 内的单调性内的单调性.65 9.3 三三 重重 积积 分分 设函数设函数 连续且恒大于零连续且恒大于零 所以所以,单调增加单调增加.(1)讨论讨论F(t)在区间在区间 内的单调性内的单调性.66 9.3 三三 重重 积积 分分(2)证证 因因(2)证明证明要证明要证明

26、只需证明只需证明即即令令67 9.3 三三 重重 积积 分分则则 单调增加单调增加.因为因为所以所以因此因此,(2)证明证明 设函数设函数 连续且恒大于零连续且恒大于零68 9.3 三三 重重 积积 分分柱面坐标系下柱面坐标系下计算三重积分计算三重积分柱面坐标体积元素柱面坐标体积元素四、小结四、小结三重积分的定义三重积分的定义直角坐标系下直角坐标系下计算三重积分计算三重积分(思想思想:计算时将三重积分化为三次积分计算时将三重积分化为三次积分)三重积分的计算三重积分的计算(四步四步:分割、取近似、求和、取极限分割、取近似、求和、取极限)(直角坐标体积元素直角坐标体积元素 (柱面坐标与直角坐标的关

27、系柱面坐标与直角坐标的关系69 9.3 三三 重重 积积 分分球面坐标系下球面坐标系下计算三重积分计算三重积分球面坐标体积元素球面坐标体积元素 (球面坐标与直角坐标的关系球面坐标与直角坐标的关系使用对称性简化运算使用对称性简化运算恰当选择坐标系计算三重积分恰当选择坐标系计算三重积分(注意选择的原则注意选择的原则)70 9.3 三三 重重 积积 分分思考题思考题1是非题是非题非非但被积函数但被积函数其中其中1是是在第一挂限的部分区域在第一挂限的部分区域.因为虽然积分区域因为虽然积分区域关于坐标面关于坐标面xOy,zOx对称对称,关于关于z是奇函数是奇函数.71 9.3 三三 重重 积积 分分思考

28、题思考题2分别化为在柱坐标系和球坐标系下的累次积分分别化为在柱坐标系和球坐标系下的累次积分.将累次积分将累次积分思考题解答思考题解答积分域积分域V是由是由(1)化为化为柱面坐标柱面坐标xyo区域区域V向向xOy平面投影得圆平面投影得圆:72 9.3 三三 重重 积积 分分(2)化为化为球面坐标球面坐标得三角形区域得三角形区域(如图如图)zo积分域积分域V是由是由积分域积分域V的边界曲面在球坐标系下分别表示为的边界曲面在球坐标系下分别表示为:73 9.3 三三 重重 积积 分分思考题思考题3是非题是非题非非因为被积函数因为被积函数的积分范围是的积分范围是整个球体整个球体 而非球表面而非球表面.74 9.3 三三 重重 积积 分分作作 业业习题习题9.3(4009.3(400页）页）75结束结束