考研数学（三）第二部分线性代数章节练习.docx

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1、考研数学（三）第二部分线性代数章节练习（江南博哥）第一节 行列式第二节 矩阵第三节 向量第四节 线性方程组第五节 特征值与特征向量第六节 二次型第一节 行列式1单选题设四阶矩阵A=，2，3，4，B=，2，3，4，其中，2，3，4均为四维列向量，且|A|=1，|B|=-1，则|A+2B|=A.-27B.27C.81D.-81正确答案：A参考解析：A+2B=+2，32，33，34|A+2B|=33|+2，32，33，34| =27(|，2，3，4|+|2，2，3，4|) =27(|A|+|B|)=-272单选题M44=()A.-28B.28C.14D.-14正确答案：A参考解析：3单选题A.4B.

2、-4C.1D.-1正确答案：B参考解析：由分块矩阵求逆，得4单选题A.48B.24C.12D.0正确答案：D参考解析：直接按第一列展开5单选题设1，2，3，1，2都是四维列向量，且|A|=|1，2，3，1|=m，|B|=|1，2，2，3|=n，则|3，2，1，1+2|为()A.m+nB.m-nC.-(m+n)D.n-m正确答案：D参考解析：|3，2，1，1+2|=|3，2，1，1|+|3，2，1，2| =-|1，2，3，1|-|1，2，3，2| =-|1，2，3，1|+|1，2，2，3|=n-m6填空题参考解析：【解析】由BA=B+2E有B(A-E)=2E故7填空题参考解析：k2(k2-4)【

3、解析】将第2，3，4行加到第1行，提取k，再用行列式性质，有8填空题参考解析：-4【解析】数字型行列式，每行(列)有2个元素为0，可以直接按一行(一列)展开计算，考虑到元素有规律，可以利用行列式的性质，交换第1，4行，再交换第2，4列，得9填空题设|A|=2，|B|=-2其中A，B均为n阶方阵，则|A-1B*-A*B-1|=_参考解析：(-4)n-1【解析】10填空题设A是mn矩阵，B是nm矩阵，当mn时，|AB|=_参考解析：0【解析】由已知，AB是m阶方阵由r(AB)r(B)minm，n)，故当mn时，有r(AB)nm，故|AB|=011填空题参考解析：【解析】由已知A2B-A-B=E，得

4、(A2-E)B=A+E，即(A+E)(A-E)B=A+E，而12填空题参考解析：-120【解析】把第一行加到第四行，提出公因数10，再把第四行逐行互换到第一行，由范德蒙行列式，得13填空题设四阶方阵A=,2，3，4，B=，2，3，4，其中，,2，3，4均为四维列向量，且|A|=5，|B|=-，则|A+2B|=_参考解析：108【解析】因为14填空题设A，B均为n阶矩阵，且|A|=2，|B|=-3，则|-ATB-1|=_参考解析：【解析】15填空题设A为三阶矩阵，A的第一行元素为1，2，3，|A|的第二行元素的代数余子式分别为a+1，a-2，a-1，则a=_参考解析：由(a+1)+2(a-2)+

5、3(a-1)=0得a=116填空题参考解析：17填空题设A为三阶正交矩阵，且|A|0，|B-A|=-4，则|E-ABT|=_参考解析：|A|0则|B|0正确答案：C参考解析：因为A经过若干次初等变换化为B，所以存在初等矩阵P1，.Ps，Q1，.Qt，使得B=Ps.P1AQ1.Qt，而P1，.Ps，Q1，.Qt都是可逆矩阵，所以r(A)=r(B)，若|A|=0，即r(A)n，则r(B)n，令r(AB)=r，则()A.rmB.r=mC.rmD.rm正确答案：C参考解析：显然AB为m阶矩阵，r(A)n，r(B)n，而r(AB)minr(A)，r(B)nm，所以选(C)13单选题设A为四阶非零矩阵，且

6、r(A*)=1，则()A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3D.r(A)=4正确答案：C参考解析：因为r(A*)=1，所以r(A)=4-1=3，选(C)14单选题设A，B都是n阶矩阵，其中B是非零矩阵，且AB=O，则()A.r(B)=nB.r(B)nC.A2-B2=(A+B)(A-B)D.|A|=0正确答案：D参考解析：因为AB=O，所以r(A)+r(B)n又因为B是非零矩阵，所以r(B)1，从而r(A)n，于是|A|=0，选(D)15单选题A.B=P1P2AB.B=P2P1AC.B=P2AP1D.B=AP2P1正确答案：D参考解析：16单选题A.B=P1AP2B.B=P2AP1C.

7、B=AP1D.B=A正确答案：D参考解析：17单选题设A是n阶矩阵，下列命题错误的是()A.若A2=E，则-1一定是矩阵A的特征值B.若r(E+A)n，则-1一定是矩阵A的特征值C.若矩阵A的各行元素之和为-1，则-1一定是矩阵A的特征值D.若A是正交矩阵，且A的特征值之积小于零，则-1一定是A的特征值正确答案：A参考解析：18填空题参考解析：【解析】r(A)=2，先求A2，找出An的规律19填空题若An=E，n为正整数，则(A*)n=_参考解析：E【解析】由An=E，知|A|n=1又A*A=AA*=|A|E，得(AA*)n=(AA*)(AA*)(AA*)=|A|nE因A与A*可交换，故(AA

8、*)n=An(A*)n=|A|nE=E，于是(A*)n=E20填空题参考解析：【解析】41简答题设A，B分别为mn及ns阶矩阵，且AB=O证明：r(A)+r(B)n参考解析：【证明】42简答题证明：r(A)=r(ATA)参考解析：只需证明AX=0与ATAX=0为同解方程组即可，若AX0=0，则ATAX0=0，反之，若ATAX0=0，则X0TATAX0=0(AX0)T(AX0)=0AX0=0，所以AX=0与ATAX=0为同解方程组，从而r(A)=r(ATA)第三节 向量1单选题A.1B.2C.3D.4正确答案：C参考解析：将表出关系合并成矩阵形式有2单选题向量组1，2，n线性无关等价于()A.存

9、在一组不全为0的数,使其线性组合不为0B.存在一个向量不能由其他向量线性表示C.任何一个向量均不能由其他向量线性表示D.其中任意两个向量线性无关正确答案：C参考解析：由线性无关的定义知，A，B不正确对于D：由1，2，n线性无关，知任意两个向量也线性无关，但反过来不成立，如，其中任两个向量均线性无关，但三个2维向量显然线性相关3单选题设向量()1，2，t，()1，2，t，则下列命题若向量组()可由()线性表示,且st,则必有()线性相关，若向量组()可由()线性表示,且st,则必有()线性相关，若向量组()可由()线性表示,且()线性无关,则必有st,若向量组()可由()线性表示,且()线性无关

10、,则必有st,正确的是()A.B.C.D.正确答案：B参考解析：由结论“以少表多，多的相关”，命题正确，而命题是命题的逆否命题，故命题和命题正确如1=1+2，2=1-2，3=1+22则1，2，3必线性相关4单选题设1=(a1，a2，a3)T,2=(b1，b2，b3)T,3=(c1，c2，c3)T,其中0(i=1，2，3),则三条直线aix+biy+ci=0(i=1，2，3)恰好仅交于一点的充要条件是()A.r(1，2，3)=3B.r(1，2，3)=1C.r(1，2，3)=r(1，2)D.r(1，2，3)=r(1，2)=2正确答案：D参考解析：三条直线交于一点，等价于有唯一的x，y满足方程组5单

11、选题A. 1，2，3线性无关B. 1，2，3线性相关C. 1，2，3，4线性无关D.1，2，3，4线性相关正确答案：A参考解析：1，2，3的前三个分量组成的向量组线性无关，所以增加分量后仍线性无关6单选题设向量组1，2，1-22+3线性无关,则下列向量组线性无关的是()A.1+2，2+3，3-1B.1，2，3C.1-2，2-3，1-22+3D.1+2，2+3，1+22+3正确答案：B参考解析：1，2，3与1，2，1-22+3可互为线性表示，故其秩相同，所以1，2，3线性无关7单选题设向量组()：1，2，s；向量组()：1，2，s，s+1，s+t，则正确命题是A.()无关可推出()相关B.()无

12、关可推出()无关C.()相关可推出()无关D.()无关可推出()无关正确答案：D参考解析：当1=(1,0,0)T，2=(0,1,0)T，则1，2线性无关。当3=(1,1,0)T时，1，2，3线性相关，当3=(0,0,1)T时，1，2，3线性无关，所以(I)线性无关时，(II)既可能线性无关亦可能线性相关，所以A，B错误。(II)相关不能推出(I)线性无关，C错误。D正确。8单选题向量组1=(1，3，5，-1)T，2=(2，-1，-3，4)T，3=(6，4，4，6)T，4=(7，7，9，1)T，5=(3，2，2，3)T的极大线性无关组是A.1，2，5B.1，3，5C.2，3，4D.3，4，5正确

13、答案：C参考解析：列向量作行变换，有9单选题设1，2，3线性无关，1可由1，2，3线性表示，2不可由1，2，3线性表示，对任意的常数点有()A.1，2，3，k1+2线性无关B.1，2，3，k1+2线性相关C.1，2，3，1+k2线性无关D.1，2，3，1+k2线性相关正确答案：A参考解析：因为1可由1，2，3线性表示，2不可由1，2，3线性表示，所以K1+2一定不可以由向量组1，2，3线性表示，所以1，2，3，k1+2线性无关，选(A)10单选题设竹阶矩阵A=(1，2，n)，B=(1，2，n)。AB=(1，2，n)，记向量组()：1，2，n；()：1，2，n；()：1，2，n若向量组()线性相

14、关，则()A.()，()都线性相关B.()线性相关C.()线性相关D.()，()至少有一个线性相关正确答案：D参考解析：若1，2，m线性无关。1，2，m线性无关，则r(A)=n,r(B)=n，于是r(AB)=n因为1，2，n线性相关。所以r(AB)=r(1，2，n)nB.m=nC.D.若AB=O，则B=0正确答案：D参考解析：14单选题下列命题正确的是()A.若向量1，2，n线性无关，A为”阶非零矩阵，则A1，A2，An线性无关B.若向量1，2，n线性相关，则1，2，n中任一向量都可由其余向量线性表示C.若向量1，2，n线性无关，则1+2，2+3，n+1一定线性无关D.设1，2，n是n个n维向

15、量且线性无关，A为n阶非零矩阵，且A1，A2，An线性无关，则A一定可逆正确答案：D参考解析：(A1，A2，.，An)=A(1，2，.n)，因为1，2，.，n线性无关，所以矩阵(1，2，.n)可逆，于是r(A1，A2，.，An)=r(A)，而A1，A2，.，An线性无关，所以r(A)=n，即A一定可逆，选D。15单选题设A，B是满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有()A.A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关B.A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关C.A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关D.A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关正确答案：A参考解析：设A，B分别为mn，及

16、ns矩阵，因为AB=O，所以r(A)+r(B)n，因为A，B为非零矩阵，所以r(A)1，r(B)1，从而r(A)n，r(B)n，故A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关，A正确。16填空题已知向量组1=(a，0，b)T，2=(0，a，c)T，3=(c，b，0)T线性相关，则a，b，c必满足_参考解析：abc=0【解析】17填空题设向量组1=(1，k+2，3)T，2=(2，-1，1)T，3=(k-1，1，-1)T线性相关，但任意两个向量线性无关，则k=_参考解析：5【解析】18填空题已知1，2，3线性无关，若1+22+3，1+a2，32+3线性相关，则a=参考解析：-1【解析】19填空题参考

17、解析：20填空题设A=(1，2，3，4)为4阶方阵，且AX=0的通解为X=k(1，1，2，-3)T，则2由1，3，4表示的表达式为_参考解析：因为(1，1，2，-3)T为AX=0的解，所以1+2+23-34=0，故2=-1-23+3421简答题四维向量组1=(1，1，3，1)T，2=(1，1，-1，3)T，3=(5，-2，7，9)T，4=(1，a，-5，a+3)T线性相关，求a的值，并求不全为0的组合系数使1，2，3，4的线性组合为0参考解析：22简答题参考解析：由23简答题设向量组1=(1,1,1,3)T，2=(-1,-3,5,1)T，3=(3,2,-1，a+2)T,4=(-2,-6,10,

18、a)T(I)当a为何值时,该向量组线性无关,并将向量=(4,1,6,10)T用1，2，3，4线性表示；()当a为何值时,该向量组线性相关,并求其一个极大线性无关组参考解析：解()()当a=2时，由()，知24简答题设向量组1=(0,4,2)T,2=(1,1,0)T,3=(-2,4,3)T,4=(-1,1,1)T,求1，2，3，4的一个极大线性无关组,并将其余向量用极大线性无关组线性表示参考解析：解利用结论：列(行)向量组作初等行(列)变换，相关性不变(且向量的位置不变)25简答题设向量组()1+2,s；()1+2,t；r()=r()向量组()可由()线性表示，证明：向量组()与()等价参考解析

19、：证依题设，只需证明()可由()线性表示令r(I)=r(II)=r(rs，rt)，则不妨设(I)与(II)的极大线性无关组分别为1，2，.，r与1，2，.r。由已知(I)可由(II)线性表示，而(II)可由1，2，.r线性表示，从而向量组(III)1，2，.，r，1，2，.r的秩也为r，而1，2，.，r线性无关，故它也是(III)的一个极大线性无关组，所有1，2，.r可由1，2，.，r线性表示，于是向量组(II)可由(I)线性表示。所以向量组(I)与(II)等价。26简答题设向量组1=(1,0,1)T,2=(0,1,1)T,3=(1,3,5)T不能由向量组1=(1,1,1)T,2=(1,2,3

20、)T,3=(3,4,a)T线性表示,求a的值,并将1，2，3用1，2，3线性表示参考解析：解4个3维向量1，2，3，i(i=1，2，3)一定线性相关若1，2，3线性无关，则i(i=1，2，3)可由1，2，3线性表示，这与题设矛盾，于是1，2，3线性相关，从而27简答题设n维向量组1，2，,k(kn)线性无关,且k+1=11+22+kk，i0,i=1,2，k,证明:1，2，,k，k+1中任何k个向量都线性无关参考解析：证法l(用定义)由已知条件，需证明从1，2，k，k+1中去掉一个后，剩下的k28简答题设A是3阶矩阵，i(i=1，2，3)是3维非零列向量，且Ai=ii(i=1，2，3)，=1+2

21、+3，证明：，A，A2线性无关参考解析：证由A1=1，A2=22，A3=33，且1，2，3是非零列向量，知1，2，3是不同特征值对应的特征向量，故1，2，3线性无关设29简答题设向量组1=(1,1,1,2)T,2=(3,a+4,2a+5,a+7)T,3=(4,6,8,10)T,4=(2,3,2a+3,5)T,=(0,1,3,6)T()求向量组1，2，3，4的秩及其一个极大线性无关组;()若a不能由1，2，3，4线性表示,求a,b的取值参考解析：解30简答题设向量组1，n为两两正交的非零向量组，证明：1，n线性无关，并举例说明逆命题不成立参考解析：31简答题设1，2，n，1，2，n线性无关，而向

22、量组1，2，m，线性相关证明：向量可由向量组1，2，n，1，2，n线性表示参考解析：32简答题(1)a，b为何值时，不能表示为1，2，3，4的线性组合?(2)a，b为何值时，可唯一表示为1，2，3，4的线性组合?参考解析：令第四节 线性方程组1单选题A.4个B.3个C.2个D.1个正确答案：A参考解析：2单选题AB=O，则必有()A.=-2且|B|=0B.=-2且|B|0C.=1且|B|=0D.=1且|B|0正确答案：C参考解析：由AB=0，知B的每一个列向量都是Ax=0的解3单选题要使1=(2，1，1)T，2=(1，-2，-1)T都是齐次线性方程组Ax=0的解，只要系数矩阵A为A.B.C.D

23、.正确答案：B参考解析：因为1，2线性无关，所以Ax=0至少有两个线性无关的解，故n-r(A)2，即r(A)3-2=1，因此排除(A)(C)对于(B)和(D)，因为2不是方程组(D)的解，因此排除(D)4单选题设向量组1，2，3为方程组AX=0的一个基础解系，下列向量组中也是方程组AX=0的基础解系的是()A.1+2，2+3，3-1B.1+2，2+3，1+22+3C.1+22，22+33，33+1D.1+2+3，21-32+23，31+52-53正确答案：C参考解析：根据齐次线性方程组解的结构，四个向量组皆为方程组AX=0的解向量组，容易验证四组中只有(C)组线性无关，所以选(C)5单选题设A

24、为mn阶矩阵，且r(A)=mn，则()A.A的任意m个列向量都线性无关B.A的任意m阶子式都不等于零C.非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多个解D.矩阵A通过初等行变换一定可以化为(Em|O)正确答案：C参考解析：【解】选(C)6填空题齐次线性方程组的基础解系是_参考解析：(0，2，1，0)T【解析】对系数矩阵作初等行变换，化为行最简，有7填空题参考解析：-5或-6【解析】齐次方程组Ax=0有无穷多解的充分必要条件是r(A)n(n是未知量的个数)现在是三个未知数三个方程的齐次方程组，故可以用系数行列式|A|=08填空题参考解析：【解】9简答题已知向量组1=(1，4，0，2)T，2=(2，7，1

25、，3)T，3=(0，1，-1，a)T,4=(3，10，b，4)T线性相关(1)求a，b的值(2)判断4能否由1，2，3线性表示，如能就写出表达式(3)求向量组1，2，3，4的一个极大线性无关组参考解析：(1)由(2)当b=2时10简答题已知A(1，1)，B(2，2)，C(a，1)为坐标平面上的点，其中a为参数问：是否存在经过点A，B，C的曲线y=k1x+k2x2+k3x3?如果存在，求出曲线方程参考解析：(1)(2)当a=1时，点A，C重点，此时(3)当a=0或a=2时 r(A)=2，r(A| b)=3方程组无解，此时不存在满足题中要求的曲线11简答题设方程组(1)当a为何值时方程组有解?并求

26、其通解(2)求方程组满足x1=x2的所有解参考解析：(1)对增广矩阵作初等行变换，有(2)12简答题解?当有无穷多解时，求其通解参考解析：解已知方程组的系数矩阵A为3阶方阵，可以通过行列式讨论参数，确定其解的情况13简答题设有方程组()求方程组的通解；()当a，b，c为何值时，方程组与同解参考解析：解()对的增广矩阵作初等行变换，14简答题设行阶矩阵A满足|A|=0，Aij为|A|的元素aij对应的代数余子式，且A110，求方程组A*x=0的基础解系和通解参考解析：由|A|=0，A110，得r(A)=n-1，故r(A*)=1，即A*x=0等价于方程A11x1+A21x2+.+An1xn=0 因

27、为A110，故方程有下列线性无关的解，a1=(-A21，A11，0，.，0)T，a2=(-A31，0，A11，0，.，0)T，.an-1=(-An1，0，.，0，A11)T解向量个数为n-r(A*)=n-1，故a1，a2，.，an-1是原方程组的基础解系，通解为k1a1+k2a2+.+kn-1an-1(k1，k2，.kn-1为任意常数)15简答题设A为34矩阵,r(A)=1,若向量组1=(1,2,0,2)T,2=(-1,-1,1,a)T,3=(1,-1,a,5)T,4=(2,a,-3,-5)T与方程组Ax=0的基础解系等价,求Ax=0的通解参考解析：解由1，2，3，4与Ax=0的基础解系等价，

28、知1，2，3，4必是Ax=0的解，又r(A)=1，知Ax=0有n-r(A)=41=3个线性无关的解向量，故r(1，2，3，4)=3，其极大线性无关组是Ax=0的基础解系对(1，2，3，4)作初等行变换，有16简答题设A是mn矩阵,b为m维列向量,证明:线性方程组ATAx=ATb必有解参考解析：证只要证明r(ATA)=r(ATA|ATb)17简答题参考解析：解A中有6个未知参数，不能用初等行变换求解，利用特征向量的定义A=(0)由已知，有18简答题()若A是正交矩阵，求a，b，c的值；()参考解析：解()A是正交矩阵，则A的列向量为两两正交的单位向量，故()当A为正交矩阵时，19简答题参考解析：

29、20简答题(1)若aiaj(ij)，求ATx=b的解；(2)若a1=a3=a0，a2-a4=-a，求ATX=b的通解参考解析：(1)21简答题求方程组AX=0的通解参考解析：(1)(2)当k=9时，r(B)=1，1r(A)2，第五节 特征值与特征向量1单选题下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是A.B.C.D.正确答案：D参考解析：(A)是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化(B)是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化知齐次方程组(OEA)x=0的基础解系有31=2个线性无关的解向量，即=0有两个线性无关的特征向量从而矩阵必可以相似对角化

30、(D)是上三角矩阵，主对角线上的元素2，-12就是矩阵的特征值，对于二重特征值=2单选题A.B.C.D.正确答案：B参考解析：3单选题设4阶实对称矩阵A的特征值为0，1，2，3，则r(A)=()A.1B.2C.3D.4正确答案：C参考解析：因实对称矩阵必相似于由特征值组成的对角矩阵，即diag(0，1，2，3)，且有相同的秩，即r(A)=r(diag(0，1，2，3)=34单选题A.a=-2，b=6B.a=2，b=-6C.a=2，b=6D.a=-2，b=-6正确答案：A参考解析：设a是矩阵A属于特征值的特征向量，按定义有5单选题设A是三阶矩阵，特征值是2，2，-51，2是A关于=2的线性无关的

31、特征向量，A.2，-1，3B.1+2，51，23C.1+2，1-2，3D.1+2，2+3，3正确答案：D参考解析：6单选题下列矩阵中，A和B相似的是A.B.C.D.正确答案：B参考解析：7单选题设三阶矩阵A的特征值为1=-1，2=0，3=1，则下列结论不正确的是()A.矩阵A不可逆B.矩阵A的迹为零C.特征值-1，1对应的特征向量正交D.方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量正确答案：C参考解析：由1=-1，2=0，3=1得|A|=0，则r(A)3，即A不可逆，(A)正确；又1+2+3=tr(A)=0，所以(B)正确；因为A的三个特征值都为单值，所以A的非零特征值的个数与矩阵A的秩相

32、等，即r(A)=2，从而AX=0的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C)不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，所以选(C)8单选题设n阶矩阵A与对角矩阵相似，则()A.A的n个特征值都是单值B.A是可逆矩阵C.A存在n个线性无关的特征向量D.A一定为n阶实对称矩阵正确答案：C参考解析：矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是其有n个线性无关的特征向量，A有n个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样A是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，C正确。9单选题设A，B为n阶可

33、逆矩阵，则()A.存在可逆矩阵P1，P2，使得P1-1AP1，P2-1BP2为对角矩阵B.存在正交矩阵Q1，Q2，使得Q1TAQ1，Q2TBQ2为对角矩阵C.存在可逆矩阵P，使得P-1(A+B)P为对角矩阵D.存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B正确答案：D参考解析：因为A，B都是可逆矩阵，所以A，B等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B，选(D)10单选题设A，B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P，使得AP=B，则()A.A，B合同B.A，B相似C.方程组AX=0与BX=0同解D.r(A)=r(B)正确答案：D参考解析：因为P可逆，所以r(A)=r(B)，选(D)11单选题A.B.C.D.正确答案：D参考解析：A的特征值为1，2，0，因为特征值都是单值，所以A可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项(D)中的矩阵的特征值与A的特征值相同且可以对角化，所以选(D)12填空题参考解析：【解析】13填空题设A是3阶方阵，为3维列向量，P=(，A，A2)为可逆矩阵，B=P