考研数学（一）第二部分线性代数章节练习（上）.docx

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1、考研数学（一）第二部分线性代数章节练习（上）（江南博哥）第一节 行列式第二节 矩阵第三节 向量第一节 行列式1单选题A.-28B.28C.14D.-14正确答案：A参考解析：故原式=-282单选题A.4B.-4C.1D.-1正确答案：B参考解析：3单选题A.0.B.1.C.abcd.D.a2b2c2d2.正确答案：A参考解析：用倍加性质化简行列式，把第1列的-1倍分别加至其他各列，然后把第2列的-2，-3倍分别加到第3列和第4列，有4单选题下列命题中，不正确的是A.如A是n阶矩阵，则(A+E)(A-E)=(A-E)(A+E).B.如A是n阶矩阵，且A2=A，则A+E必可逆.C.如A，B均为n1

2、矩阵，则ATB=BTA.D.如A，B均为卵阶矩阵，且AB=O，则(A+B)2=A2+B2.正确答案：D参考解析：(A)注意乘法有分配律，(A+E)(A-E)与(A-E)(A+E)均为A2-E，故(A)5单选题三阶矩阵A可逆，把矩阵A的第2行与第3行互换得到矩阵B，把矩阵B的第1列的-3倍加到第2列得到单位矩阵E，则A*=A.B.C.D.正确答案：B参考解析：6单选题设A，B为两个n阶矩阵，下列结论正确的是()A.|A+B|=|A|+|B|B.若|AB|=0，则A=O或B=OC.|A-B|=|A|-|B|D.|AB|=|A|B|正确答案：D参考解析：所以|AB|=0，(B)不对，选(D)7单选题

3、A.1B.-2C.3D.4正确答案：B参考解析：以行列式形式表示的多项式f(x)是一种特殊结构的函数形式，围绕f(x)所展开的问题有多种题型，如对多项式中特定项的选取f(x)的常数项，即f(0)，也即将行列式中x用0置换后行列式的值，具体可用降阶法计算，即8单选题D1，则()A.k，m均为奇数B.k，m均为偶数C.k为奇数，m为偶数D.k为偶数，m为奇数正确答案：A参考解析：9填空题参考解析：a+1或a-2【解析】10填空题参考解析：【解析】11填空题设A是mn矩阵，B是nm矩阵，当mn时，|AB|=_参考解析：0【解析】12填空题设A是3阶方阵，1，2，3线性无关，且A1=1+2，A2=2+

4、3，A3=3+1，则|A|=_参考解析：2【解析】解法 113填空题参考解析：-15【解析】行列式结构上没有特殊规律，消元就用展开公式，14填空题设A为三阶矩阵，A的第一行元素为1，2，3，|A|的第二行元素的代数余子式分别为a+1，a-2，a-1，则a=_参考解析：由(a+1)+2(a-2)+3(a-1)=0得a=115填空题参考解析：16填空题参考解析：17填空题参考解析：18填空题参考解析：16【解析】19填空题参考解析：4！【解析】根据行列式中一般项由不同行不同列元素构成的规则，T的4次以及4次以上幂次的项只与对角线元素相关，即a11a22a33a44=x2(x+1)(x-1)=x4-

5、x2，从而得f(4)(x)=4!20简答题参考解析：Dn的各列元素之和相等，用行加法21简答题参考解析：Dn为三对角行列式，用递推法，将Dn按第1行展开22简答题参考解析：23简答题计算n阶行列式参考解析：方法一 将其余各列加至第一列，提取公因子之后再将第i列减去第一列的ai(i=2，n)倍，从而化为三角形行列式定值，有24简答题参考解析：25简答题设A是n阶矩阵，满足AAT=E(E是n阶单位矩阵，AT是A的转置矩阵)，且|A|n，下列命题正确的是()A.A的行向量组一定线性无关B.非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多组解C.ATA一定可逆D.ATA可逆的充分必要条件是r(A)=n正确答案：D

6、参考解析：若ATA可逆，则r(ATA)=n，因为r(ATA)=r(A)，所以r(A)=n，反之，若r(A)=n，因为r(ATA)=r(A)，所以ATA可逆，D正确。13单选题设A是n阶矩阵，则下列说法错误的是()A.对任意的n维列向量，有A=O，则A=OB.对任意的n维列向量，有TA=O，则A=OC.对任意的n阶矩阵B，有AB=O，则A=OD.对任意的n阶矩阵B，有BTAB=O，则A=O正确答案：B参考解析：当A是反对称矩阵且A不等于0，即AT=-A0时，则对任意的n维列向量，因TA是数，故有TA=(TA)T=TAT=-TA，得2TA=0，即TA=0，但是A0，选B。14单选题设A，B均为n阶

7、矩阵，且AB=A+B，则下列命题中：若A可逆，则B可逆；若A+B可逆，则B可逆；若B可逆，则A+B可逆；A-E恒可逆正确的个数为()A.1B.2C.3D.4正确答案：D参考解析：由(A-E)B=A，可知当A可逆时，|A-E|B|0，故|B|0，因此B可逆，可知是正确的。当A+B可逆时，|AB|=|A|B|0，故|B|0，因此B可逆，可知是正确的，当B可逆时，A可逆，故|AB|=|A|B|0，因此AB可逆，故A+B也可逆，可知是正确的，最后由AB=A+B可知(A-B)B-A=0，也即(A-E)B-(A-E)=E，进一步有(A-E)(B-E)=E，故A-E恒可逆，可知也是正确的。所以选D15单选题

8、A.|A|D|B.-|B|C|C.1D.0正确答案：D参考解析：16单选题a=()A.B.7C.D.13正确答案：C参考解析：17单选题已知r(A)=r1，且方程组Ax=有解，r(B)=r2，且y=无解，设A=1，2，n，B=1，2，n，且r(1，2，n，1，2，n，)=r，则()A.r=r1+r2B.rr1+r2C.r=r1+r2+1D.rr1+r2+1正确答案：D参考解析：由题设有r(1，2，n，)=r1，r(1，2，n，)=r2+1，故r(1，2，n，1，2，n，)r1+r2+1。18单选题A.1，3，3TB.-1，3，3TC.-1，-3，3TD.-1，3，-3T正确答案：A参考解析：1

9、9填空题参考解析：2【解析】利用初等行变换化A为阶梯形，故r(A)=220填空题若An=E，n为正整数，则(A*)n=_参考解析：E【解析】由An=E，知|A|n=141简答题设n阶矩阵A和B满足条件AB=A+B.(1)证明A-E可逆.(2)求秩r(AB-BA+2E).(3)参考解析：(1)由AB=A+B有AB-B-A+E=E，即(A-E)B-(A-E)=E，从而(A-E)(B-E)=E故矩阵A-E可逆(2)因A-E可逆且(A-E)-1=B-E，有(A-E)(B-E)=(B-E)(A-E)，即有AB=BA，于是r(ABBA+2E)=r(2E)=n(3)由(1)知(B-E)-1=A-E，42简答

10、题的可逆矩阵P和Q使PAQ=B.参考解析：因|A|=0且r(A)=2，故|B|=0，即a=0且a=0时r(B)=243简答题已知A是n阶矩阵，证明A2=A的充分必要条件是，r(A)+r(A-E)=n.参考解析：44简答题参考解析：45简答题参考解析：46简答题设A为n阶矩阵，且Ak=O，求(E-A)-1参考解析：47简答题(1)求PQ；(2)证明：当P可逆时，Q也可逆参考解析：(1)(2)48简答题设A是mn阶矩阵，若ATA=0，证明：A=0参考解析：49简答题设A是正交矩阵，且|A|0证明：|E+A|=0参考解析：因为A是正交矩阵，所以ATA=E，两边取行列式得|A|2=1，因为A0，所以5

11、0简答题证明：r(AB)minr(A)，r(B)参考解析：51简答题设A，B，C，D为n阶矩阵，若ABCD=E，证明：(1)A，B，C，D均为可逆矩阵；(2)BCDA=CDAB=E参考解析：(1)首先依题设，ABCD=E，两边取行列式，有(2)52简答题参考解析：53简答题矩阵A参考解析：由方程54简答题设A是nn矩阵，对任何n维列向量x都有Ax=0，证明：A=O参考解析：方法一第三节 向量1单选题若1，2，3线性相关，2，3，4线性无关，则（）A.1可由2，3线性表示B.4可由1，2，3线性表示C.4可由1，3线性表示D.4可由1，2线性表示正确答案：A参考解析：对于A：由a2，a3，a4线

12、性无关，知a2，a3线性无关，而a1，a2，a3线性相关，故a1必能由a2，a3线性表示。对于B：若a4可由a1，a2，a3线性表示，而a1又能a2，a3线性表示，则a4就能由a2，a3线性表示，这与a2，a3，a4线性无关矛盾，故a4不能由a1，a2，a3线性表示，所以B不正确。同样C，D也是错误的。2单选题设向量组()1，2，t，()1，2，s，则下列命题若向量组()可由()线性表示，且st，则必有()线性相关，若向量组()可由()线性表示，且ss.C.若向量组线性无关，则rs.D.若向量组线性相关，则rs.正确答案：A参考解析：因向量组可由线性表示，故关于(D)的反例请同学自己构造6单选

13、题如果向量组1，2，s的秩为r则下列命题中正确的是A.向量组中任意r-1个向量都线性无关B.向量组中任意r个向量都线性无关C.向量组中任意r-1个向量都线性相关D.向量组中任意r+1个向量都线性相关正确答案：D参考解析：7单选题若1，2，3线性相关2，3，4线性无关，则()A.1可由2，3线性表示B.4可由1，2，3线性表示C.4可由1，3线性表示D.4可由1，2线性表示正确答案：A参考解析：因为2，3，4线性无关，所以2，3线性无关，又因为1，2，3线性相关，所以1可由2，3线性表示，选(A)8单选题设向量组()：1，2，s的秩为r1，向量组()：1，2，s的秩为r2。且向量组()可由向量组

14、()线性表示，则()A.1+1，2+2，s+s的秩为r1+r2B.向量组1-1，2-2，。s-s的秩为r1-r2C.向量组1，2，s，1，2，s的秩为r1+r2D.向量组1，2，s，1，2，s的秩为r1正确答案：D参考解析：因为向量组1，2，s可由向量组1，2，s线性表示，所以向量组1，2，s与向量组1，2，s，1，2，s等价，所以选(D)9单选题向量组1，2，s线性无关的充要条件是()A.1，2，s都不是零向量B.1，2，s中任意两个向量不成比例C.1，2，s中任一向量都不可由其余向量线性表示D.1，2，s中有一个部分向量组线性无关正确答案：C参考解析：若向量组1，2，s线性无关，则其中任一

15、向量都不可由其余向量线性表示反之，若1，2，s中任一向量都不可由其余向量线性表示，则1，2，s一定线性无关，因为若1，2，s线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表示，故选(C)10单选题设为n阶矩阵，且|A|=0，则A()A.必有一列元素全为零B.必有两行元素对应成比例C.必有一列是其余列向量的线性组合D.任一列都是其余列向量的线性组合正确答案：C参考解析：因为|A|=0，所以r(A)n)，且AB=E证明：B的列向量组线性无关参考解析：20简答题参考解析：21简答题设，是n维非零列向量，A=T+T证明：r(A)2参考解析：22简答题设A为n阶矩阵且r(A)=n-1证明：存在常数k，使

16、得(A*)2=kA*参考解析：23简答题设1，2，n为行个行维列向量，证明：1，2，n线性无关的充分必要条件是参考解析：24简答题已知1=1，2，-3，1T，2=5，-5，a，11T，3=1，-3，6，3T，4=2，-1，3，aT问：(1)当a为何值时，向量组1，2，3，4线性相关；(2)当a为何值时，向量组1，2，3，4线性无关；(3)当a为何值时，4能由1，2，3线性表出，并写出它的表出式参考解析：25简答题已知1=1+，1，1T，2=1，1+，1T，3=1，1，1+T，=0，2T问取何值时，(1)可由1，2，3线性表出，且表达式唯一；(2)可由1，2，3线性表出，但表达式不唯一；(3)不

17、能由1，2，3线性表出参考解析：26简答题已知1，2，s线性无关，可由1，2，s线性表出，且表达式的系数全不为零证明：1，2，s，中任意s个向量均线性无关参考解析：27简答题已知列向量组1，2，3，4是线性方程组Ax=0的一个基础解系，若=1+t2，2=2+t3，3=3+t4，4=4+t1，讨论t满足什么条件1，2，3，4也是方程组Ax=0的一个基础解系参考解析：方法一利用向量组的转换矩阵讨论由28简答题设A是nm矩阵，B是mn矩阵，E是n阶单位矩阵若AB=E，证明：B的列向量组线性无关参考解析：方法一证 B的列向量组线性无关，即证B列满秩，即r(B)=n29简答题设3阶矩阵A=1，2，3，已知A2=1，2，-31+2-23，记A100=1，2，3，将1，2，3写成1，2，3的线性组合参考解析：因为30简答题设向量组1=1，1，1，2T，2=3，a+4，2a+5，a+7T，3= 4，6，8，10T，4= 2，3，2a+3，5T，=0，1，3，bT求：(1)向量组1，2，3，4的秩及一个极大线性无关组；(2)a，b满足何种条件时，不能由1，2，3，4线性表示；(3)a，b满足何种条件时，任意的4维非零列向量均可由1，2，3，4，线性表示参考解析：(1)(2)(3)