2023届广东省惠州市高三第二次调研数学考试试题含答案.pdf

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1、数学试题 第 1 页，共 6 页 惠州市惠州市 2023 届高三第二次调研考试试题届高三第二次调研考试试题 数数 学学 全卷满分 150 分，时间 120 分钟 2022.10 注意事项：注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3 非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分小

2、题，每小题满分 5 分，共分，共 40 分。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得 5 分，选错得分，选错得 0 分。分。1已知集合 51Mxx，集合Nx yx，则MN（）A|6x x B 04xx C 06xx D 06xx 2设Ra，若复数i1 ia（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点位于实轴上，则a（）A0 B1 C1 D2 3从2,4,6,8中任取 2 个不同的数分别记为xy、，则4xy的概率是（）A12 B13 C14 D16 4已知|2a，向量b在a上的投影向量为2a，则a b=（）A4 B8 C8 D4

3、5攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑如图所示的带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为9，侧面展开图是圆心角为23的扇形，则该屋顶的体积约为（）A12 2 B16 C18 D18 2 数学试题 第 2 页，共 6 页 6记函数()sin(0)4f xxb的最小正周期为T若23T，且()yf x的图象关于点3,22中心对称，则2f（）A1 B32 C52 D3 7已知函数 yf x是定义域为R的奇函数，且当0 x时，1af xxx 若函数 yf x在1,上的最小值为 3，则实数a的值为（）A1 B2 C3 D4 8祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出

4、的一个求积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等由曲线24xy，24xy，4x，4x围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为1V，满足2216xy，2224xy，2224xy的点,x y组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为2V，则12VV、满足的关系式为（）A1212VV B122VV C12VV D12VV 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 20 分

5、。在每小题给出的四个选项分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得中，有多项符合题目要求。全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。9已知数列 na中，11a，12nnna a，Nn，则下列说法正确的是（）A22a B434aa C2na是等比数列 D12122nnnaa 数学试题 第 3 页，共 6 页 10设抛物线C：28yx的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，3,1E为定点，则下列结论正确的是（）A准线l的方程是2x BMEMF的最大值为 2 CMEMF的最小值为 7 D以线段MF为直径的圆与y轴相切 11下列说法正

6、确的是（）A数据1，2，4，5，6，7，8，9的第75百分位数为7 B若21,(2)0.2XNP X，则(01)0.3PX C已知0()1P M，0()1P N，若()()1P M NP M，则MN、相互独立 D 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到23.712，依据0.05的独立性检验0.053.841，可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05 12 对于函数 f x和函数 g x，设 10 xx f x|，20 xx g x|，若存在12,x x，使得121xx，则称函数 f x与函数 g x互为“零点相邻函数”现有函数 3e4xf xx 与函数 lng xxmx互为“零点相邻函

7、数”，则实数m的值可以是（）Aln55 Bln33 Cln22 D12 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，其中分，其中 16 题第一空题第一空 3 分，第二空分，第二空 2 分。分。1361(2)xx的展开式中，x的系数为_（用数字作答）14过点(2,2)P作圆224xy的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为_ 15已知函数 241ln11xxaxf xxx，若函数()2yf x有3个零点，则实数a的取值范围是_ 数学试题 第 4 页，共 6 页 16 已知双曲线2222:10,0 xyCabab的右焦点为F，直线:2 2

8、l yxc与双曲线C交于A、B（A在B的上方）两点，若5AFBF，则双曲线C的离心率为_；已知点00(,)P x y是双曲线C右支上任意一点，过点P的直线0022:1x xy ylab分别与双曲线C的两条渐近线交于点M、N，若2OM ON，则双曲线C的标准方程为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分 10 分）已知数列 na中，11a，39a，1nnaa是公差为 2 的等差数列（1）求 na的通项公式；（2）设12lognnnaba，求数列 nb的前n项和nS

9、 18（本小题满分 12 分）如图，在底面ABCD是菱形的直四棱柱1111ABCDABC D中，3DAB，2AB，12 3AA，E、F、G、H、N分别是棱1CC、11C D、1DD、CD、BC的中点，点P在四边形EFGH内部（包含边界）运动（1）现有如下三个条件：条件GEFHP；条件PFH；条件EPPF 请从上述三个条件中选择一个条件，能使/PN面11BB D D成立，并写出证明过程；（注：多次选择分别证明，只按第一次选择计分）（2）求平面FGN与平面11ADD A夹角的余弦值 数学试题 第 5 页，共 6 页 19（本小题满分 12 分）设ABC的内角A BC、的对边分别为abc、，已知AB

10、C的面积为3 32，且coscos2BbCac（1）求B；（2）若2AMMC，求BM的最小值，并判断此时ABC的形状 20（本小题满分 12 分）“双减”政策实施以来，各地纷纷推行课后服务“5+2”模式，即学校每周周一至周五5 天都要面向所有学生提供课后服务，每天至少 2 小时惠州市某学校的课后服务有学业辅导、体育锻炼、实践能力培养三大类型供学生自由选择为了解该校学生上个月参加课后服务的情况，该校从全校学生中随机抽取了 100 人作为样本发现样本中未参加任何课后服务的有 14 人，样本中仅参加某一类课后服务的学生分布情况如下：每周参加活动天数 课后服务活动类型 1 天 24 天 5 天 合计

11、仅参加学业辅导（人）10 11 4 25 仅参加体育锻炼（人）5 12 1 18 仅参加实践能力培养（人）3 12 1 16（1）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率；（2）从全校学生中随机抽取 3 人，以频率估计概率，以X表示这 3 人中上个月仅参加学业辅导的人数，求X的分布列和数学期望；（3）若样本中上个月未参加任何课后服务的学生有014nn人在本月选择仅参加学业辅导，样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化现从全校学生中随机抽取 3 人，以频率估计概率，以X表示这 3 人中上个月仅参加学业辅导的人数，以Y表示这 3 人中本月仅参加学业辅导的

12、人数，试判断方差D X、D Y的大小关系（结论不要求证明）数学试题 第 6 页，共 6 页 21（本小题满分 12 分）已知椭圆2222:10 xyEabab的右焦点为2F，上顶点为H，坐标原点为O，26OHF，点31,2在椭圆E上（1）求椭圆E的方程；（2）设经过点2F且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A、B两点，又点2,0P，2,0Q，若直线AP、BQ与y轴的交点分别为M、N，记MPQ、NPQ的面积分别为MPQS、NPQS，求MPQNPQSS的值 22（本小题满分 12 分）已知函数 2ln22f xaxx（Ra）（1）讨论函数 f x的单调性；（2）若函数 f x在1x 处的切线方程为8

13、8yx，且当对于任意实数1,2 时，存在正实数12,x x，使得 1212xxf xf x，求12xx的最小正整数值 数学试题答案 第 1 页，共 14 页 惠州市惠州市 20232023 届高三第二次调研考试届高三第二次调研考试 数学试题参考答案与评分细则数学试题参考答案与评分细则 一、单项选择题：本题共单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 40 分分 1【解析】由51x 解得6x，6Mx x，又0Nx x，06MNxx，故选 C 2【解析】复数()(1)(1)(1)1(1)(1)22aiaiiaaiiii在复平面内对应的点位于实轴上，10a，即1a故选

14、 B【另解另解】复数对应点在实轴上，则()(1)a ii必须是平方差的形式，所以1a 3【解析】从2,4,6,8中任取 2 个不同的数，设样本空间为，则=4 3=12n，共 12 个样本点，取出 2 个数之差的绝对值为 4 的事件 2,6,4,8,6,2,8,4A有 4 个样本点，所求概率为 41123P A，故选 B 4【解析】b在a上的投影向量为2a baa，故22a baaa，则=2 4=8a b 【另解】【另解】本题由数形结合可知=2 4 cos=8a b，故选 C 5【解析】底面积29r，底面圆的半径3r，底面圆周长为236，扇形半径6923R，则圆锥的高22726 2hRr，则圆锥

15、的体积2136 218 23V，故选 D 6【解析】由223，解得23，又函数图象关于点3,22对称，3,24kkZ，且2b，12,63k kZ，且23，52，则5()sin224f xx，5sin21244f，故选 A 7【解析】当0 x时，0 x，则()1()1aafxxf xxxx ，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B C D A D D 数学试题答案 第 2 页，共 14 页 当1x时，()1af xxx，由选项知1a，则21a，由数形结合可知当xa时，函数取得最小值()21 3faa，解得4a，故选 D 8【解析】如图，两图形绕 y 轴旋转所得的旋转体夹在两个相距

16、为 8 的平行平面之间，用任意一个与 y 轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|y，所截面积21(44|)Sy，22222(4)4(2|)(44|)Syyy 12SS，由祖暅原理知，两个几何体的体积相等，即12VV 【注】本题作出图形后结合题意估算可得答案，但风险巨大 二、多二、多项选择题项选择题：本题共本题共 4 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 20 分分在每小题给出的四个选项中，有多项符合在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求题目要求全部选对得全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9【解析】12nnna

17、 a，即12nnnaa，则2342,2,4aaa，所以 A 正确；显然有4324aa，所以 B 不正确；亦有1 11232aa，所以 D 不正确；又1122nnnaa，相除得22nnaa，因此数列21na，2na分别是以 1，2 为首项，2 为公比的等比数列，故 C 正确；所以选 AC 10【解析】由题意得4p，则焦点2,0F，准线l的方程是22px，故 A 正确；223 21 02MEMFEF，当点M在线段EF的延长线上时等号成立，MEMF的最大值为2，故 B 错误；题号 9 10 11 12 全部正确选项 AC AD BC BC 数学试题答案 第 3 页，共 14 页 如图所示，过点M，E

18、分别作准线l的垂线，垂足分别为A，B，则5MEMFMEMAEB，当点M在线段EB上时等号成立，MEMF的最小值为 5，故 C 不正确；设点00,M x y，线段MF的中点为D，则0222DMFxx，以线段MF为直径的圆与y轴相切，D 正确，所以选 AD 11【解析】对于 A，8 75%6，所以第 75 百分位数为7 87.52，故A错误；对于 B，对称轴为1X，则(01)(12)30(2)0.5PXPXP X，故 B 正确；对于 C，由(|)()1P M NP M，可得(|)1()P M NP M，即()()P MNP MP N，()()P MNP MP N，故,M N相互独立，故 C 正确；

19、对于 D，因为3.7123.841，所以不能根据0.053.841作出判断，故 D 错误；故选：BC 12【解析】由题意，可得 1311e40 xf xx，222ln0g xxmx，易知13x，则231x，224x，则22lnxmx在224x有解，求导得：2221 lnxmx，令0m，解得2ex，可得下表：2x 2,e e e,4 m 0 m 极大值 则当2ex 时，m取得最大值为1e，当22x 时，ln22m，当24x 时，ln4ln242m，则m的取值范围为ln2 1,2e，也即ln4 1,4e；故选 BC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，

20、共 20 分分，其中，其中 16 题第一空题第一空 3 分，第二空分，第二空 2 分。分。13256；142xy 0；15(3,6)；162（3 分），2213yx（2 分）13【解析】62x展开式的通项公式为：616C2rrrrTx，61(2)xx展开式中含x项为：数学试题答案 第 4 页，共 14 页 5656 5666C2C219264256xxxxx，展开式中含2x项的系数为256 14【解析】数形结合可知切点分别为0,2A、2,0B，直线AB的截距式方程为122xy，即20 xy 15【解析】函数 241ln11xxaxf xxx，当1x时，方程ln12x 解得ex，函数有一个零点，

21、则当1x时，函数须有两个零点，即242xx a，在1x时有两个解设2()42g xxxa，数形结合可知，对称轴为2x，()g x在(,2)上单调递减，在(2,)上单调递增，(1)0g，且(2)0g，解得36a 16【解析】设直线:2 2l yxc的倾斜角为，则22sintan2 2cossincos1且cos0，可得1cos3设双曲线C的左焦点为1F，连接1AF、1BF，设BFm，则5AFm，根据双曲线的定义得152AFma，12BFma，分别在1AFF、1BFF中利用余弦定理得 2221112cosAFAFFFAFFF，2221112cosBFBFFFBFFF，结合222bca化简得2553

22、3mcmcbmama，可得2ca，故双曲线C的离心率为2cea 设双曲线的两条渐近线为1:blyxa，2:blyxa，故可设点11,M at bt、22,N atbt，将点M、N的坐标分别代入直线l的方程得00100211xytabxytab，两式相乘得22001 2221xyttab，点00,P x y是双曲线C上的点，可得2200221xyab，则1 21t t 22221 22OM ONabttab，又2ca，则21a，23b，双曲线C的方程为2213yx 数学试题答案 第 5 页，共 14 页 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明、证

23、明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本小题满分 10 分，其中第一小问 6 分，第二小问 4 分）【解析】（1）（法法 1）1nnaa是公差为 2 的等差数列，32212aaaa，即29212a，24a，1 分 则213aa，2 分 1312nnaan，即121nnaan，3 分 则213aa，325aa，437aa，121nnaan，4 分 当2n时，累加得211 3213 52112nnnaann ，2(2)nan n；5 分【注注：有累加的思想可得这有累加的思想可得这 1 分分】当1n时，11a 满足上式，2*()nan nN；6 分【注注：无验证不无验证不得这

24、得这 1 分分】（法法 2）1nnaa是公差为 2 的等差数列，32212aaaa，即29212a，24a，1 分 43322aaaa，416a，猜想：2*()nan nN2 分 下面用数学归纳法证明：当1n时，2111a，显然成立.3 分 假设当1,nkkkN时成立，即2kak.4 分 则当1kn时，112kkkkaaaa 5 分 得1122kkkaaa 22212kk 221kk 21k成立.6 分【注注：不是完全平方式不不是完全平方式不得这得这 1 分分】综上，2*()nan nN.数学试题答案 第 6 页，共 14 页（2）（法法 1）212221loglognnnnaban1 分 2

25、22 log1lognn222loglog1nn2 分 则2222222log 1 log 2 log 2 log 3loglog1nSnn3 分 所以22log1nSn.4 分（法法 2）212221loglognnnnaban1 分 则222222222123logloglog12nnSn2 分 2222222123log12nn3 分 所以22log1nSn.4 分 18（本小题满分 12 分，其中第一小问 5 分，第二小问 7 分）【解析】（1）选择条件GEFHP 连接11,CD BD PN，（如图）因为四边形11CDDC为矩形，则四边形EFGH为平行四边形，1 分 则P分别是1CD，

26、GE的中点，2 分 且N是BC中点，1/PNBD .3 分 PN 面11BDDB，1BD 面11BDDB4 分【注注：无无写全写全这这两个条件两个条件，不不得这得这 1 分分】/PN面11BDDB 5 分 （1）选条件PFH 连接,HN PN，（如图）F、H、N 分别是棱11C D、CD、CB的中点，1/FHDD.1 分 FH 面11BDDB，1DD 面11BDDB，2 分【注注：无无写全写全这这两个条件两个条件，不不得这得这 1 分分】/FH面11BDDB3 分 P P 数学试题答案 第 7 页，共 14 页 同理可证：/HN面11BDDB 【注：【注：完整证明出上述线面平行的其中一个可完整

27、证明出上述线面平行的其中一个可得得 3 分】分】又FH 面FHN，HN 面FHN，FHHNH，面/FHN面11BDDB.4 分 PN 面FHN，/PN平面11BDDB 5 分【注：【注：选条件选条件不能不能得出得出结论，故选条件结论，故选条件不得分不得分】（2）（法（法 1）ABCD为菱形，且3DAB，DNBC，则以D为原点，1,DA DN DD为x、y、z轴正方向建立如图 空间直角坐标系.1 分 0,0,0D，12,0,0A，10,0,2 3D，0,0,3G，0,3,0N，13,2 322F，130,3,3,322GNGF.2 分 设,mx y z为平面FGN的一个法向量，00GN mGF

28、m330133022yzxyz3 分【注注：写出方程组可写出方程组可得得 1 分分】不妨令3y，则3 3,1,1m .4 分 可取0,1,0n是平面11ADD A的一个法向量.5 分 129cos,2927 1 1 1m nm nmn 6 分 平面FGN与平面11ADD A夹角的余弦值为2929.7 分（法（法 2）ABCD为菱形，ACBD，设ACBDO，取11DB的中点为1O，则1OO 面ABCD 以O为原点，1,OB OC OO为x、y、z轴正方向建立如图 空间直角坐标系.1 分 ABD为等边三角形，sin33OAAB 0,3,0A，1,0,0D，10,3,2 3A，z y x 数学试题答

29、案 第 8 页，共 14 页 13,2 322F，1,0,3G，13,022N 13,3,1,0,2 322GFFN.2 分 设,mx y z为平面FGN的一个法向量，00GF mFN m1330222 30 xyzxz，.3 分【注注：写出方程组可写出方程组可得得 1 分分】不妨令 z=1，则2 3,4,1m.4 分 同理可得：3,1,0n 是平面11ADD A的一个法向量.5 分 2 334029cos,2912 16 13 1 0m nm nmn .6 分 平面FGN与平面11ADD A夹角的余弦值为2929.7 分 19（本小题满分 12 分，其中第一小问 6 分，第二小问 6 分）【

30、解析】（1）（法（法 1）由正弦定理sinsinsinabcABC，得(2sinsin)cossincosACBBC，1 分 即2sincoscossinsincosABBCBC，2sincossin()ABB C，2 分 AB C，sin()sinB CA，即2sincossinABA，3 分 A为三角形内角，故sin0A，1cos2B，4 分 0B，5 分【注注：无此步骤无此步骤，不不得得这这 1 分分】3B .6 分（法（法 2）由余弦定理222cos2acbBac，代入得222222(2)22acbabcacbacab 1 分 化简得32220aacaba c 2 分 0a，222ac

31、bac 3 分 所以2221cos222acbacBacac4 分 数学试题答案 第 9 页，共 14 页 0B，5 分【注注：无此步骤无此步骤，不不得得这这 1 分分】3B .6 分（2）（法一法一）由（1）得133 3sin242ABCSacBac，解得6ac，1 分 212333BMBAAMBABCBABABC，2 分 22222121441|42339993BMBABCBABA BCBCcaac 1423acac1623，3 分 当且仅当2ca，|BM取得最小值 2，此时3,2 3ac，4 分 ABC中，由余弦定理2222cosbacacB，得222cos3bacacB5 分 222a

32、bc，ABC是直角三角形.6 分 （法法二二）由（1）得133 3sin242ABCSacBac，解得6ac，1 分 2AMMC，23AMb，13MCb BMCBMA，coscos0BMCBMA 结合余弦定理可得2222222()()33022233bbBMaBMcbbBMBM2 分 化简得2222212339BMacb ABC中，由余弦定理2222cosbacacB，得222bacac BM2241421422993333acac3 分 当且仅当233ac时取等号，即|BM取得最小值 2，又6ac，所以3,2 3ac，4 分 此时223bacac.5 分 222abc，ABC是直角三角形.6

33、 分 数学试题答案 第 10 页，共 14 页 20（本小题满分 12 分，其中第一小问 3 分，第二小问 6 分，第三小问 3 分）【解析】（1）样本中仅参加某一类课后服务的学生共有25 18 1659（人）1 分 故样本中上个月至少参加了两类课后服务活动的学生共有100 59 1427（人）2 分 由此，可估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率270.27100P 3 分（2）（法一法一）从全校学生中随机抽取 1 人，上个月仅参加学业辅导的概率为2511004，1 分 X 的可能取值为 0，1，2，3，2 分 03033127(0)C()()4464P X，12133127(1)

34、C()()4464P X 2123319(2)C()()4464P X，3033311(3)C()()4464P X 4 分【注：【注：求出四个概率共求出四个概率共 2 分，分，任意一个正确可给任意一个正确可给 1 分分，全部正确才给，全部正确才给 2 分分】X 的分布列为：X 0 1 2 3 P 2764 2764 964 164 5 分 所以 X 的数学期望2727913()0123646464644E X 6 分（法法二二）从全校学生中随机抽取 1 人，上个月仅参加学业辅导的概率为2511004，1 分 由题意可知随机变量 X 服从二项分布，故13,4XB，3 分 X 的分布列为3331

35、()(0,1,2,3)44kkkP XkCk 5 分【注注：表达式表达式 1 分分，范围范围 1 分分】X 的数学期望13()344E Xnp 6 分（3）由题意可知139()(1)34416D Xnpp.1 分 随机变量 Y 服从二项分布，即253,100nYB 故25 75()3(1)3100100nnD Ypp 014,nnN，2 分()()D YD X 3 分 数学试题答案 第 11 页，共 14 页 21（本小题满分 12 分，其中第一小问 4 分，第二小问 8 分）【解析】（1）由230OHF，得3bc（c为半焦距），1 分 点31,2在椭圆 E 上，则221914ab2 分 又2

36、22abc，解得2a，3b，1c3 分 椭圆 E 的方程为22143xy4 分（2）（法法一一）由（1）知)0,1(2F，当直线l的斜率存在时，设直线l：)1(xky，1 分 由134)1(22yxxky消去y，得01248)34(2222kxkxk2 分 显然0，设11,A x y，22,B x y 则34124,34822212221kkxxkkxx 3 分 则4)(2534)34(482534124212222221xxkkkkkxx 4 分 由2,0P，得直线AP为11112(2)(0,)22yyyxMxx 5 分 同理可得直线BQ为22222(2)(0,)22yyyxNxx 1212

37、121 2121221211 21222(2)(1)(2)2222(2)(1)(2)22OMyxy xxxx xxxONxyy xxxx xxx 121212121212513()422212225393()4226222xxxxxxxxxxxx 6 分 312121ONOMONPQOMPQSSNPQMPQ7 分 当直线l的斜率不存在时，(0,1)M，(0,3)N，31ONOMSSNPQMPQ8 分 数学试题答案 第 12 页，共 14 页 综上所述，31NPQMPQSS （法法二二）由（1）知21,0F设直线:1l xmy，1 分 由221143xmyxy消去x，整理得2234690mymy

38、 2 分 显然214410m，设11,A x y，22,B x y 则122634myym，122934y ym3 分 121232my yyy4 分 直线AP的斜率1112ykx，直线BQ的斜率2222ykx5 分 121211212121212221233y xy mykmy yykxymyymy yy 1211212212313122233933222yyyyyyyyyy6 分 又1OMkOP，2ONkOQ，2OPOQ，12OMkONk 7 分 121212MPQNPQPQ OMSOMkSONkPQ ON 138 分（法法三三）由（1）知21,0F设直线:1l xmy，1 分 由2211

39、43xmyxy消去x，整理得2234690mymy 2 分 显然214410m，设11,A x y，22,B x y 则122634myym，122934y ym 3 分 121232my yyy 4 分 数学试题答案 第 13 页，共 14 页 由2,0P，得直线AP为11112(2)(0,)22yyyxMxx 5 分 同理可得直线BQ为22222(2)(0,)22yyyxNxx 6 分 1212122122(2)|22(2)OMyxy xONxyy x1212112122133y mymy yymyymy yy 1211212212313122233933222yyyyyyyyyy7 分

40、1212MPQNPQPQ OMSOMSONPQ ON138 分 22（本小题满分 12 分，其中第一小问 5 分，第二小问 7 分）【解析】（1）函数 f x的定义域为(0,)，且 244axafxxxx.1 分 当0a时，0fx恒成立，则函数 f x在(0,)上单调递增；2 分 当0a时，令 0fx，解得2ax，由 0fx，解得02ax；由 0fx，解得2ax，3 分 则函数 f x单调递减区间为0,2a，单调递增区间为,2a.4 分 综上，当0a时，函数 f x在0,上单调递增；当0a时，函数 f x在0,2a上单调递减，在,2a上单调递增.5 分（2）由（1）知 148fa，解得4a.1

41、 分 24ln22f xxx 对于任意实数1,2 时，存在正实数12,x x，使得 1212xxf xf x，221 212124ln24x xxxxx 即212121 21 22444lnxxxxx xx x，2 分 数学试题答案 第 14 页，共 14 页 设120 x xt，构造函数 44lnh ttt，则44(1)()4th ttt，3 分 当(0,1)t时，()0,()h th t单调递减；当(1,)t时，0h t，h t单调递增，故()(1)4h th，4 分 则21212min24()4xxxxh t，故2121228xxxx.设函数21212()8 20gxxxx，5 分 120 xx，可知函数 g在1,2上单调递减，故21212()(2)28 20ggxxxx，6 分 解得121172xx或121172xx(舍去)，故12xx的最小正整数值为 3.7 分