2023年高考数学压轴大题专题2 直线与圆锥曲线的位置关系含解析.pdf

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1、2023年高考数学压轴大题专题2 直线与圆锥曲线的位置关系2023年高考数学压轴大题专题2 直线与圆锥曲线的位置关系一、考情分析一、考情分析直线与圆锥曲线的位置关系的常见题型,一是根据直线与圆锥曲线有两个交点,研究长度、面积、定点、定值等问题,二是判断直线与圆锥曲线的公共点个数,三是直线与圆锥曲线相切问题,其中第一类问题是高考考查频率最高的问题.二、解题秘籍二、解题秘籍(一)根据直线与圆锥曲线有两个交点研究圆锥曲线的性质1.把直线l：y=kx+m与椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0联立,当0时直线l与椭圆C有2个交点；2.直线l：y=kx+m与双曲线C：x2a2-y2b2=1 a0,b0联

2、立得 b2-a2k2x2-2a2mkx+a2m2-a2b2=0,当b2-k2a200 时直线l与双曲线C有2个交点；当x1x20 x1+x20 x1x20时直线l与双曲线C的右支有2个交点；3.直线l：y=kx+m与抛物线C：y2=2px p0联立,得k2x2+2km-2px+m2=0,当k00 时直线l与抛物线C有2个交点.【例1】【例1】(2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考)(2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,上顶点为D,斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,M为线段AB的中点,当点M的坐标为(2,1

3、)时,直线l恰好经过D点.(1)求椭圆C的方程：(2)当l不过点D时,若直线DM与直线l的斜率互为相反数,求k的取值范围.【例【例2 2】(20232023届广东省部分学校高三上学期联考届广东省部分学校高三上学期联考)设直线x=m与双曲线C：x2-y23=m(m0)的两条渐近线分别交于A,B两点,且三角形OAB的面积为3.(1)求m的值；(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0,l与C交于两个不同的点M,N,M关于x轴的对称点为M,F为C的右焦点,若M,F,N三点共线,证明：直线l经过x轴上的一个定点.【例【例3 3】(20232023届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测届福建省漳州市高

4、三上学期第一次教学质量检测)已知抛物线C：y2=4x,直线l过点P 0,1.(1)若l与C有且只有一个公共点,求直线l的方程；(2)若l与C交于A,B两点,点Q在线段AB上,且APPB=AQQB,求点Q的轨迹方程.(二)根据直线与圆锥曲线有一个公共点研究圆锥曲线的性质1.直线与椭圆有一个公共点,则直线与椭圆相切,可把直线方程与椭圆方程联立,整理成关于x或y的一元二次方程,由=0求解；2.直线l：y=kx+m与双曲线C：x2a2-y2b2=1 a0,b0联立得 b2-a2k2x2-2a2mkx+a2m2-a2b2=0,当b2-k2a20=0 或b2-a2k2=0km0 时直线l与双曲线C有1个交

5、点,即直线与双曲线相切或与渐近线平行时与双曲线有1个公共点；3.当直线l：y=kx+m与抛物线C：y2=2px p0联立,得k2x2+2km-2px+m2=0,当k0=0 或k=0 时直线l与抛物线C有1个交点,即直线与抛物线相切或与抛物线准线垂直时直线与抛物线有1个公共点.【例【例4 4】(20232023届湖北省荆荆宜三校高三上学期届湖北省荆荆宜三校高三上学期9 9月联考月联考)设椭圆：x2a2+y2b2=1 ab0,F1,F2是椭圆的左、右焦点,点A 1,32在椭圆上,点P 4,0在椭圆外,且 PF2=4-3(1)求椭圆的方程；(2)若B 1,-32,点C为椭圆上横坐标大于1的一点,过点

6、C的直线l与椭圆有且仅有一个交点,并与直线PA,PB交于M,N两点,O为坐标原点,记OMN,PMN的面积分别为S1,S2,求S21-S1S2+S22的最小值【例【例5 5】已知双曲线C：x2a2-y2b2=1 a0,b0的焦距为4,且过点-3,2 6.(1)求双曲线方程；(2)若直线l:y=kx+2与双曲线C有且只有一个公共点,求实数k的值.【例【例6 6】已知顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线过点P 2,1(1)求抛物线的标准方程；(2)过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点,求直线l的方程；(3)过点Q 1,1作直线交抛物线于A、B两点,使得Q恰好平分线段AB,求直线AB的方程(三)判断直

7、线与圆锥曲线公共点个数判断直线l：Ax+By+C=0与圆锥曲线C：F(x,y)=0公共点个数时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x,y)=0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程消去y后得ax2+bx+c=0.(1)当 a 0 时,设一元二次方程 ax2+bx+c=0 的判别式为,则 0 直线与圆锥曲线 C 有2 个公共点；=0直线与圆锥曲线C有1个公共点；b 0)的左、右焦点,点F1,F2在直线l:y=kx+m的同侧,且点F1,F2到直线l的距离分别为d1,d2(1)若椭圆C的方程为x212+y23=1,直线l的方程为

8、y=x-15,求d1d2的值,并判断直线与椭圆C的公共点的个数；(2)若直线l与椭圆C有两个公共点,试求d1d2所需要满足的条件；【例【例8 8】如图,F是抛物线y2=2px p0的焦点,Q是准线与x轴的交点,斜率为k的直线l经过点Q(1)当k取不同数值时,求直线l与抛物线公共点的个数；(2)若直线l与抛物线相交于A、B两点,求证：kFA+kFB是定值(3)在x轴上是否存在这样的定点M,对任意的过点Q的直线l与抛物线相交于A、B两点,均能使得kMAkMB为定值,若有,找出满足条件的点M;若没有,请说明理由三、三、跟踪检测跟踪检测1.已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的左

9、、右焦点,点F1,F2在直线l:y=kx+m的同侧,且点F1,F2到直线l的距离分别为d1,d2.(1)若椭圆C的方程为x212+y23=1,直线l的方程为y=x-15,求d1d2的值,并判断直线l与椭圆C的公共点的个数；(2)若直线l与椭圆C有两个公共点,试求d1d2所需要满足的条件；(3)结合(1)和(2),试写出一个能判断直线l与椭圆C有公共点的充要条件(不需要证明).2.已知抛物线的方程为y2=4x,直线l绕点P(-2,1)旋转,讨论直线l与抛物线y2=4x的公共点个数,并回答下列问题：(1)画出图形表示直线l与抛物线的各种位置关系,从图中你发现直线l与抛物线只有一个公共点时是什么情况

10、？(2)y2=4x与直线l的方程组成的方程组解的个数与公共点的个数是什么关系？3.(20232023届四川、云南部分学校高三上学期届四川、云南部分学校高三上学期 9 9月联考月联考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,其左右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆上任意一点,且满足 PF1+PF2=2 3.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆外一点M作椭圆的两条切线MA,MB,满足MAMB,求动点M的轨迹方程.4.(20232023届甘肃省金昌市永昌县高三上学期模拟届甘肃省金昌市永昌县高三上学期模拟)已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点分别为F1,F2,P是E

11、上一动点,PF1F2的最大面积为3,F1F2=2 3.(1)求E的方程；(2)若直线x-y-1=0与E交于A,B两点,C,D为E上两点,且CDAB,求四边形ACBD面积的最大值.5.设A,B为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左右顶点,直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M,N两点,当直线l垂直于x轴时,AMN为等腰直角三角形.(1)求双曲线C的离心率；(2)已知AB=4,若直线AM,AN分别交直线x=a2于P,Q两点,当直线l的倾斜角变化时,以PQ为直径的圆是否过定点,若过定点求出定点的坐标；若不过定点,请说明理由.6.(20232023 届安徽省部分校高三上学期开学摸底届安

12、徽省部分校高三上学期开学摸底)已知 O 为坐标原点,椭圆 C:x216+y212=1 过点 M,N,P,记线段MN的中点为Q(1)若直线MN的斜率为 3,求直线OQ的斜率;(2)若四边形OMPN为平行四边形,求|MN|的取值范围7.(20232023届浙江省届浙江省A A9 9协作体高三上学期联考协作体高三上学期联考)已知直线l:y=kx+1与双曲线C:x24-y2=1交于M、N两个不同的点.(1)求k的取值范围；(2)若A为双曲线C的左顶点,点M在双曲线C的左支上,点N在双曲线C的右支上,且直线MA、NA分别与y轴交于P、Q两点,当 PQ=1时,求k的值.8.(20232023届河南省驻马店

13、市上蔡县高三上学期月考届河南省驻马店市上蔡县高三上学期月考)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为2 2,且经过点32,12.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P 0,2的直线交椭圆C于A、B两点,求AOB(O为原点)面积的最大值.9.给定椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0,称圆心在原点O、半径是a2+b2的圆为椭圆C的“准圆”已知椭圆C的一个焦点为F2,0,其短轴的一个端点到点F的距离为3(1)求椭圆C及其“准圆”的方程；(2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点,B,D是椭圆C上的相异两点,且BDx轴,求AB AD 的取值范围；(3)在椭圆C的“准圆”上任取一点P s

14、,t,过点P作两条直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个公共点,且l1,l2分别与椭圆的“准圆”交于M,N两点证明：直线MN过原点O10.设双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别是F1,F2,渐近线分别为l1,l2,过F2作渐近线的垂线,垂足为P,且OPF1的面积为b24(1)求双曲线C的离心率；(2)动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且OAB的面积恒为8,是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线C,若存在,求出双曲线C的方程；若不存在,说明理由11.如图,O 为坐标原点,双曲线 C1:x2a12-y2b12=1(a1

15、0,b1 0)和椭圆 C2:y2a22+x2b22=1(a2 b2 0)均过点P2 33,1,且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形(1)求C1,C2的方程；(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且|OA+OB|=|AB|？证明你的结论12.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1 a0,b0的渐近线方程为y=3x,且双曲线C过点-2,3.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l:y=kx+3与双曲线C只有一个公共点,求实数k的值.13.(20222022 届上海市上海师范大学附属中学高三下学期届上海市上海师范大学附属中学高三下学期 3

16、3 月月考月月考)已知 O 为坐标原点,双曲线 C1:y2a21-x2b21=1 a10,b10和椭圆C2:x2a22+y2b22=1 a2b20均过点T 1,2 33且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形(1)求C1,C2的方程；(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且|OA+OB|=|AB|？证明你的结论；(3)椭圆C2的右顶点为Q,过椭圆C2右焦点的直线l1与C2交于M、N两点,M关于x轴的对称点为S,直线SN与x轴交于点P,MOQ,MPQ的面积分别为S1,S2,问S1S2是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由14.

17、曲线:x2a2+y2b2=1 ab0的右焦点分别为F1-1,0,F21,0,短袖长为2 3,点P-3,y0在曲线上,Q直线l:x=-4上,且PF1QF1.(1)求曲线的标准方程；(2)试通过计算判断直线PQ与曲线公共点的个数.(3)若点A x1,y1,B x2,y2在都在以线段F1F2为直径的圆上,且OA OB=x1+x2,试求x2的取值范围.15.已知直线l1:mx+y-2m-2=0,l2:x-my+2m-2=0,l1与y轴交于A点,l2与x轴交于B点,l1与l2交于D点,圆C是ABD的外接圆(1)判断ABD的形状并求圆C面积的最小值；(2)若D,E是抛物线x2=2py与圆C的公共点,问：在

18、抛物线上是否存在点P是使得PDE是等腰三角形？若存在,求点P的个数；若不存在,请说明理由专题专题2 2 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系一、一、考情分析考情分析直线与圆锥曲线的位置关系的常见题型,一是根据直线与圆锥曲线有两个交点,研究长度、面积、定点、定值等问题,二是判断直线与圆锥曲线的公共点个数,三是直线与圆锥曲线相切问题,其中第一类问题是高考考查频率最高的问题.二、二、解题秘籍解题秘籍(一)根据直线与圆锥曲线有两个交点研究圆锥曲线的性质1.把直线l：y=kx+m与椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0联立,当0时直线l与椭圆C有2个交点；2.直线l：y=kx+m与双曲线C：

19、x2a2-y2b2=1 a0,b0联立得 b2-a2k2x2-2a2mkx+a2m2-a2b2=0,当b2-k2a200 时直线l与双曲线C有2个交点；当x1x20 x1+x20 x1x20时直线l与双曲线C的右支有2个交点；3.直线l：y=kx+m与抛物线C：y2=2px p0联立,得k2x2+2km-2px+m2=0,当k00 时直线l与抛物线C有2个交点.【例【例1 1】(20232023届重庆市南开中学校高三上学期届重庆市南开中学校高三上学期9 9月月考月月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,上顶点为D,斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,M为线段

20、AB的中点,当点M的坐标为(2,1)时,直线l恰好经过D点.(1)求椭圆C的方程：(2)当l不过点D时,若直线DM与直线l的斜率互为相反数,求k的取值范围.【解析】(1)由题意知,离心率e=22,所以a=2b=2c,设A x1,y1,B x2,y2,x21a2+y21b2=1x22a2+y22b2=1两式相减得kkOM=-b2a2=-12,所以k=-1；所以直线为y-1=-(x-2),即y=-x+3,所以b=c=3,椭圆方程为x218+y29=1；(2)设直线为y=kx+m,由y=kx+mx2+2y2=18 得 1+2k2x2+4kmx+2m2-18=0,则xM=x1+x22=-2km1+2k

21、2,yM=m1+2k2,=16k2m2-4 1+2k22m2-18=8 18k2-m2+90,所以kDM=yM-3xM-0=6k2+3-m2km=-k,解得m=6k2+31-2k2,1-2k20,k22因为l不过D点,则6k2+31-2k23,即k0则18k2+9-6k2+321-2k220,化简得4k4-4k2-30,解得 2k2-32k2+10,k232,所以k62或k0)的两条渐近线分别交于A,B两点,且三角形OAB的面积为3.(1)求m的值；(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0,l与C交于两个不同的点M,N,M关于x轴的对称点为M,F为C的右焦点,若M,F,N三点共线,证明：直线l

22、经过x轴上的一个定点.【解析】(1)双曲线C：x2-y23=m(m0)的渐近线方程为y=3x,不妨设A m,3m,B m,-3m因为三角形OAB的面积为3,所以12ABm=3m2,所以3m2=3,又m0,所以m=1.(2)双曲线C的方程为C：x2-y23=1,所以右焦点F的坐标为 2,0,若直线l与x轴交于点 p,0,故可设直线l的方程为y=k x-pk0,设M x1,y1,N x2,y2,则Mx1,-y1,联立y=k x-px2-y23=1,得 3-k2x2+2pk2x-k2p2+3=0,3-k20且=2pk22+4 3-k2k2p2+30,化简得k23且 p2-1k2+30,所以x1+x2

23、=-2pk23-k2,x1x2=-k2p2+33-k2,因为直线MN的斜率存在,所以直线MN的斜率也存在,因为M,F,N三点共线,所以kMF=kFN,即-y1x1-2=y2x2-2,即-y1x2-2=y2x1-2,所以-k x1-px2-2=k x2-px1-2,因为k0,所以 x1-px2-2+x2-px1-2=0,所以2x1x2-(p+2)x1+x2+4p=0,所以2-k2p2+33-k2-(p+2)-2pk23-k2+4p=0,化简得p=12,所以MN经过x轴上的定点12,0.【例【例3 3】(20232023届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测届福建省漳州市高三上学期第一次教学质

24、量检测)已知抛物线C：y2=4x,直线l过点P 0,1.(1)若l与C有且只有一个公共点,求直线l的方程；(2)若l与C交于A,B两点,点Q在线段AB上,且APPB=AQQB,求点Q的轨迹方程.【解析】(1)当直线l斜率不存在时,其方程为x=0,符合题意；当直线l斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+1,由y=kx+1y2=4x,得k2x2+(2k-4)x+1=0.当k=0时,直线y=1符合题意；当k0时,令=(2k-4)2-4k2=16-16k=0,解得k=1,直线l的方程为y=x+1,即x-y+1=0.综上,直线l的方程为x=0,或y=1,或x-y+1=0.(2)设Q x,y,A x1,y

25、1,B x2,y2,不妨令x10,k1,且k0,x1+x2=4-2kk2,x1x2=1k2.由APPB=AQQB,得x1x2=x-x1x2-x,x=2x1x2x1+x2=12-k,y=k2-k+1=22-k,y=2x.k1,且k0,0 x1,且x12,点Q的轨迹方程为y=2x(0 x0,b0联立得 b2-a2k2x2-2a2mkx+a2m2-a2b2=0,当b2-k2a20=0 或b2-a2k2=0km0 时直线l与双曲线C有1个交点,即直线与双曲线相切或与渐近线平行时与双曲线有1个公共点；3.当直线l：y=kx+m与抛物线C：y2=2px p0联立,得k2x2+2km-2px+m2=0,当k

26、0=0 或k=0 时直线l与抛物线C有1个交点,即直线与抛物线相切或与抛物线准线垂直时直线与抛物线有1个公共点.【例【例4 4】(20232023届湖北省荆荆宜三校高三上学期届湖北省荆荆宜三校高三上学期9 9月联考月联考)设椭圆：x2a2+y2b2=1 ab0,F1,F2是椭圆的左、右焦点,点A 1,32在椭圆上,点P 4,0在椭圆外,且 PF2=4-3(1)求椭圆的方程；(2)若B 1,-32,点C为椭圆上横坐标大于1的一点,过点C的直线l与椭圆有且仅有一个交点,并与直线PA,PB交于M,N两点,O为坐标原点,记OMN,PMN的面积分别为S1,S2,求S21-S1S2+S22的最小值【解析】

27、(1)因为点A 1,32在椭圆上,所以1a2+34b2=1,因为点P 4,0在椭圆外,且 PF2=4-3,所以c=3,即a2-b2=c2=3,由解得a2=4,b2=1,故椭圆的方程为x24+y2=1(2)设点M x1,y1,N x2,y2,设直线MN：x=my+t,由椭圆性质以及点C的横坐标大于1可知,t2,将直线MN代入方程x24+y2=1并化简可得,my+t2+4y2-4=0,即 m2+4y2+2mty+t2-4=0,因为直线l与椭圆有且仅有一个交点,所以=4m2t2-4 m2+4t2-4=0,即t2=m2+4直线AP的方程为：x=4-2 3y；直线BP的方程为lBP：x=4+2 3y,联

28、立方程x=my+t,x=4-2 3y,得y1=4-t2 3+m,同理得y2=t-42 3-m,所以y1-y2=4-t-4 3m2-12=4 3t+4,所以S1=12t y1-y2,S2=124-ty1-y2,所以S21-S1S2+S22=14t2y1-y22-t 4-t4y1-y22+14(4-t)2y1-y22=14y1-y22t2-4t+t2+16-8t+t2=1448t+423t2-12t+16=36-48 9t+8t2+8t+16,令9t+8=26,则S21-S1S2+S22=36-4881+282+5697,当且仅当=28,即t=209时,不等式取等号,故当t=209时,S21-S1

29、S2+S22取得最小值97【例【例5 5】已知双曲线C：x2a2-y2b2=1 a0,b0的焦距为4,且过点-3,2 6.(1)求双曲线方程；(2)若直线l:y=kx+2与双曲线C有且只有一个公共点,求实数k的值.【解析】(1)由题意可知双曲线的焦点为(-2,0)和(2,0),根据定义有2a=(-3+2)2+(2 6-0)2-(-3-2)2+(2 6-0)2=2a=1,又c2=a2+b2,所以a2=1,c2=4,b2=3所求双曲线C的方程为x2-y23=1(2)因为双曲线C的方程为x2-y23=1,所以渐近线方程为y=3x；由y=kx+2x2-y23=1,消去y整理得(3-k2)x2-4kx-

30、7=0当3-k2=0即k=3 时,此时直线l与双曲线的渐近线平行,此时直线与双曲线相交于一点,符合题意；当3-k20即k 3 时,由=-4k2+47 3-k2=0,解得k=7,此时直线l双曲线相切于一个公共点,符合题意 综上所述：符合题意的k的所有取值为 3,7【例【例6 6】已知顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线过点P 2,1(1)求抛物线的标准方程；(2)过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点,求直线l的方程；(3)过点Q 1,1作直线交抛物线于A、B两点,使得Q恰好平分线段AB,求直线AB的方程【解析】(1)因为顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线过点P 2,1,所以抛物线的焦点在y轴正半轴

31、,设其方程为x2=2py,将点P 2,1代入可得4=2p,所以p=2,所以抛物线的标准方程为x2=4y,(2)当直线斜率不存在时,过点 2,1的直线x=2与抛物线x2=4y有一个交点；当直线斜率存在时,设直线斜率为k,直线方程为y-1=k x-2由x2=4yy-1=k x-2 得x2-4kx+8k+4=0,直线与抛物线只有一个交点,所以=16k2-4 8k+4=0,解得k=1,所以直线方程为y=x-1综上,过点 2,1与抛物线x2=4y有且只有一个交点的直线方程为x=2和y=x-1；(3)设点A x1,y1,B x2,y2,直线AB斜率为k点A x1,y1,B x2,y2在抛物线上,所以x12

32、=4y1,x22=4y2所以x12-x22=4 y1-y2,即k=x1+x24=12,所以直线方程为x-2y+1=0经检验,直线x-2y+1=0符合题意.(三)判断直线与圆锥曲线公共点个数判断直线l：Ax+By+C=0与圆锥曲线C：F(x,y)=0公共点个数时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x,y)=0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程消去y后得ax2+bx+c=0.(1)当 a 0 时,设一元二次方程 ax2+bx+c=0 的判别式为,则 0 直线与圆锥曲线 C 有2 个公共点；=0直线与圆锥曲线C有1个公共点；

33、b 0)的左、右焦点,点F1,F2在直线l:y=kx+m的同侧,且点F1,F2到直线l的距离分别为d1,d2(1)若椭圆C的方程为x212+y23=1,直线l的方程为y=x-15,求d1d2的值,并判断直线与椭圆C的公共点的个数；(2)若直线l与椭圆C有两个公共点,试求d1d2所需要满足的条件；【解析】(1)椭圆C的方程为x212+y23=1,则F1-3,0,F23,0.又直线y=x-15,所以d1=-3-151+1=3+152,d2=3-151+1=15-32所以d1d2=15-92=3.联立x212+y23=1y=x-15,消去y可得：5x2-8 15x+48=0.因为=-8 152-45

34、48=0,所以直线y=x-15 与椭圆C有1个公共点.(2)联立x2a2+y2b2=1y=kx+m,消去y可得：a2k2+b2x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.因为直线l与椭圆C有两个公共点,所以=2a2km2-4 a2k2+b2a2m2-a2b20,整理化简得：m2-a2k2b2.又F1-c,0,F2c,0,其中c2=a2-b2,所以d1=-kc+m1+k2,d2=kc+m1+k2,所以d1d2=-kc+m1+k2kc+m1+k2=m2-k2a2+k2b21+k2b2+k2b21+k2=b2.所以直线l与椭圆C有两个公共点,则d1d20的焦点,Q是准线与x轴的交点,斜率为k的直线l

35、经过点Q(1)当k取不同数值时,求直线l与抛物线公共点的个数；(2)若直线l与抛物线相交于A、B两点,求证：kFA+kFB是定值(3)在x轴上是否存在这样的定点M,对任意的过点Q的直线l与抛物线相交于A、B两点,均能使得kMAkMB为定值,若有,找出满足条件的点M;若没有,请说明理由【解析】(1)抛物线y2=2px p0的焦点为Fp2,0,Q-p2,0,设l:y=k x+p2,代入y2=2px并化简得k2x2+p k2-2x+k2p24=0当k=0,直线l的方程为y=0,与y2=2px的交点为原点 0,0,直线l与抛物线有1个公共点；当k0,=-4p2k2-1,若0,即k-1,0 0,1,直线

36、l与抛物线有2个公共点；若=0,即k=1时,直线l与抛物线有1个公共点；若0,即k1,直线l与抛物线没有公共点(2)由于直线l与抛物线有两个交点,由(1)得k-1,0 0,1.设交点A x1,y1、B x2,y2,由得x1+x2=-p k2-2k2=2pk2-p,x1x2=p24,kFA+kFB=y1x1-p2+y2x2-p2=k x1+p2x2-p2+k x2+p2x1-p2x1-p2x2-p2=2k x1x2-p24x1-p2x2-p2=0,所以kFA+kFB为定值0(3)若存在满足条件的点M t,0,使得kMAkMB为定值则kMAkMB=y1x1-ty2x2-t=k2x1+p2x2+p2

37、x1-tx2-t=k2x1x2+p2x1+x2+p24x1x2-t x1+x2+t2=k2p24+p22pk2-p+p24p24-t2pk2-p+t2=p2p24+t t+p-2pk2仅当t=0,即M 0,0时,kMAkMB为定值4三、三、跟踪检测跟踪检测1.已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的左、右焦点,点F1,F2在直线l:y=kx+m的同侧,且点F1,F2到直线l的距离分别为d1,d2.(1)若椭圆C的方程为x212+y23=1,直线l的方程为y=x-15,求d1d2的值,并判断直线l与椭圆C的公共点的个数；(2)若直线l与椭圆C有两个公共点,试求d1d2所需要满

38、足的条件；(3)结合(1)和(2),试写出一个能判断直线l与椭圆C有公共点的充要条件(不需要证明).【解析】(1)由题意知：F1(-3,0),F2(3,0),直线l的方程为x-y-15=0,则d1=-3-151+1,d2=3-151+1,d1d2=-3-151+13-151+1=62=3；联立直线与椭圆方程x212+y23=1y=x-15 得5x2-8 15x+48=0,=-8 152-4548=0,故直线l与椭圆C有1个公共点；(2)由题意知：F1(-c,0),F2(c,0),直线l的方程为kx-y+m=0,点F1,F2在直线l:y=kx+m的同侧,则d1=-kc-y+mk2+1,d2=kc

39、-y+mk2+1,d1d2=-kc+mk2+1kc+mk2+1=m2-k2c2k2+1；联立直线与椭圆方程x2a2+y2b2=1y=kx+m 得 a2k2+b2x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0,由直线l与椭圆C有两个公共点,可得=2a2km2-4 a2k2+b2 a2m2-a2b2=4a2b2a2k2-m2+b20,即a2k2-m2+b20,即m2a2k2+b2,故d1d2=m2-k2c2k2+1a2k2+b2-k2c2k2+1=b2k2+b2k2+1=b2,故d1d20,k(-1,0)0,12时,方程组有两个不同的实数解,由图知直线l与抛物线交于两点,直线l的斜率k(-1,0)0,

40、12；b0)的离心率为63,其左右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆上任意一点,且满足 PF1+PF2=2 3.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆外一点M作椭圆的两条切线MA,MB,满足MAMB,求动点M的轨迹方程.【解析】(1)由题知2a=2 3ca=63a2=b2+c2,解得a2=3c2=2b2=1 所以椭圆C的方程为x23+y2=1(2)设M s,t,设过M且斜率存在的直线方程为y=k x-s+t联立x23+y2=1y=kx+t-ks,得 3k2+1x2+6k t-ksx+3(t-ks)2-1=0=12 3k2+1-(t-ks)2由=0,得 3-s2k2+2stk+1-t2=0设MA,MB

41、的斜率分别为k1,k2,则k1k2=1-t23-s2,又MAMB,所以k1k2=-1所以1-t23-s2=-1,即s2+t2=4当MA,MB的斜率不存在时,s2=3,t2=1,满足s2+t2=4所以动点M的轨迹方程为x2+y2=44.(20232023届甘肃省金昌市永昌县高三上学期模拟届甘肃省金昌市永昌县高三上学期模拟)已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点分别为F1,F2,P是E上一动点,PF1F2的最大面积为3,F1F2=2 3.(1)求E的方程；(2)若直线x-y-1=0与E交于A,B两点,C,D为E上两点,且CDAB,求四边形ACBD面积的最大值.【解析】(1)设椭圆

42、E的半焦距为c.因为 F1F2=2 3,所以c=3,当P为上顶点或下顶点时,PF1F2的面积最大,因为PF1F2的最大面积为3,所以122cb=3,即bc=3,所以b=1,所以a=b2+c2=2,所以椭圆E的方程为x24+y2=1.(2)设A x1,y1,B x2,y2,联立x24+y2=1,x-y-1=0,消去y得5x2-8x=0,解得x1=85,x2=0,所以y1=35,y2=-1,所以A,B两点的坐标分别为85,35,0,-1,所以 AB=852+35+12=8 25.因为ABCD,设四边形ACBD的面积为S,所以S=12AB CD=4 25CD.设直线CD的方程为y=-x+m,C x3

43、,y3,D x4,y4.联立x24+y2=1,y=-x+m,消去y得5x2-8mx+4m2-4=0,所以=(-8m)2-45 4m2-40,即-5 m0,b0)的左右顶点,直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M,N两点,当直线l垂直于x轴时,AMN为等腰直角三角形.(1)求双曲线C的离心率；(2)已知AB=4,若直线AM,AN分别交直线x=a2于P,Q两点,当直线l的倾斜角变化时,以PQ为直径的圆是否过定点,若过定点求出定点的坐标；若不过定点,请说明理由.【解析】(1)由已知得：F c,0,将x=c代入C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)中,y=b2a,当直线l垂直于x轴时,AMN为等腰

44、直角三角形,此时 AF=FM,即a+c=b2a,整理得：a2+ac-b2=0,因为b2=c2-a2,所以2a2+ac-c2=0,方程两边同除以a2得：2+e-e2=0,解得：e=2或-1(舍去),所以双曲线C的离心率为2(2)因为AB=4,所以2a=4,解得：a=2,故c=2a=4,b2=c2-a2=16-4=12,所以双曲线方程为C:x24-y212=1,当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为：y=k x-4,与双曲线联立得：3-k2x2+8k2x-16k2-12=0,设M x1,y1,N x2,y2,则x1+x2=8k2k2-3,x1x2=16k2+12k2-3,因为直线l过右焦点F且与双

45、曲线C的右支交于M,N两点,所以x1+x20,x1x20,解得：k23,直线AM:y=y1x1+2x+2,则P 1,3y1x1+2,同理可求得：Q 1,3y2x2+2,则123y1x1+2+3y2x2+2=3k x1-4x2+2+3k x2-4x1+22 x1x2+2x1+2x2+4=3k 2x1x2-2 x1+x2-162x1x2+4 x1+x2+8=3k 216k2+12k2-3-28k2k2-3-16 216k2+12k2-3+48k2k2-3+8=3k,PQ=3y1x1+2-3y2x2+2=3k x1-4x2+2-3k x2-4x1+2x1+2x2+2=3k x1x2+2x1-4x2-

46、8-3k x1x2+2x2-4x1-8x1x2+2 x1+x2+4=18k x1-x2x1x2+2 x1+x2+4其中 x1-x2=x1+x22-4x1x2=8k2k2-32-416k2+12k2-3=12 k2+1k2-3,所以PQ=18k x1-x2x1x2+2 x1+x2+4=18k12 k2+1k2-316k2+12k2-3+28k2k2-3+4=6 k2+1k则以PQ为直径的圆的圆心坐标为 1,3k,半径为3 k2+1k,所以以PQ为直径的圆的方程为：x-12+y-3k2=9 k2+1k2,整理得：x-12+y2-6yk=9,所以以PQ为直径的圆过定点 4,0,-2,0,当直线l的斜

47、率不存在时,此时不妨设M 4,6,N 4,-6,此时直线AM:y=x+2,点P坐标为 1,3,同理可得：Q 1,-3,.以PQ为直径的圆的方程为 x-12+y2=9,点 4,0,-2,0在此圆上,综上：以PQ为直径的圆过定点 4,0,-2,0.6.(20232023 届安徽省部分校高三上学期开学摸底届安徽省部分校高三上学期开学摸底)已知 O 为坐标原点,椭圆 C:x216+y212=1 过点 M,N,P,记线段MN的中点为Q(1)若直线MN的斜率为 3,求直线OQ的斜率;(2)若四边形OMPN为平行四边形,求|MN|的取值范围【解析】(1)设M x1,y1,N x2,y2,Q(x0,y0),则

48、x2116+y2112=1x2216+y2212=1,两式相减可得,x1+x2x1-x216+y1+y2y1-y212=0,而x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,则有x0 x1-x24+y0y1-y23=0,又直线MN斜率kMN=y1-y2x1-x2=3,因此y0=-14x0所以直线OQ的斜率kOQ=y0 x0=-14.(2)当直线MN不垂直于x轴时,设直线MN:y=kx+m(m0),M x3,y3,N x4,y4,由y=kx+m3x2+4y2=48 消去y并整理得：3+4k2x2+8kmx+4m2-48=0,=64k2m2-16 3+4k2m2-12=48(16k2+12-m2)0,x3

49、+x4=-8km3+4k2,x3x4=4m2-483+4k2,因四边形OMPN为平行四边形,即OP=OM+ON,则点P(x3+x4,y3+y4),而y3+y4=k x3+x4+2m=6m3+4k2,即P-8km3+4k2,6m3+4k2,又点P在椭圆上,则-8km3+4k2216+6m3+4k2212=1,化简得m2=3+4k2,满足=144m20,于是得x3+x4=-8km3+4k2=-8km,x3x4=4m2-483+4k2=4m2-48m2,m23,则|MN|=1+k2(x3+x4)2-4x3x4=124+4k264k2m2-4(4m2-48)m2=2 1+m24k2-m2+12m2=6

50、1+1m2(6,4 3,当直线MN垂直于x轴时,得点P(4,0)或P(-4,0),若点P(4,0),点M,N必在直线x=2上,由x=23x2+4y2=48 得y=3,则|MN|=6,若点P(-4,0),同理可得|MN|=6,综上,|MN|的取值范围为6,4 37.(20232023届浙江省届浙江省A A9 9协作体高三上学期联考协作体高三上学期联考)已知直线l:y=kx+1与双曲线C:x24-y2=1交于M、N两个不同的点.(1)求k的取值范围；(2)若A为双曲线C的左顶点,点M在双曲线C的左支上,点N在双曲线C的右支上,且直线MA、NA分别与y轴交于P、Q两点,当 PQ=1时,求k的值.【解