2022年全国新高考I卷数学试题含解析.pdf

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1、绝密绝密启用前启用前试卷类型：试卷类型：A2022 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数学数学本试卷共本试卷共 4 页，页，22 小题，满分小题，满分 150 分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1答卷前答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号考生号、考场号和座位号填写考场号和座位号填写在答题卡上在答题卡上.用用 2B 铅笔将试卷类型铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上将条形码横贴在答题卡右上角角“条形码粘贴处条形码粘贴处”.2作

2、答选择题时，选出每小题答案后，用作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按不

3、按以上要求作答的答案无效以上要求作答的答案无效.4考生必须保持答题卡的整洁考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.若集合4,31MxxNxx，则MN（）A.02xxB.123xxC.316xxD.1163xx2.若i(1)1z，则zz（）A.2B.1C.1D.23.在ABC中，点 D 在边 AB 上，2BDDA记CAmCDn ，则CB（）A.32m

4、nB.23mnC.32mnD.23mn4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m时，相应水面的面积为2140 0km；水位为海拔157 5m时，相应水面的面积为2180 0km，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m上升到157 5m时，增加的水量约为（72.65）（）A.931.0 10 mB.931.2 10 mC.931.4 10 mD.931.6 10 m5.从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数，则这 2 个数互质的概率为（）A.16B.13C.12D.236.记函数()si

5、n(0)4f xxb的最小正周期为 T若23T，且()yf x的图象关于点3,22中心对称，则2f（）A.1B.32C.52D.37.设0.110.1e,ln0.99abc，则（）A.abcB.cbaC.cabD.acb8.已知正四棱锥的侧棱长为 l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36，且33 3l，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A.8118,4B.27 81,44C.27 64,43D.18,27二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的

6、得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9.已知正方体1111ABCDABC D，则（）A.直线1BC与1DA所成的角为90B.直线1BC与1CA所成的角为90C.直线1BC与平面11BB D D所成的角为45D.直线1BC与平面 ABCD 所成的角为4510.已知函数3()1f xxx，则（）A.()f x有两个极值点B.()f x有三个零点C.点(0,1)是曲线()yf x的对称中心D.直线2yx是曲线()yf x的切线11.已知 O 为坐标原点，点(1,1)A在抛物线2:2(0)C xpy p上，过点(0,1)B的直线交 C 于 P，Q 两点，

7、则（）A.C 的准线为1y B.直线 AB 与 C 相切C.2|OPOQOAD.2|BPBQBA12.已知函数()f x及其导函数()fx的定义域均为R，记()()g xfx，若322fx，(2)gx均为偶函数，则（）A.(0)0fB.102gC.(1)(4)ffD.(1)(2)gg三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.81()yxyx的展开式中26x y的系数为_（用数字作答）14.写出与圆221xy和22(3)(4)16xy都相切的一条直线的方程_15.若曲线()exyxa有两条过坐标原点的切线，则 a 的取值范围是_16.已

8、知椭圆2222:1(0)xyCabab，C 的上顶点为 A，两个焦点为1F，2F，离心率为12过1F且垂直于2AF的直线与 C 交于 D，E 两点，|6DE，则ADE的周长是_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.记nS为数列 na的前 n 项和，已知11,nnSaa是公差为13的等差数列（1）求 na的通项公式；（2）证明：121112naaa18.记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知cossin21sin1cos2ABAB（1）若23C，求 B；（2）求2

9、22abc的最小值19.如图，直三棱柱111ABCABC的体积为 4，1ABC的面积为2 2（1）求 A 到平面1ABC的距离；（2）设 D 为1AC的中点，1AAAB，平面1ABC 平面11ABB A，求二面角ABDC的正弦值20.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100 例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100 人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中

10、任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”(|)(|)P B AP B A与(|)(|)P B AP B A的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为 R（）证明：(|)(|)(|)(|)P A BP A BRP A BP A B；（）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B的估计值，并利用（）的结果给出 R 的估计值附22()()()()()n adbcKa b c d a c b d，2P Kk0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821.已知点(2,1)A在双曲线2222:1(1

11、)1xyCaaa上，直线 l 交 C 于 P，Q 两点，直线,AP AQ的斜率之和为 0（1）求 l 的斜率；（2）若tan2 2PAQ，求PAQ的面积22.已知函数()xf xeax和()lng xaxx有相同的最小值（1）求 a；（2）证明：存在直线yb，其与两条曲线()yf x和()yg x共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列绝密绝密启用前启用前试卷类型：试卷类型：A2022 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数学数学本试卷共本试卷共 4 页，页，22 小题，满分小题，满分 150 分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟.注意事项：注意

12、事项：1答卷前答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号考生号、考场号和座位号填写考场号和座位号填写在答题卡上在答题卡上.用用 2B 铅笔将试卷类型铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上将条形码横贴在答题卡右上角角“条形码粘贴处条形码粘贴处”.2作答选择题时，选出每小题答案后，用作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上黑；如需改动，用橡皮擦干

13、净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按不按以上要求作答的答案无效以上要求作答的答案无效.4考生必须保持答题卡的整洁考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，

14、共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.若集合4,31MxxNxx，则MN（）A.02xxB.123xxC.316xxD.1163xx【答案】D【解析】【分析】求出集合,M N后可求MN.【详解】116,3MxxNx x 0，故1163MNxx，故选：D2.若i(1)1z，则zz（）A.2B.1C.1D.2【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法可求z，从而可求zz.【详解】由题设有21i1iiiz，故1+iz，故 1i1i2zz，故选：D3.在ABC中，点 D 在边 AB 上，2BDDA记CAmCDn ，则CB

15、（）A.32mnB.23mnC.32mnD.23mn【答案】B【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出【详解】因为点 D 在边 AB 上，2BDDA，所以2BDDA ，即2CDCBCA CD ，所以CB 3232CDCAnm 23mn 故选：B4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m时，相应水面的面积为2140 0km；水位为海拔157 5m时，相应水面的面积为2180 0km，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m上升到157 5m时，增加的水量约为（72.65）（）A.931.

16、0 10 mB.931.2 10 mC.931.4 10 mD.931.6 10 m【答案】C【解析】【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出【详解】依题意可知棱台的高为157.5 148.59MN(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V棱台上底面积262140.0140 10S kmm，下底面积262180.0180 10Skmm，6612119140 10180 10140 180 1033Vh SSSS 67993332060 71096 18 2.65101.437 101.4 10(m)故选：C5.从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数，则这 2 个

17、数互质的概率为（）A.16B.13C.12D.23【答案】D【解析】【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数，共有27C21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共 7 种，故所求概率21 72213P.故选：D.6.记函数()sin(0)4f xxb的最小正周期为 T若23T，且()yf x的图象关于点3,22中心对称，则2f（）A.1B.32C.52D.3【答案】A【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由

18、函数的最小正周期 T 满足23T，得223，解得23，又因为函数图象关于点3,22对称，所以3,24kkZ，且2b，所以12,63k kZ，所以52，5()sin224f xx，所以5sin21244f.故选：A7.设0.110.1e,ln0.99abc，则（）A.abcB.cbaC.cabD.acb【答案】C【解析】【分析】构造函数()ln(1)f xxx，导数判断其单调性，由此确定,a b c的大小.【详解】设()ln(1)(1)f xxx x，因为1()111xfxxx ，当(1,0)x 时，()0fx，当,()0 x时()0fx，所以函数()ln(1)f xxx在(0,)单调递减，在(

19、1,0)上单调递增，所以1()(0)09ff，所以101ln099，故110lnln0.999，即bc，所以1()(0)010ff，所以91ln+01010，故1109e10，所以11011e109，故ab，设()eln(1)(01)xg xxxx，则21 e11()+1 e11xxxg xxxx,令2()e(1)+1xh xx，2()e(21)xh xxx，当021x时，()0h x，函数2()e(1)+1xh xx单调递减，当211x 时，()0h x，函数2()e(1)+1xh xx单调递增，又(0)0h，所以当021x时，()0h x，所以当021x时，()0g x，函数()eln(1

20、)xg xxx单调递增，所以(0.1)(0)0gg，即0.10.1eln0.9，所以ac故选：C.8.已知正四棱锥的侧棱长为 l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36，且33 3l，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A.8118,4B.27 81,44C.27 64,43D.18,27【答案】C【解析】【分析】设正四棱锥的高为h，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】球的体积为36，所以球的半径3R,设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，则2222lah，22232(3)ah,所以26hl，2222alh所以正四棱锥的体积4262241

21、1214()=333366936lllVShahll，所以5233112449696llVll，当32 6l 时，0V，当2 63 3l 时，0V，所以当2 6l 时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为643，又3l 时，274V，3 3l 时，814V,所以正四棱锥的体积V的最小值为274，所以该正四棱锥体积的取值范围是27 6443，.故选：C.二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得

22、分，有选错的得 0 分分9.已知正方体1111ABCDABC D，则（）A.直线1BC与1DA所成的角为90B.直线1BC与1CA所成的角为90C.直线1BC与平面11BB D D所成的角为45D.直线1BC与平面 ABCD 所成的角为45【答案】ABD【解析】【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接1BC、1BC，因为11/DABC，所以直线1BC与1BC所成的角即为直线1BC与1DA所成的角，因为四边形11BBCC为正方形，则1BC 1BC，故直线1BC与1DA所成的角为90，A 正确；连接1AC，因为11AB 平面11BBCC，1BC 平面11BBCC，则111A

23、BBC，因为1BC 1BC，1111ABBCB，所以1BC 平面11A BC，又1AC 平面11A BC，所以11BCCA，故 B 正确；连接11AC，设1111ACB DO，连接BO，因为1BB 平面1111DCBA，1C O 平面1111DCBA，则11COB B，因为111C OB D，1111B DB BB，所以1C O 平面11BB D D，所以1C BO为直线1BC与平面11BB D D所成的角，设正方体棱长为1，则122CO，12BC，1111sin2COC BOBC，所以，直线1BC与平面11BB D D所成的角为30，故 C 错误；因为1C C 平面ABCD，所以1C BC为

24、直线1BC与平面ABCD所成的角，易得145C BC，故 D 正确.故选：ABD10.已知函数3()1f xxx，则（）A.()f x有两个极值点B.()f x有三个零点C.点(0,1)是曲线()yf x的对称中心D.直线2yx是曲线()yf x的切线【答案】AC【解析】【分析】利用极值点的定义可判断 A，结合()f x的单调性、极值可判断 B，利用平移可判断 C；利用导数的几何意义判断 D.【详解】由题，231fxx，令 0fx得33x 或33x ，令()0fx得3333x，所以()f x在33(,)33上单调递减，在3(,)3，3(,)3上单调递增，所以33x 是极值点，故 A 正确；因3

25、2 3()1039f ，32 3()1039f，250f ，所以，函数 f x在3,3 上有一个零点，当33x 时，303f xf，即函数 f x在33,+上无零点，综上所述，函数()f x有一个零点，故 B 错误；令3()h xxx，该函数的定义域为R，33hxxxxxh x ，则()h x是奇函数，(0,0)是()h x的对称中心，将()h x的图象向上移动一个单位得到()f x的图象，所以点(0,1)是曲线()yf x的对称中心，故 C 正确；令 2312fxx，可得1x ，又(1)11ff，当切点为(1,1)时，切线方程为21yx，当切点为(1,1)时，切线方程为23yx，故 D 错误

26、.故选：AC.11.已知 O 为坐标原点，点(1,1)A在抛物线2:2(0)C xpy p上，过点(0,1)B的直线交 C 于 P，Q 两点，则（）A.C 的准线为1y B.直线 AB 与 C 相切C.2|OPOQOAD.2|BPBQBA【答案】BCD【解析】【分析】求出抛物线方程可判断 A，联立 AB 与抛物线的方程求交点可判断 B，利用距离公式及弦长公式可判断 C、D.【详解】将点A的代入抛物线方程得12p，所以抛物线方程为2xy，故准线方程为14y ，A 错误；1(1)21 0ABk，所以直线AB的方程为21yx，联立221yxxy，可得2210 xx，解得1x，故 B 正确；设过B的直

27、线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，所以，直线l的斜率存在，设其方程为1ykx，1122(,),(,)P x yQ xy，联立21ykxxy，得210 xkx，所以21212401kxxkx x，所以2k 或2k ，21212()1y yx x，又2221111|OPxyyy，2222222|OQxyyy，所以2121212|(1)(1)|2|OPOQy yyykxkxkOA，故 C 正确；因为21|1|BPkx，22|1|BQkx，所以2212|(1)|15BPBQkx xk，而2|5BA，故 D 正确.故选：BCD12.已知函数()f x及其导函数()fx的定义域均

28、为R，记()()g xfx，若322fx，(2)gx均为偶函数，则（）A.(0)0fB.102gC.(1)(4)ffD.(1)(2)gg【答案】BC【解析】【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】因为322fx，(2)gx均为偶函数，所以332222fxfx即3322fxfx，(2)(2)gxgx，所以 3fxf x，(4)()gxg x，则(1)(4)ff，故 C 正确；函数()f x，()g x的图象分别关于直线3,22xx对称，又()()g xfx，且函数()f x可导，所以 30,32ggxg x，所以(4)()3gxg

29、 xgx，所以(2)(1)g xg xg x，所以13022gg，112ggg，故 B 正确，D 错误；若函数()f x满足题设条件，则函数()f xC（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x的函数值，故 A 错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.81()yxyx的展开式中26x y的系数为_（用数字作答）【答案】-28【解析】【分析】81yxyx可化为8

30、8yxyxyx，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为8881=yyxyxyxyxx，所以81yxyx的展开式中含26x y的项为6265352688C28yx yC x yx yx，81yxyx的展开式中26x y的系数为-28故答案为：-2814.写出与圆221xy和22(3)(4)16xy都相切的一条直线的方程_【答案】3544yx 或7252424yx或1x 【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆221xy的圆心为0,0O，半径为1，圆22(3)(4)16xy的圆心1O为(3,4)，半径为4，两圆圆心距为22345，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切

31、线为 l 时，因为143OOk，所以34lk ，设方程为3(0)4yxt t O 到 l 的距离|19116td，解得54t，所以 l 的方程为3544yx，当切线为 m 时，设直线方程为0kxyp，其中0p，0k，由题意22113441pkkpk，解得7242524kp，7252424yx当切线为 n 时，易知切线方程为1x ，故答案为：3544yx 或7252424yx或1x .15.若曲线()exyxa有两条过坐标原点的切线，则 a 的取值范围是_【答案】,40,【解析】【分析】设出切点横坐标0 x，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于0 x的方程，根据此方程应有两个

32、不同的实数根，求得a的取值范围.【详解】()exyxa，(1)exyxa ，设切点为00,xy,则000exyxa,切线斜率001exkxa,切线方程为：00000e1exxyxaxaxx,切线过原点，00000e1exxxaxax,整理得：2000 xaxa,切线有两条，240aa,解得4a 或0a,a的取值范围是,40,故答案为：,40,16.已知椭圆2222:1(0)xyCabab，C 的上顶点为 A，两个焦点为1F，2F，离心率为12过1F且垂直于2AF的直线与 C 交于 D，E 两点，|6DE，则ADE的周长是_【答案】13【解析】【分析】利用离心率得到椭圆的方程为222222213

33、412043xyxyccc，即，根据离心率得到直线2AF的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE的斜率，写出直线DE的方程：3xyc，代入椭圆方程22234120 xyc，整理化简得到：22136 390ycyc，利用弦长公式求得138c，得1324ac，根据对称性将ADE的周长转化为2F DE的周长，利用椭圆的定义得到周长为413a.【详解】椭圆的离心率为12cea，2ac，22223bacc，椭圆的方程为222222213412043xyxyccc，即，不妨设左焦点为1F，右焦点为2F，如图所示，222AFaOFcac，23AF O，12AFF为正三角形，过1F且垂直于2AF的直线与C

34、交于 D，E 两点，DE为线段2AF的垂直平分线，直线DE的斜率为33，斜率倒数为3，直线DE的方程：3xyc，代入椭圆方程22234120 xyc，整理化简得到：22136 390ycyc，判别式22226 34 13 9616ccc，2121322 6 461313cCDyy ，138c，得1324ac，DE为线段2AF的垂直平分线，根据对称性，22ADDFAEEF，ADE的周长等于2F DE的周长，利用椭圆的定义得到2F DE周长为222211121222413DFEFDEDFEFDFEFDFDFEFEFaaa.故答案为：13.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共

35、70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.记nS为数列 na的前 n 项和，已知11,nnSaa是公差为13的等差数列（1）求 na的通项公式；（2）证明：121112naaa【答案】（1）12nn na（2）见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得121133nnSnna，得到23nnnaS，利用和与项的关系得到当2n时，112133nnnnnnanaaSS,进而得：111nnanan，利用累乘法求得12nn na，检验对于1n 也成立，得到 na的通项公式12nn na；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到1211112

36、11naaan，进而证得.【小问 1 详解】11a，111Sa,111Sa,又nnSa是公差为13的等差数列，121133nnSnna,23nnnaS,当2n时，1113nnnaS，112133nnnnnnanaaSS,整理得：111nnnana,即111nnanan,31211221nnnnnaaaaaaaaaa1341123212n nnnnn，显然对于1n 也成立，na的通项公式12nn na；【小问 2 详解】12112,11nan nnn12111naaa111111212 1222311nnn18.记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知cossin21sin1c

37、os2ABAB（1）若23C，求 B；（2）求222abc的最小值【答案】（1）6；（2）4 25【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cossin21sin1cos2ABAB化成cossinABB，再结合02B，即可求出；（2）由（1）知，2CB，22AB，再利用正弦定理以及二倍角公式将222abc化成2224cos5cosBB，然后利用基本不等式即可解出【小问 1 详解】因为2cossin22sincossin1 sin1cos22coscosABBBBABBB，即1sincoscossinsincoscos2BABABABC，而02B，所以6B；【小问 2 详解】由

38、（1）知，sincos0BC，所以,022CB，而sincossin2BCC，所以2CB，即有22AB所以222222222sinsincos 21 cossincosabABBBcCB 2222222cos11 cos24cos52 854 25coscosBBBBB 当且仅当22cos2B 时取等号，所以222abc的最小值为4 2519.如图，直三棱柱111ABCABC的体积为 4，1ABC的面积为2 2（1）求 A 到平面1ABC的距离；（2）设 D 为1AC的中点，1AAAB，平面1ABC 平面11ABB A，求二面角ABDC的正弦值【答案】（1）2（2）32【解析】【分析】（1）由

39、等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得BC 平面11ABB A，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【小问 1 详解】在直三棱柱111ABCABC中，设点 A 到平面1ABC的距离为 h，则1111 1 1112 211433333A A BCAAABCAABC A BBCCCBVShhVSA AV，解得2h，所以点 A 到平面1ABC的距离为2；【小问 2 详解】取1AB的中点 E,连接 AE,如图，因为1AAAB，所以1AEAB,又平面1ABC 平面11ABB A，平面1ABC平面111ABB AAB，且AE 平面11ABB A，所以AE平面1ABC，在直三棱柱11

40、1ABCABC中，1BB 平面ABC，由BC 平面1ABC，BC 平面ABC可得AEBC，1BBBC，又1,AE BB 平面11ABB A且相交，所以BC 平面11ABB A，所以1,BC BA BB两两垂直，以 B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得2AE，所以12AAAB，12 2AB，所以2BC，则10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0AABC,所以1AC的中点1,1,1D，则1,1,1BD ，0,2,0,2,0,0BABC ,设平面ABD的一个法向量,mx y z，则020m BDxyzm BAy ，可取1,0,1m，设平面BDC的一个法向量,na b c，则020

41、m BDabcm BCa ，可取0,1,1n r，则11cos,222m nm nmn ，所以二面角ABDC的正弦值为213122.20.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100 例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100 人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”(|)(|

42、)P B AP B A与(|)(|)P B AP B A的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为 R（）证明：(|)(|)(|)(|)P A BP A BRP A BP A B；（）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B的估计值，并利用（）的结果给出 R 的估计值附22()()()()()n adbcKa b c d a c b d，2P Kk0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）答案见解析（2）（i）证明见解析；(ii)6R；【解析】【分析】(1)由所给数据结合公式求出2K的值，将其与临界值比较大小，由此确

43、定是否有 99%的把握认为患该疾病群体与未黄该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i)根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求R.【小问 1 详解】由已知222()200(40 9060 10)=24()()()()50 150 100 100n adbcKab cd ac bd，又2(6.635)=0.01P K，246.635，所以有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.【小问 2 详解】(i)因为(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()P B AP B AP ABP AP ABP ARP B AP B AP AP A

44、BP AP AB，所以()()()()()()()()P ABP BP ABP BRP BP ABP BP AB所以(|)(|)(|)(|)P A BP A BRP A BP A B，(ii)由已知40(|)100P A B，10(|)100P A B，又60(|)100P A B，90(|)100P A B，所以(|)(|)=6(|)(|)P A BP A BRP A BP A B21.已知点(2,1)A在双曲线2222:1(1)1xyCaaa上，直线 l 交 C 于 P，Q 两点，直线,AP AQ的斜率之和为 0（1）求 l 的斜率；（2）若tan2 2PAQ，求PAQ的面积【答案】（1）

45、1；（2）16 29【解析】【分析】（1）由点(2,1)A在双曲线上可求出a，易知直线 l 的斜率存在，设:l ykxm，1122,P x yQ xy，再根据0APBPkk，即可解出 l 的斜率；（2）根据直线,AP AQ的斜率之和为 0 可知直线,AP AQ的倾斜角互补，再根据tan2 2PAQ即可求出直线,AP AQ的斜率，再分别联立直线,AP AQ与双曲线方程求出点,P Q的坐标，即可得到直线PQ的方程以及PQ的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线PQ的距离，即可得出PAQ的面积【小问 1 详解】因为点(2,1)A在双曲线2222:1(1)1xyCaaa上，所以224111aa，解得2

46、2a，即双曲线22:12xCy易知直线 l 的斜率存在，设:l ykxm，1122,P x yQ xy，联立2212ykxmxy可得，2221 24220kxmkxm，所以，2121222422,2121mkmxxx xkk，222222164 22210120m kmkmk 所以由0APBPkk可得，212111022yyxx，即 122121210 xkxmxkxm，即121221 2410kx xmkxxm，所以22222421 24102121mmkkmkmkk，化简得，2844410kkm k，即1210kkm，所以1k 或12mk，当12mk 时，直线:21l ykxmk x过点2

47、,1A，与题意不符，舍去，故1k 【小问 2 详解】不妨设直线,PA PB的倾斜角为,，因为0APBPkk，所以，因为tan2 2PAQ，所以tan2 2，即tan22 2，即22 tantan20，解得tan2，于是，直线:221PA yx，直线:221PB yx，联立2222112yxxy可得，232 1 2 2104 202xx，因为方程有一个根为2，所以104 23Px，Py 4 253，同理可得，104 23Qx，Qy 4 253所以5:03PQ xy，163PQ，点A到直线PQ的距离52 12 2332d，故PAQ的面积为1162 216 2233922.已知函数()xf xeax

48、和()lng xaxx有相同的最小值（1）求 a；（2）证明：存在直线yb，其与两条曲线()yf x和()yg x共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列【答案】（1）1a（2）见解析【解析】【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求 a.注意分类讨论.（2）根据（1）可得当1b 时，exxb的解的个数、lnxxb的解的个数均为 2，构建新函数()eln2xh xxx，利用导数可得该函数只有一个零点且可得 ,f xg x的大小关系，根据存在直线yb与曲线 yf x、()yg x=有三个不同的交点可得b的取值，再根据两类方程的根的关系可证

49、明三根成等差数列.【小问 1 详解】()exf xax的定义域为R，而()exfxa，若0a，则()0fx，此时()f x无最小值，故0a.()lng xaxx的定义域为0,，而11()axg xaxx.当lnxa时，()0fx，故()f x在,lna上为减函数，当lnxa时，()0fx，故()f x在ln,a 上为增函数，故min()lnlnf xfaaaa.当10 xa时，()0g x，故()g x在10,a上为减函数，当1xa时，()0g x，故()g x在1,a上为增函数，故min11()1 lng xgaa.因为()exf xax和()lng xaxx有相同的最小值，故11 lnln

50、aaaa，整理得到1ln1aaa，其中0a，设 1ln,01ag aa aa，则 222211011agaaaaa，故 g a为0,上的减函数，而()10g=，故 0g a 的唯一解为1a，故1ln1aaa的解为1a.综上，1a.【小问 2 详解】由（1）可得e()xxf x 和()lng xxx的最小值为11 ln11 ln11.当1b 时，考虑exxb的解的个数、lnxxb的解的个数.设 exS xxb，e1xSx，当0 x 时，0Sx，当0 x 时，0Sx，故 S x在,0上为减函数，在0,上为增函数，所以 min010S xSb，而e0bSb，e2bS bb，设 e2bu bb，其中1