(1.3.4)--几何概型课件.pdf

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1、几何概型古典概率模型回顾 古典概率模型的两个特征1.样本空间只有有限个样本点（有限性）2.每个样本点出现的可能性相等（等可能性）古典概率模型的计算公式()AmP An事件 包含的基本事件数试验的基本事件总数假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30-7:30之间把报纸送到小明家，小明离开家去工作的时间在早上7:00-8:00之间，请问小明在离开家之前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？1.能否用古典概率模型来计算事件A 的概率呢？2.事件A包含的基本事件数是多少呢？几何概型几何概型 定义定义 当随机试验的当随机试验的样本空间样本空间是是某个区域，某个区域，并并 且任意一点落在度量且任意

2、一点落在度量(长度、长度、面积、体积面积、体积)相同的相同的 子区域是等可能的，子区域是等可能的，则事件则事件A的概率可定义为的概率可定义为 ()()()AP A其中其中 是样本空间是样本空间 的度量，的度量，是构成事件是构成事件A的区域的度量。这样借助于几何上的度量来合理的区域的度量。这样借助于几何上的度量来合理规定的概率模型称为几何概型。规定的概率模型称为几何概型。()()A几何概型意义：每个事件发生的概率只和构成该事件区域的几何度量（长度、面积、体积）成正比例。事件A发生的概率只和其区域的几何度量有关，与区域A的形状、位置无关。特征：1.样本空间中包含的样本点个数为无限多个 2.每一个样

3、本点出现的可能性相等。()()()AP A几何概型与古典概率模型的共同特征是均有等可能性，区别就是两者样本空间的有限性与无限性。ABCO例例 图中的转盘有三种颜色，圆盘半径为图中的转盘有三种颜色，圆盘半径为r，三个圆心角分别为，三个圆心角分别为23AOBBOCCOA 请问转盘旋转之后，箭头所指的区域是请问转盘旋转之后，箭头所指的区域是红色区域的概率是？红色区域的概率是？解：设解：设A=红色区域红色区域221 2()123()()3rAP Ar假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30-7:30之间把报纸送到小明家，小明离开家去工作的时间在早上7:00-8:00之间，请问小明在离开家之前能

4、得到报纸（称为事件A）的概率是多少？6:307:307:008:00报纸送达时间小明离家时间以横坐标x为报纸送达时间以纵坐标y为小明离家时间建立平面直角坐标系，假设试验落在方形区域的任意一点均是等可能的，则符合几何概型的条件。依据题意，只要点落在阴影部分区域中就表示小明在离家前能拿到报纸，即事件A发生了A=小明离开家之前拿到报纸6:307:307:008:00报纸送达时间小明离家时间()7()()8AP A(,)|6.57.5,78x yxy(,)|6.57.5,78,Ax yxyxy()1 11 1117()12228A 此类问题称之为会面问题。经常在几何概型中出现。在下列条件下在下列条件下

5、2210 xax 有实数根的概率？有实数根的概率？条件条件1：条件条件2：0,1,2,3a 3,3a 分别求关于分别求关于x的一元二次方程的一元二次方程有实根时，有实根时，a满足满足 ，即，即 或或条件条件1时，样本空间样本点有限，古典概率模型时，样本空间样本点有限，古典概率模型2440a 1a 1a 3()4P A 条件条件2时，样本空间样本点无限，几何概率模型时，样本空间样本点无限，几何概率模型2()3P A-3-232-101解：解：布丰投针问题 设平面上画着一些有相等距离设平面上画着一些有相等距离2a（a0）的平行线，）的平行线，向此平面上投一枚质地匀称的长为向此平面上投一枚质地匀称的长为2l（la）的针，求的针，求针与直线相交的概率。针与直线相交的概率。d2al解解 设针的中点离较近直线的距离设针的中点离较近直线的距离为为d，针与较近直线的交角为，针与较近直线的交角为则则d与与的可的可取值范围为取值范围为 0da,0所求概率为所求概率为 A=针针与直线与直线相交相交 0dlsin 0sin2()ldlP Aaa daOd=lsin小结()()()AP A几何概型：无限性、等可能性几何概型：无限性、等可能性计算步骤计算步骤1.确定样本空间确定样本空间及其度量及其度量2.确定事件确定事件A区域及其度量区域及其度量3.代入计算公式代入计算公式计算公式计算公式