欧几里得几何学的公理体系.docx

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1、欧几里得几何学的公理体系. 欧几里得几何Euclid geometry起源于古埃及，当尼罗河泛滥后，为了重新整理土地而需要进展丈量. 因此他们用geometry一词，其原意就是“丈量土地. 自此就开场了对图形的研究. Euclid?原本?把直到古希腊时代为止的这些知识综合整理出来，而成为一个逻辑体系. 由于这个?原本?中包含了图形的知识、实数理论的原型、数论等，而直接研究图形的局部最多，因此，中文译本将书名译成为?几何原本?. “几何来自“geo的音译几何学是数学科学中关于图形的数学分支. 在这一阶段，几何学就意味着数学的全部，古代数学家把萌芽中的代数学也包括在几何学中. “数与“形的结合，是

2、17世纪开场的，由于代数学、分析学的开展，并形成了几何学、代数学、建立了解析几何学，他利用坐标系，将图形问题转化为数量之间的问题，并用代数的计算方法来处理几何问题. 于是，相对于解析几何学来说，不用坐标而直接研究图形的几何学，称之为纯粹几何学. 纯粹几何学的进一步开展，就是射影几何学. 十九世纪出现了罗巴杰夫斯基几何，这种几何否定了欧几里得几何中的平行线公理. 在维向量空间建立后，几何体系就综合成了维欧几里得几何、维射影几何、维非欧几何. 把几何学用“群的观点统一起来加以论述，也就是“埃尔兰根纲领Erlangen program, 1872，德国数学家F.Klein的一篇不朽论文：每种几何学视

3、为由一个点集组成的“空间，以及“由到的变换群所确定的，研究的子集图形性质中对于来说不变的性质，这就是几何学. 在埃尔兰根纲领距今已近140年的今天，几何学的开展日新月异，微分几何学及其开展Riemann几何学、代数几何学，在20世纪取得辉煌的成就，举世瞩目. 欧几里得几何学：以平行公理为根底的几何学，其公理体系的核心是：“第五共设两条直线与第三条直线相交，在第三条直线一侧的两个角同旁内角之与小于两直角时，此两条直线必在此侧相交. 它等价于过不在直线上的点且平行于的直线有且仅有一条. 最初，几何学的研究对象是图形，首先要用到空间的直观性. 但是，直观性有时缺乏客观性，必须明确规定公理、定义，排出

4、直观，建立纯粹的、符合逻辑的几何学思想. ?几何原本?已经从事建立公理、定义的工作，但毕竟距今太远，缺陷很多，公理也不完备. 19世纪后半叶，D.Hilbert就是在1900年世界数学家大会上提出著名的Hilbert的23问题的著名数学家，这23个问题推动了20世纪数学的快速开展公理体系形成了，它是包含了欧几里得几何公理的、更加完善的几何公理体系. 欧几里得?几何原本?的简单介绍 全书共13卷，除第5、7、8、9、10中讲述比例与算术理论外，其余各卷都是关于几何内容的. 第1卷：平行线、三角形、平行四边形的有关定理；第2卷：毕达哥拉斯定理及其应用；第3卷：关于圆的定理；第4卷：圆的内接与外切多

5、边形定理；第6卷：相似理论；第11、12、13卷：立体几何. ?几何原本?是一个数学知识的逻辑体系，构造是由定义、共设、公理、定理组成的演绎推论系统. 开场给出了23个定义. 前6个定义是：1点没有大小； 2线有长度没有宽度； 3线的界是点； 4直线上的点是同样放置的； 5面只有长度没有宽度； 6面的界是线. 其次是5个共设： 1从任一点到另一点可以引一直线；2有限直线可以无限延长； 3以任意点为圆心，可用任意半径作圆； 4所有直角都相等；5假设两条直线与另一条直线相交，所成的同旁内角之与小于二直角，那么此两直线必在这一侧相交. 然后是5个公理：1等于同量的量相等；2等量加等量其与相等； 3等

6、量减等量其差相等；4可重合的图形全等； 5全体大于局部. 公理之后是一些重要的命题. 要强调两点 1、 “第五共设等价于“平行公理：2、欧几里得的?几何原本?有许多缺点，例如几何逻辑构造还很不严谨；对一些定义表达不够清晰、甚至含混不清；共设、公理还很不够，以至于很多定理的证明要靠几何直观，等等. 然而，从辩证唯物主义的观点来看，它仍然是一部不朽的著作. 发表了著名的?几何根底?，成功地建立了欧几里得几何的完整的公理体系，称为著名的Hilbert公理体系. 希尔伯特的五组公理包含：结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理. 由此五组公理，可以推出欧几里得几何中的所有定理，与欧几里得几何的

7、全部内容，因而使得欧氏几何成为一个逻辑构造非常完善而严谨的几何体系. 希尔伯特?几何根底?的简单介绍 希尔伯特公理体系：一、结合公理 incidence axioms 结合性表达了点、线、面位置关系，表达为“在上或“通过. 1 对于两点、，存在通过、的直线；2 当两点、不一样时，通过此两点的直线是唯一的；3 每条直线上至少有两个点；至少存在三个点不在同一条直线上；4 对于不在同一条直线上的三点、，存在通过这三点的唯一的一个平面； 5 每个平面上至少有一个点；6 假设直线上有两点在平面上，那么直线上的每一点都在平面上；7 假设两平面、通过一点，那么它们必通过另一点；8 至少存在4个点不在同一个平

8、面上. 二、顺序公理order axioms顺序性确定了几何元素的顺序关系，表达为“在之间. 1 假设、在同一直线上，且“点在与之间，那么“在与之间；2 对于不同的两点、，在通过它们的直线上至少存在一点，使得在与之间；3 对于在一条直线上的三点、中，至多有一点在另两点之间；亦即，假设在、之间，那么不可能在、之间；由以上三条，由此得到： 在直线上的点可以赋予线性的序； 在直线上，可以定义线段，以、为端点的线段记为或；定义线段的内部，外部4 设、是不在同一直线上的三点， 是通过三点的平面，也记为，是平面上的直线，但不通过、中的任何一点.假设直线通过线段上的点，那么或通过线段上的一点，或通过线段上的

9、一点；Pasch，帕施公理. 三、合同公理congruence axioms合同性确定了线段或角的合同关系，表达为“合同于或“等于. 1 如果两点、在直线上，点在同一条或另一条直线上，那么直线上的点的一侧存在点，使得线段“合同于，记为；2 线段的合同关系是一个等价关系；3 设、是直线上的两线段，没有公共内点，又设、是直线与可同，或不同上的两线段，也没有公共内点. 假设、，那么； 4 设平面上有一个角，又在平面与可同，或不同上有一条直线，并且指定了平面被直线分为两侧. 取直线上的一点，并从出发、在直线上引射线，那么在平面的该侧上，有且仅有一条射线，使得角合同与角，记为 ； 5 角的合同关系也是等

10、价关系. 【注】 角的定义：设平面上通过同一点的两不同直线为、. 由点出发，分别在与上引两条射线，记为、. 将这一对射线的所决定的集合称为平面上的角，记为或；假设、分别为射线与射线上的点，也记此角为. 称为角的顶点；射线、称为角的边. 角的合同关系用几何语言表达为： 设是平面上的角，是平面上的直线与可同、可不同；过上的一点，作上一射线. 那么在上必存在过的唯一一条射线，使得 角的合同关系是一个等价关系； 设、与、分别为不在一直线上的三点，如果有那么必有四、平行公理parallel axioms平行公理确定了直线的平行关系，表达为“平行于. 对于任意直线与不在上的一点，那么在与确定的平面上，有且

11、仅有一条直线通过点且不与直线相交. 五、连续公理continuity axioms1 对于任意两线段、，在通过线段的直线上，存在有限多个点、，使得、都合同于线段，并且使得“在与之间阿基米德公理Archimedes；或称直线的连续性公理；2 一直线上的点的集合，在保持结合公理的2，顺序公理的2，合同公理的1-5与连续公理的1的条件下，不可能再扩大 ；直线的完备性公理.由Hilbert建立的五个公理体系可以推得欧几里得几何的全部内容. 平行公理是欧几里得几何的“灵魂，假设将其余4个公理保存，将平行公理改为罗巴切夫斯基公理，就可推出罗巴切夫斯基几何的全部内容. 数学科学中，允许同时成立两个对立的公理

12、体系，而且这种对立的体系具有同样的真理性. 仿射几何 一 维仿射空间：设是一个维线性空间，是一个集合，中的元素称为“点，如果中的两点、对应于中的唯一的向量，满足：1 等于中的零向量；2 任给中一点，任给中的向量，那么在中存在唯一的点，使得；3 对于中的三点、，有等式；那么称为一个维仿射空间；特别地，时，称为仿射直线；时，称为仿射平面；时，称为仿射空间. 也把仿射空间中的元称为向量. 仿射直线、仿射平面、仿射空间的实际例子：对于一维、二维、三维欧氏空间，假设不使用欧氏距离，仅仅视为集合，那么它们分别是一维仿射直线、二维仿射平面、三维仿射空间. 二 仿射几何学： 主要研究仿射空间中的图形在仿射变换

13、下不变的几何性质. 如共线性、平行性、单比，等. 三维仿射空间中的仿射坐标系： 设、是三维仿射空间中三个不共面的向量，称它们为中的一组基. 可以证明，空间中的任意向量，可用基、表示，把有序实数称为向量的仿射坐标. 空间中的一个点与一组基，合在一起称为空间的一个仿射坐标系也称为仿射标架. 也常用记号仿射坐标系中的、只需不共面，不必相互垂直. 假设两两互相垂直，那么仿射坐标系就是直角坐标系. 仿射变换： 设仿射空间中有两组仿射坐标系、，点在仿射坐标系中的坐标为，在中的坐标为 到的点的仿射坐标变换公式：设点在、中的坐标分别为、，那么 到的向量的仿射坐标变换公式：设向量在、中的坐标分别为、，那么射影几

14、何 一 射影平面、射影空间在仿射平面、仿射空间中，引进无穷远点，那么称它们为扩大了的仿射平面、扩大了的仿射空间. 在扩大了的射影平面、射影空间中，假设将原有的点与引进的无穷远点不加区别，得到的平面、空间就称为射影平面、射影空间. 在射影空间中，任意两条直线必定相交平行直线相交于无穷远点、任意两个平面必定相交平行平面相交于无穷远直线、任意直线与平面必定相交平行于平面的直线与平面相交于一个无穷远点. 二 射影几何学 在定义齐次坐标、射影坐标、射影变换之后，就可以讨论射影空间中图形在射影变换下不变的性质了. 平行公理是欧几里得几何的“灵魂，假设将其余4个公理保存，将“欧几里得平行公理改为“罗巴切夫斯基公理，就可推出罗巴切夫斯基几何的全部内容. 数学科学中，允许同时成立两个对立的公理体系，而且这种对立的体系具有同样的真理性.第 12 页