抛物线经典题型.doc

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1、抛物线习题A组题一、选择题：1、抛物线的焦点坐标是 ( ) A BCD 2、抛物线的准线方程为 ( )A B C D3如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为 A1, 0B2, 0C3, 0D1, 04、抛物线的焦点到准线的距离是 A B C DB ，而焦点到准线的距离是5、假设抛物线上一点到其焦点的距离为，那么点的坐标为 A B C D对C 点到其焦点的距离等于点到其准线的距离，得6、以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是 A或 B C或 D或D 圆心为，设；设7、设为过抛物线的焦点的弦，那么的最小值为 A B C D无法确定C 垂直于对称轴的通径时

2、最短，即当8、假设抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离，那么点的坐标为 A B C DB 点到准线的距离即点到焦点的距离，得，过点所作的高也是中线 ，代入到得，9、直线y=kx-2与抛物线交于A、B两点，且AB的中点横坐标为2，那么k的值是 A.-1 B.2 10、双曲线的离心率，那么k的取值范围是 .(，) .12， .， .60，1211、 抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点到焦点的距离为5，那么抛物线方程为 A BC D12、抛物线截直线所得弦长等于 A BCD1513、顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(2,3)，那么它的方程是 A或 B或 C D14、抛物线在点M，

3、处的切线的倾斜角是 A30 B45 C60 D9015、假设抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，那么的值为 。A B C D 416、一元二次方程ax2+bx+c=0 (a,b,cR，且a0)的判别式是1，两根之积为8，.那么b，c的轨迹是 (A)椭圆 (B)双曲线 (C)抛物线 (D)两个点17、过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于Ax1，y1，Bx2，y2两点，如果x1+x2=6，那么|AB|= (A)10; (B)8; (C)6; (D)4.18过抛物线的焦点作直线交抛物线于点两点，假设，那么PQ中点M到抛物线准线的距离为 A5 B4 C3 D219、设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点

4、Q，假设过点Q的直线l与抛物线有公共点，那么直线的斜率的取值范围是 A，B2，2C1，1D4，420、点、，动点，那么点P的轨迹 A圆 B椭圆C双曲线D抛物线21、抛物线以原点为顶点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线上，那么抛物线的方程为 A B C或D或22、过点M2，4作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有 A0条B1条C2条D3条23、一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，假设水面下降1m，那么水面宽为 AmB 2mCD9m24、假设抛物线y22px(p0)的焦点与双曲线1的右焦点重合，那么p的值为() A2B4C8 D .425、抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、成等

5、差数列， 那么有 A B C D. 二、填空题26、抛物线的准线方程为. 27、圆，与抛物线的准线相切，那么 _2_28、 假设直线经过抛物线的焦点，那么实数 -1 29、假设直线与抛物线交于、两点，假设线段的中点的横坐标是，那么_。得，当时，有两个相等的实数根，不合题意当时，30、抛物线的焦点恰好为双曲线的一个焦点，那么_或 _31、抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，那么抛物线方程为 三、解答题：32、求满足以下条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上【解题思路】以方程的观点对待问题，并注意开口方向的讨论.解析 (1)设所求的抛物

6、线的方程为或, 过点(-3,2) 抛物线方程为或,前者的准线方程是后者的准线方程为 (2)令得，令得， 抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时, ，此时抛物线方程;焦点为(0,-2)时 ，此时抛物线方程. 所求抛物线方程为或,对应的准线方程分别是.33、在抛物线上求一点，使这点到直线的距离最短。解：设点，距离为， 当时，取得最小值，此时为所求的点。34、顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程。解：设抛物线的方程为，那么消去得那么 35、抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点A4，m到焦点的距离为6. 1求此抛物线的方程； 2假设此抛物

7、线方程与直线相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值.36、动直线y =a，与抛物线相交于A点，动点B的坐标是，求线段AB中点M的轨迹的方程(12分)37、 假设抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且，求此抛物线的方程解析 设点是点在准线上的射影，那么，由勾股定理知，点A的横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或B组题一、 选择题1、过抛物线y =ax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，假设线段PF与FQ的长分别是p、q，那么等于 A2aB C4a D 2、动点P到点A(0，2)的距离比到直线l:y=-4的距离小2，那么动点

8、P的轨迹方程为 A. B. C. D.3、抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点-5，m到焦点距离是6，那么抛物线的方程是 A y 2=-2xB y 2=-4xC y 2=2xD y 2=-4x或y 2=-36x4、抛物线上两点、关于直线对称，且，那么等于 A B C DA ，且 在直线上，即5、假设点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标为 A B C DD 可以看做是点到准线的距离，当点运动到与点一样高时，取得最小值，即，代入得6、直线l与抛物线交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，那么线段AB的中点到准线的距离是 A. B. C

9、. 7、动圆M经过点A(3，0)且与直线l:x=-3相切，那么动圆圆心M的轨迹方程是( ) A. B. C. D.8、平面内过点A-2，0，且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是 A y 2=2xB y 2=4xCy 2=8x Dy 2=16x9、抛物线y=x上到直线x-y=4距离最近的点的坐标是 .() .(1，1) .( ) .(2，4)10、定点P(0,2)到曲线y=|1|上点的最短距离为(A) (B)1 (C)2 (D)11、过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，假设A、B在抛物线的准线上的射影分别是A1，B1，那么A1FB1等于(A)450; (B)600; (C)900;

10、 (D)1200.12、圆心在抛物线y 2=2x上，且与x轴与该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 Ax2+ y 2-x-2 y -=0Bx2+ y 2+x-2 y +1=0 Cx2+ y 2-x-2 y +1=0Dx2+ y 2-x-2 y +=013、把与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线按向量a平移，所得的曲线的方程是 ABCD 14、(2021年梧州模拟)抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是()A. B.C. D315、(2021年全国卷)直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A、B两点，F为C的焦点，假设|FA|2|FB|，那么 k()A. B.C. D.

11、解析：设抛物线C：y28x的准线为l：x2直线yk(k2)(k0)恒过定点P(2,0)，如下图过A、B分别作AMl于M，BNl于N，由|FA|2|FB|，那么|AM|2|BN|，点B为AP的中点，连结OB.|OB|AF|，|OB|BF|点B的横坐标为1，故点B的坐标为(1,2)，k，选D.16、(2021年辽宁卷)点P是抛物线y22x上的一个动点，那么点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之与的最小值为()A. B3C. D.17、过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线,假设此直线与抛物线交于A,B两点,弦AB的中垂线与轴交于P点,那么线段PF的长等于 A, B, C, D,解析 此抛物线

12、的焦点与原点重合,得直线AB的方程为,因此A,B两点的横坐标满足方程:.由此求得弦AB中点的横坐标,纵坐标,进而求得其中垂线方程为,令,得P点的横坐标,即PF=.二、填空题18、，抛物线上的点到直线的最短距离为_。 直线为，设抛物线上的点19、对于抛物线上任意一点，点都满足，那么的取值范围是_。 设，由得 恒成立，那么20、抛物线y 2=4x的弦AB垂直于x轴，假设AB的长为4，那么焦点到AB的距离为 2 21、抛物线y =2x2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 22、P是抛物线y 2=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，那么这个圆一定经过一个定点Q，点Q的坐标是 1，

13、0 23、(2021年宁夏海南卷)设抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A、B两点假设AB的中点为(2,2)，那么直线l的方程为_ yx_24、(2021年福建卷)过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾角为45的直线交抛物线于A、B两点，假设线段AB的长为8，那么p_2_.25、对于顶点在原点的抛物线，给出以下条件：焦点在y轴上焦点在x轴上抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6抛物线的通径的长为5由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)能使这个抛物线方程为y210x的条件是_(要求填写适宜条件的序号)26、设A、B为抛物线上的点,且(O为原点),那

14、么直线AB必过的定点坐标为_.【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置解析设直线OA方程为,由解出A点坐标为解出B点坐标为，直线AB方程为,令得，直线AB必过的定点【名师指引】1由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；2B点坐标可由A点坐标用换k而得。三、解答题27、设A、B为抛物线上的点,且(O为原点),证明直线AB必过的定点。【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置解析设直线OA方程为,由解出A点坐标为解出B点坐标为，直线AB方程为,令得，直线AB必过的定点【名师指引】1由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；2B点坐标可由A点坐标用换k而得。28、抛物线过动点M，0且斜率为1

15、的直线与该抛物线交于不同的两点A、B，求的取值范围；假设线段AB的垂直平分线交轴于点N，求面积的最大值(14分) 解析：直线的方程为，将，得 设直线与抛物线两个不同交点的坐标为、，那么 又， ， 解得 设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为，那么由中点坐标公式，得 又 为等腰直角三角形，即面积最大值为29、如图，直线l1与l2相交于点M，l1l2，点Nl1以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等假设AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6建立适当的坐标系，求曲线段C的方程(14分)解：设曲线段C的方程为， 其中分别为A、B的横坐标， 所以， 由，得

16、联立解得将其代入式并由p0解得，或因为AMN为锐角三角形，所以，故舍去 p=4，由点B在曲线段C上，得综上得曲线段C的方程为30、(2021年揭阳联考)M(0，2)，点A在x轴上，点B在y轴的正半轴，点P在直线AB上，且满足，0.(1)当点A在x轴上移动时，求动点P的轨迹C的方程；(2)过(2,0)的直线l与轨迹C交于E、F两点，又过E、F作轨迹C的切线l1、l2，当l1l2，求直线l的方程解析：(1)设P(x，y)，A(xA,0)，B(0，yB)(yB0)那么(xxA，y)，(x，yBy)，由得xA2x，yB2y，又(xA,2)，(xxA，y)，即(2x,2)，(x，y)，由0得x2y(y0

17、)(2)显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为：yk(x2)，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，因为y2x，故两切线的斜率分别为2x1,2x2.由方程组得x2kx2k0，所以x1x2k，x1x22k，当l1l2时，2x12x21，所以k.31、(2021年山东卷)如右图所示，设抛物线方程为x22py(p0)，M为直线y2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A、B.(1)求证：A、M、B三点的横坐标成等差数列；(2)当M点的坐标为(2，2p)时，4，求此时抛物线的方程；解析：(1)证明：由题意设A，B，x1x2，M(x0，2p)由x22py得y，得y，所以kMA，kMB.因此直线MA的方程为y2p(xx0)，直线MB的方程为y2p(xx0)所以2p(x1x0)，2p(x2x0)由、得x1x2x0，因此x0，即2x0x1x2.所以A、M、B三点的横坐标成等差数列(2)由(1)知，当x02时，将其代入、并整理得：x4x14p20，x4x24p20，所以x1，x2是方程x24x4p20的两根，因此x1x24，x1x24p2，又kAB，所以kAB.由弦长公式得.又4，所以p1或p2，因此所求抛物线方程为x22y或x24y.第 18 页