将军饮马问题.doc

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1、将军饮马问题起源：l古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：将军从A地出发到河边饮马，然后再到B地军营视察，显然有许多走法。问走什么样的路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的答复。这个问题后来被人们称作“将军饮马问题。让我们来看看数学家是怎样解决的。海伦发现这是一个求折线与最短的数学问题。根据公理1：连接两点的所有线中，直线段最短。只知道两点间直线段最短，那么显然要把折线变成直线再解。如果直接连AB，与l不会相交，怎么办呢？当A、B位于l的异侧时，就有交点了。于是我们就希望在l的另一侧找一点A，使得连AB与

2、l相交于P点后这时APPB最短线段AP与AP一样长由对称的知识可知道，A关于l的对称点就有资格扮演A的角色。图1解：如图1先作A关于l的对称点A，连接AB与l相交于P点，那么APPB就最小那么这样作出的APPB是否真的最小呢？要证明它只需要在l上任取一点P，证明APPAAPPB就行了。这点好证明：事实上因为A、A关于l对称，有APAP、APAP，又由公理2：三角形的两边之与大于第三边APPB=APPBABAPPBAPPB原来海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线问题求解的。后来这一方法已形成了思想，它在解决许多问题中都在起作用。现在人们把但凡用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理

3、。例题分析：1、A，B两点在MN同侧，如下图，在MN上求一点P，使：PAPB最大连接BA并延长交MN于P PAPB=|AB|在MN上再任意取一点P 三角形PAB中 PAPBAB=PAPB2、两点在直线的异侧 如何做直线上一点是 其到两点之差最短作线段AB的中垂线，交直线l于点P，点P即为所求。此时|PA-PB|=03、直线L及异侧两点A B 求作直线L上一点P，使P与A B 两点距离之差最大作A点关于L的对称点A1，连接A1B，并延长交L的一点就是所求的P点。这样就有：PA=PA1，P点与A，B的差PA-PB=PA1-PB=A1B。下面证明A1B是二者差的最大值。首先在L上随便取一个不同于P点

4、的点P1，这样P1A1B就构成一三角形，且P1A1=P1A。根据三角形的性质，二边之差小于第三边，所以有：P1A1-P1BA1B，即：P1A-P1BA1B。这就说明除了P点外，任何一个点与A，B的距离差都小于A1B。反过来也说明P点与A，B的距离差的最大值是A1B。所以，P点就是所求的一点。4、在MN上求作一点,使PA+PB最短做B关于MN的对称点B 连接AB交MN于PP为所求点在mn上另取一点P不与P重合。连接AP PB利用三角行二边之与大于第三边与得 AB最小5、A,B两点在直线MN同侧，在MN上求一点P，分别使|PA-PB|最小作AB的中垂线与MN的交点，即为点P此时|PA-PB|为0，所以必然最小第 3 页