专题一二阶常微分方程解法.doc

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1、二阶微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)式的通解两个不相等实根两个相等实根一对共轭复根二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是 1其中是常数。方程1的通解为对应的齐次方程 2的通解Y与方程1的一个特解之与。即 .我们已解决了求二阶常系数齐次线性方程通解的问题，所以，我们只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的方法。下面我们只介绍当方程1中的为如下两种常见形式时求其特解的方法。一、由于方程1右端函数是指数函数与次多项式的乘积，而指数函数与多项式的乘积的导数仍是这类函数，因此，我们推测：方程1的特解应为( 是某个次数待定的多项式 )代入方程1，得消

2、去，得 3讨论、如果不是特征方程的根。即 由于是一个次的多项式，欲使3的两端恒等，那未必为一个次多项式，设为将之代入3，比拟恒等式两端的同次幂的系数，就得到以为未知数的个线性方程的联立方程组，解此方程组可得到这个待定的系数，并得到特解、如果是特征方程的单根。即 ，但 欲使3式的两端恒等，那么必是一个次多项式。因此，可令 并且用同样的方法来确定的系数。、如果是特征方程的二重根。 即 ，且 。欲使3式的两端恒等，那么必是一个次多项式因此， 可令 并且用同样的方法来确定的系数。综上所述，我们有结论如果，那么方程1的特解形式为其中是与同次的多项式，的取值应满足条件例1求 的通解。解 特征方程为 特征根为 齐次方程的通解为 因为是特征单根，所以，设非齐次方程的特解为那么将上述三式代入原方程，得 比拟恒等式两端的系数，得解得 ， 因此 所以方程的通解为二、由于方程1右端函数为，这种形式得到非齐次方程的特解的过程稍微复杂些，所以我们这里就只给出结论其中，、是两个次多项式，且 例2求方程 的通解。解 特征方程 特征根 齐次方程的通解为 这里，由于不是特征方程的根，所以设方程的特解为代入原方程，得比拟两端同类项的系数，得解得 于是 所以非齐次方程的通解为第 4 页