概率论与数理统计综合复习资料.doc

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1、?概率论与数理统计?综合复习资料一、填空题1、一个盒子中有10个球，其中有3个红球，2个黑球，5个白球，从中取球两次，每次取一个无放回，那么：第二次取到黑球的概率为 ；取到的两只球至少有一个黑球的概率为 。2、的概率密度为 ()，那么 。3、随机变量且与相互独立，设随机变量，那么 ； 。4、随机变量的分布列为 -1 0 2 0.4 0.2 那么： = ；= 。5、设与独立同分布，且，那么(= 。 6、设对于事件、有，那么、都不发生的概率为 。 7、批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，那么取到的是二等品的概率为 。 8、相互独立，且概率分布分别为 ()

2、 ； 那么：= ； = 。 9、工厂生产产品的次品率分别为2%和1%，现从由工厂分别占30%和70%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，那么该产品是工厂的概率为 。 10、设的概率分布分别为 ； 那么：= ；= 。二、选择题1、设和相互独立，且分别服从和，那么 。 2、，那么 。 1 0.7 3、设某人进展射击，每次击中的概率为1/3，今独立重复射击10次，那么恰好击中3次的概率为 。 4、甲、乙两人独立的对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6 和，现目标被命中，那么它是甲射中的概率是 。 () 0.6 () 5/11 () 0.75 () 6/11 5、设事件、满足，那么以下结论正确的

3、选项是 。 () () () () 6、设，那么(= 。 () 40 () 34 () () 7、设为来自总体的一个样本，为样本均值，未知，那么总体方差的无偏估计量为 。 8、设每次试验成功的概率为2/3，那么在三次独立重复试验中至少失败一次的概率为 。 () () () () 9、设是随机变量，常数，对任意常数，那么必有 。 () () () ()三、解答题1、设的分布函数为，求：1的概率分布；2、。2、设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，又知第一、二家工厂生产的产品有2%的次品，第三家工厂生产的产品有4%的次品，现从箱中任取一件，求：1取

4、到的是次品的概率；2假设取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。3、设随机向量的概率密度为 求：1常数； 2关于的边缘概率密度，并判断与是否相互独立。4、分别服从正态分布和，且与的相关系数，设，求： 1数学期望，方差； 2与的相关系数。5、设为的一个样本， 其中为未知参数，求的极大似然法估计量。6、工厂生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，求：1该产品是次品的概率；2假设取到的是次品，那么该产品是工厂的概率 。 7、设的概率分布为 求：和。 8、一口袋中装有四只球，分别标有数字1，2，2，3。现从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以、

5、分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：1和的联合概率分布；2关于和关于边缘概率分布。9、设总体的分布列为 1 0 为的一个样本，求的极大似然估计。10、设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们分别以0.03、0.04、0.06的概率被损坏而发生断路，求电路发生断路的概率。11、设随机地在1，2，3中任取一值，随机地在1中任取一整数值,求：1的分布律；2关于和的边缘分布律。 12、设为的一个样本，且的概率分布为 其中为未知参数，为常数，求的极大似然估计。13、在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立地等1，2，3路汽车，设每个人等车时间单位：分钟均服从0，5上的均匀分布，求三人中至少

6、有两个人等车时间不超过2分钟的概率。14、一个盒子中有三只乒乓球，分别标有数字1，2，2。现从袋中任意取球二次，每次取一只有放回，以、分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：1和的联合概率分布；2关于和边缘分布； 3和是否相互独立？为什么？15、设为来自总体X 的一个样本，且存在，验证统计量1、2都是的无偏估计，并指出哪一个更好。1； 2。 16、设随机变量，具有概率密度 ，求1常数C ； 2关于和关于的边缘分布密度。 17、设，其中是来自总体的简单随机样本。试问当、各为何值时，统计量服从分布，并指出其自由度。?概率论与数理统计?答案 一、填空题1 1/5 17/45 2 1/23 0

7、5 4 0.4 1.84 5 52 6 13/247 1/3 8 3 -119 7/13 10 二、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 三、解答题1、设的分布函数为 求：1的概率分布；2、；解：1的概率分布列为 0 1 2 1/3 1/6 1/2 2 2、设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，又知第一、二家工厂生产的产品有2%的次品，第三家工厂生产的产品有4%的次品，现从箱中任取一件，求：1取到的是次品的概率；2取到的是次品，它是第一家工厂生产的概率。解：设事件表示：“取到的产品是次品；事件表示：“取到的产品是第家工厂生产的。那么，且，

8、两两互不相容。 （1） 由全概率公式得 2由贝叶斯公式得 = 3、设随机向量的概率密度为 求：1常数； 2关于的边缘概率密度，并判断与是否相互独立。解：1利用归一性知： 2，当时，有；其他情况时，综合知， 同理 由于 知与不相互独立。 4、分别服从正态分布和，且与的相关系数，设，求： 1数学期望，方差；2与的相关系数。解：1由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得 2 从而有与的相关系数 5、设为的一个样本， 其中为未知参数，求的极大似然法估计量。 解：设为观测值，那么构造似然函数 令 解的的极大似然估计量为 6、工厂生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由的产品分别占60%和40%的一批产品

9、中随机抽取一件，求：1该产品是次品的概率；2假设取到的是次品，那么该产品是工厂的概率 。解：设表示“取到的产品是次品；“取到的产品是工厂的；“取到的产品是工厂的。那么 （1） 取到的产品是次品的概率为 2假设取到的是次品，那么该产品是工厂的概率为 7、设的概率分布为 求：和。 解：由于在有限区间1，5上服从均匀分布，所以；又由于服从参数为4的指数分布，所以=、， 因此由数学期望性质2、性质3及重要公式得 。 8、一口袋中装有四只球，分别标有数字1，2，2，3。现从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以、分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：1和的联合概率分布；2关于和关于边缘概率分

10、布。解：1的所有可能取值为(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(3，1)、(3，2)。由概率乘法公式得 同理得,。此外，都是不可能事件，所以,于是，的概率分布表为 1 2 3 1 0 1/6 1/12 2 1/6 1/6 1/6 3 1/12 1/6 0 2的边缘概率分布为 1 2 3 1/4 1/2 1/4 的联合概率分布为 1 2 3 1/4 1/2 1/4 9、设总体的分布列为 1 0 为的一个样本，求的极大似然估计。 解：设为观测值，的分布律为 于是似然函数 令，解得，因此的极大似然估计为 10、设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们分别以0.03、0

11、.04、0.06的概率被损坏而发生断路，求电路发生断路的概率。 解：设表示：“第个电子元件被损坏=1，2，3，那么有；。依题意所求概率为 11、设随机地在1，2，3中任取一值，随机地在1中任取一整数值,求：1的分布律；2关于和的边缘分布律。解：1的概率分布表为 1 2 3 2关于的边缘分布律为 1 2 3 关于的边缘分布律为 1 2 3 12、设为的一个样本，且的概率分布为 其中为未知参数，为常数，求的极大似然估计。 解：设为观测值，构造似然函数 令 解得，因此的极大似然估计为。 13、在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立地等1，2，3路汽车，设每个人等车时间单位：分钟均服从0，5上的均匀分布

12、，求三人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率。解：设表示每个人等车时间，且服从0，5上的均匀分布，其概率分布为 又设表示等车时间不超2分钟的人数，那么，所求概率为 14、一个盒子中有三只乒乓球，分别标有数字1，2，2。现从袋中任意取球二次，每次取一只有放回，以、分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：1和的联合概率分布；2关于和边缘分布； 3和是否相互独立？为什么？解：1的所有可能取值为(1，1)、(1，2)、 (2，1)、(2，2)。 ， ， 于是，的概率分布表为 1 2 1 1/9 2/9 2 2/9 4/9 2关于和的边缘概率分布分别为 1 2 1 2 1/3 2/3 1/3

13、2/3 3和相互独立。因为有 15、设为来自总体X 的一个样本，且存在，验证统计量(1)、(2)都是的无偏估计，并指出哪一个较好。 1； 2。 解：1由于所以是的无偏估计； 2 所以是的无偏估计。 而 显然，故较好。 16、设随机变量，具有概率密度 ，求1常数C；2边缘分布密度。 解：1由于，故 1=所以=1，即 2 ，即 ，即 17、设，其中是来自总体的简单随机样本。试问当、各为何值时，统计量服从分布，并指出其自由度。解：依题意，要使统计量服从分布，那么必需使及服从标准正态分布。 由相互独立的正态随机变量的性质知 从而解得1/20。 从而解得1/100。 故1/20，1/100时，统计量服从分布。且自由度为2。