旋转体体积公式.doc
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1、在传统立体几何中,各种旋转形体的侧表面积与体积计算方法是各自独立的,不便学习记忆。本文介绍一个适用于一切旋转形体的万能公式,简单,易学,好用。 一.根本概念 1.质量 空间图形点,线,面,体都可以看作是空间点的集合,一个具体的空间图形包含的点数是有限但不可数的。我们把一个空间图形包含的全部点数,称为该图形的质量。 由于图形包含的点数不可数,所以要用间接方式来表示图形的质量。我们可以用长度来表示线的质量,用面积来表示面的质量,用体积来表示体的质量。这就像,一堆小米的粒数是有限但不可数的。尽管这堆小米的粒数一定有一个确切的数字,但这个数字可能我们永远也不会知道,也不必知道,我们只需知道有几斗几升,
2、或几斤几两就行了。 关于质量概念,存在着下面的事实:空间图形的质量,等于它各个局部的质量之与质量公理。 2.位量与重心 构成空间图形的点,都有各自的位置。在平面内,点的位置可以用它到参考直线的距离来表示。我们把构成一个空间图形的所有点的位置总与,称为该图形的位量;把构成空间图形的所有点的平均位置,称为该图形的重心,并以它作为整个图形的位置。显然,位量=重心*总点数。用W表示位量,用Z表示重心,用P表示质量,上式可以写成 . W=Z*P 1 关于位量概念,也存在着下面的事实:空间图形的位量,等于它各个局部的位量之与位量公理。 3.旋转基图 旋转面与旋转体可统称为旋转形体。用过旋转轴的平面截切后,
3、得到一个轴对称形的截面图,我们取旋转轴一侧的半图作为旋转基图。旋转面的基图是线,旋转体的基图是由闭合的线围成的面。 二.平面图形的位量与重心 要使用万能公式,需先计算旋转基图的位量,笔者提供以下判断与计算平面图形的位量与重心的方法: 1.形状规那么图形的重心是它的几何中心。如圆,正多边形,中心对称图形等。 2.轴对称图形的重心在它的对称轴上 3.形状不规那么的图形可以先分解成几个规那么或简单的局部,分别求出各局部的位量后,再求总与。常见旋转形体的基图,总可以分解成以下四种图形: 抱歉,因发帖数量不够,无法上传示意图1直线段 直线段的重心是它的中点 2圆弧线 如图1,位于位置参考线一侧且圆心在参
4、考线上的圆弧线,其位量等于它在参考线上的投影长度与弧半径的乘积,即W=h*R。 3三角形面 三角形面的重心是三个顶点的平均位置,即重心到参考线的距离等于三个顶点分别到参考线距离的平均值。 4弓形面 如图2,圆心在位置参考线上,弓弦与参考线平行的弓形面的位量,是弦长立方的十二分之一,即W=a*a*a/12。 如图3,弓弦与参考线不平行的弓形面,可以看作是上述弓形面绕圆心旋转一定角度所得,它的位量还与旋转的角度有关。即W=cos*a*a*a/12 4.如果一个图形的位量是W0,质量是P,那么当它的重心改变了Z后,其位量变为W=W0+Z*P 三.旋转形体质量计算的万能公式 在旋转基图中,以旋转轴作为
5、位置参考线,那么基图的位量,重心与质量可以分别表示为Wj,Zj,Pj。 ,圆周长等于半径的2倍,据此可以推导出旋转形体质量计算的统一方法。 定理:旋转形体的质量,等于它的基图位量的2倍。 证明:如图4,旋转基图由有限但不可数的许多空间点构成,它们到旋转轴的距离分别为r1,r2,r3,.,rn。每个点经旋转一周后,都形成一条圆周线,旋转形体由所有圆周线构成。根据质量公理,旋转形体的质量,就是所有圆周线质量的总与。即 P旋=2r1+2r2+2r3+.2rn=2*(r1+r2+r3+.rn)=2*Wj=2*Zj*Pj (证毕) 四.应用举例 抱歉,因发帖数量不够,无法上传例题示意图例1.如何理解圆周
6、长公式?答:圆周线是最简单的旋转形体,基图是一个点,其质量是1,它到旋转轴的距离是半径R,所以C=2*Wj=2*Zj*Pj =2*1*R=2R例2.求半径为r的圆的面积。 解:圆可以看作是最简单的旋转形体之一,基图是半径,质量为r,重心为r/2,所以 S=2*Wj=2*Zj*Pj =2*r*r/2=*r*r 例3.求半径为r,高为h的圆柱的侧面积与体积。 解:圆柱侧面的基图是一条线段,长度为h,重心距旋转轴为r,所以 S=2*Wj=2*Zj*Pj =2 *h*r圆柱体的基图是一个矩形面,面积为h*r,重心距旋转轴为r/2,所以 V=2*Wj=2*Zj*Pj =2*h*r*r /2=*h*r*r
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