数值分析试题A卷与答案.doc

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1、 青岛科技大学 试题 _2021_年_2021 _年第 一学期课程名称： 数值分析 专业年级： 2021级研究生 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A卷 B卷 考试方式: 开卷 闭卷 一. 填空题本大题共4小题，每题4分，共16分，其对应的函数的值分别为，那么二次拉格朗日插值基函数为 。 ，那么关于节点的二阶向前差分为 。，那么 ， 。4. 个节点的高斯求积公式的代数准确度为 。二简答题本大题共3小题，每题8分，共24分1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于的不动点？3. 设n阶矩阵A具有

2、n个特征值且满足，请简单说明求解矩阵A的主特征值和特征向量的算法及流程。三求一个次数不高于3的多项式，满足以下插值条件：12324123并估计误差。10分四试用的牛顿-科特斯求积公式计算定积分。10分五用Newton法求的近似解。10分六试用Doolittle分解法求解方程组： 10分七请写出雅可比迭代法求解线性方程组 的迭代格式，并判断其是否收敛？10分八就初值问题考察欧拉显式格式的收敛性。10分?数值分析?A卷标准答案 202120211一 填空题每题3分，共12分1. ； 2.7；3. 3，8；4. 。二简答题本大题共3小题，每题8分，共24分1. 解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方

3、根法。 4分对于对称正定阵 A，从可知对任意k i 有。即 L 的元素不会增大，误差可控，不需选主元，所以稳定。 4分2. 解：1假设，那么称为函数的不动点。 2分2必须满足以下三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于的不动点：1是在其定义域内是连续函数； 2分2的值域是定义域的子集； 2分3在其定义域内满足李普希兹条件。 2分3.解：参照幂法求解主特征值的流程 8分步1：输入矩阵A，初始向量v0，误差限e，最大迭代次数N;步2：置k:=1,:=0，u0=v0/|v0|;步3：计算vk=Auk-1;步4：计算并置mk:=vkr, uk:=vk/mk;步5：假设|mk- | e，计算，

4、输出mk,uk；否那么，转6；步6：假设kN,置k:=k+1, :=mk，转3；否那么输出计算失败 信息，停顿三 解：1利用插值法加待定系数法： 设满足 那么3分 再设 3分 1分 1分2 2分四解：应用梯形公式得 2分 1分 应用辛普森公式得： 2分 1分 应用科特斯公式得： 2分 2分五解：由零点定理，在内有根。 2分由牛顿迭代格式 4分 取得， 3分故取 1分 六解：对系数矩阵做三角分解： 2分 4分假设，那么； 2分假设，那么 2分七解：1对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为 2分其特征多项式为，且特征值为 2分故有，因而雅可比迭代法不收敛。 1分2对于方程组，Gauss-Seidel 迭代法迭代矩阵为 2分其特征值为 2分故有，因而雅可比迭代法收敛。 1分八证明题本大题共2小题，每题7分，共14分1. 证：该问题的准确解为 2分欧拉公式为 2分对任意固定的，有， 2分那么 1分2.证：牛顿迭代格式为 3分因迭代函数为而又， 2分 那么。故此迭代格式是线性收敛的。 2分