初一数学知识点梳理及典型例题.docx

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1、北师大版 知识点汇总七年级上册第一章 丰富图形世界1. 2. 3. 球体：由球面围成（球面是曲面）4. 几何图形是由点、线、面构成。几何体及外界接触面或我们能看到外表就是几何体表面。几何表面有平面和曲面；面及面相交得到线；线及线相交得到点。5. 棱：在棱柱中，任何相邻两个面交线都叫做棱。6. 侧棱：相邻两个侧面交线叫做侧棱，所有侧棱长都相等。7. 棱柱上、下底面形状相同，侧面形状都是长方形。8. 根据底面图形边数，人们将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱它们底面图形形状分别为三边形、四边形、五边形、六边形9. 长方体和正方体都是四棱柱。10. 圆柱表面展开图是由两个相同圆形和一个长方形连成

2、。11. 圆锥表面展开图是由一个圆形和一个扇形连成。12. 设一个多边形边数为n(n3，且n为整数)，从一个顶点出发对角线有(n-3)条；可以把n边形成(n-2)个三角形；这个n边形共有条对角线。13. 圆上两点之间部分叫做弧，弧是一条曲线。14. 扇形，由一条弧和经过这条弧端点两条半径所组成图形。15. 凸多边形和凹多边形都属于多边形。有弧或不封闭图形都不是多边形。第二章 有理数及其运算数轴三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。任何一个有理数，都可以用数轴上一个点来表示。（反过来，不能说数轴上所有点都表示有理数）如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数相反数，也称这两

3、个数互为相反数。（0相反数是0）在数轴上，表示互为相反数两个点，位于原点侧，且到原点距离相等。数轴上两点表示数，右边总比左边大。正数在原点右边，负数在原点左边。绝对值定义：一个数a绝对值就是数轴上表示数a点及原点距离。数a绝对值记作|a|。正数绝对值是它本身；负数绝对值是它数；0绝对值是0。0-1-2-3123越来越大 或 绝对值性质：除0外，绝对值为一正数数有两个，它们互为相反数；互为相反数两数（除0外）绝对值相等；任何数绝对值总是非负数，即|a|0比较两个负数大小，绝对值大反而小。比较两个负数大小步骤如下： 先求出两个数负数绝对值；比较两个绝对值大小；根据“两个负数，绝对值大反而小”做出正

4、确判断。绝对值性质：对任何有理数a，都有|a|0若|a|=0，则|a|=0，反之亦然若|a|=b，则a=b对任何有理数a,都有|a|=|-a|有理数加法法则： 同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大数符号，并用较大数绝对值减去较小数绝对值。一个数同0相加，仍得这个数。加法交换律、结合律在有理数运算中同样适用。灵活运用运算律，使用运算简化，通常有下列规律：互为相反两个数，可以先相加；符号相同数，可以先相加；分母相同数，可以先相加；几个数相加能得到整数，可以先相加。有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数相反数。有理数减法运算时注意

5、两“变”：改变运算符号；改变减数性质符号（变为相反数） 有理数减法运算时注意一个“不变”：被减数及减数位置不能变换，也就是说，减法没有交换律。有理数加减法混合运算步骤：写成省略加号代数和。在一个算式中，若有减法，应由有理数减法法则转化为加法，然后再省略加号和括号；利用加法则，加法交换律、结合律简化计算。（注意：减去一个数等于加上这个数相反数，当有减法统一成加法时，减数应变成它本身相反数。）有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。任何数及0相乘，积仍为0。如果两个数互为倒数，则它们乘积为1。（如：-2及 、 等）乘法交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。有理数乘法运算

6、步骤：先确定积符号；求出各因数绝对值积。乘积为1两个有理数互为倒数。注意：零没有倒数求分数倒数，就是把分数分子分母颠倒位置。一个带分数要先化成假分数。正数倒数是正数，负数倒数是负数。有理数除法法则： 两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何非0数都得0。0不可作为除数，否则无意义。指数底数幂有理数乘方 注意：一个数可以看作是本身一次方，如5=51；当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。乘方运算性质：正数任何次幂都是正数；负数奇次幂是负数，负数偶次幂是正数；任何数偶数次幂都是非负数；1任何次幂都得1，0任何次幂都得0；-1偶次幂得1；-1奇次幂得-1

7、；在运算过程中，首先要确定幂符号，然后再计算幂绝对值。有理数混合运算法则：先算乘方,再算乘除,最后算加减。如果有括号,先算括号里面。第三章 字母表示数代数式概念： 用运算符号（加、减、乘除、乘方、开方等）把数及表示数字母连接而成式子叫做代数式。单独一个数或一个字母也是代数式。 注意：代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；代数式中不含有“=、”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边式子一般都是代数式；代数式中字母所表示数必须要使这个代数式有意义，是实际问题要符合实际问题意义。代数式书写格式：代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt；数字及字母相乘时，数字应写在字母前面，

8、如4a；带分数及字母相乘时，应先把带分数化成假分数后及字母相乘，如应写作；数字及数字相乘，一般仍用“”号，即“”号不省略；在代数式中出现除法运算时，一般按照分数写法来写，如4（a-4）应写作；注意：分数线具有“”号和括号双重作用。在表示和（或）差代差代数式后有单位名称，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子后面，如平方米代数式系数： 代数式中数字中数字因数叫做代数式系数。如3x,4y系数分别为3，4。 注意：单个字母系数是1，如a系数是1；只含字母因数代数式系数是1或-1，如-ab系数是-1。a3b系数是1代数式项： 代数式表示6x2、-2x、-7和，6x2、-2x、-7是它项，其中把不含

9、字母项叫做常数项注意：在交待某一项时，应及前面符号一起交待。同类项： 所含字母相同，并且相同字母指数也相同项叫做同类项。 注意：判断几个代数式是否是同类项有两个条件：a.所含字母相同；b.相同字母指数也相同。这两个条件缺一不可；同类项及系数无关，及字母排列顺序无关；几个常数项也是同类项。合差同类项：把代数式中同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项理论根据是逆用乘法分配律；合并同类项法则是把同类项系数相加，所得结果作为系数，字母和字母指数不变。 注意：如果两个同类项系数互为相反数，合并同类项后结果为0；不是同类项不能合并，不能合并项，在每步运算中都要写上；只要不再有同类项，就是最后结果，结

10、果还是代数式。根据去括号法则去括号： 括号前面是“+”号，把括号和它前面“+”号去掉，括号里各项都不改变符号；括号前面是“”号去掉，括号里各项都改变符号。根据分配律去括号： 括号前面是“+”号看成+1，括号前面是“”号看成-1，根据乘法分配律用+1或-1去乘括号里每一项以达到去括号目。注意：去括号时，要连同括号前面符号一起去掉；去括号时，首先要弄清楚括号前是“+”号还是“”号；改变符号时，各项都变号；不改变符号时，各项都不变号。第四章 平面图形及位置关系一. 线段、射线、直线1. 正确理解直线、射线、线段概念以及它们区别：名称图形表示方法端点长度直线直线AB(或BA)直线l无端点无法度量射线射

11、线OM1个无法度量线段线段AB(或BA)线段l2个可度量长度2. 直线公理:经过两点有且只有一条直线.b2AOB1二.比较线段长短1. 线段公理:两点间线段最短;两之间线段长度叫做这两点之间距离.2. 比较线段长短两种方法:圆规截取比较法;刻度尺度量比较法.1343. 用刻度尺可以画出线段中点,线段和、差、倍、分;用圆规可以画出线段和、差、倍.三.角度量及表示终边始边51. 角:有公共端点两条射线组成图形叫做角;平角6这个公共端点叫做角顶点;这两条射线叫做角边.8CABO2. 角表示法：角符号为“” 用三个字母表示，如图1所示AOB周角7用一个字母表示，如图2所示b用一个数字表示，如图3所示1

12、用希腊字母表示，如图4所示经过两点有且只有一条直线。两点之间所有连线中，线段最短。两点之间线段长度，叫做这两点之间距离。1=60 1=60”角也可以看成是由一条射线绕着它端点旋转而成。如图5所示：一条射线绕它端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成角叫做平角。如图6所示：终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成角叫做周角。如图7所示：从一个角顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等角，这条射线叫做这个角平分线。经过直线外一点，有且只有一条直线及这条直线平行。如果两条直线都及第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。互相垂直两条直线交点叫做垂足。平面内，过一点有且只有一条直线及已知直线垂直。如图8所示

13、，过点C作直线AB垂线，垂足为O点，线段CO长度叫做点C到直线AB距离。第五章 一元一次方程在一个方程中，只含有一个未知数x（元），并且未知数指数是1（次）,这样方程叫做一元一次方程。等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式。等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0数），所得结果仍是等式。解方程步骤：解一元一次方程，一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数系数化为1等几个步骤，把一个一元一次方程“转化”成x=m形式。第六章 生活中数据科学记数法：一般地，一个大于10数可以表示成a10n形式，其中1an).2. 在应用时需要注意以下几点:法则使用前提条件是“同底数幂相

14、除”而且0不能做除数,所以法则中a0.任何不等于0数0次幂等于1,即,如,(-2.50=1),则00无意义.任何不等于0数-p次幂(p是正整数),等于这个数p次幂倒数,即( a0,p是正整数), 而0-1,0-3都是无意义;当a0时,a-p值一定是正; 当a0时,a-p值可能是正也可能是负,如,运算要注意运算顺序. 六. 整式乘法1. 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有字母，连同它指数作为积一个因式。单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：积系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现错误是，将系数相乘及指数相加混淆；相同字母相乘，

15、运用同底数乘法法则；只在一个单项式里含有字母，要连同它指数作为积一个因式；单项式乘法法则对于三个以上单项式相乘同样适用；单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。2单项式及多项式相乘单项式乘以多项式，是通过乘法对加法分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式及多项式相乘，就是用单项式去乘多项式每一项，再把所得积相加。单项式及多项式相乘时要注意以下几点：单项式及多项式相乘，积是一个多项式，其项数及多项式项数相同；运算时要注意积符号，多项式每一项都包括它前面符号；在混合运算时，要注意运算顺序。3多项式及多项式相乘多项式及多项式相乘，先用一个多项式中每一项乘以另一个多项式每一项，再把所得积相加。多项式

16、及多项式相乘时要注意以下几点：多项式及多项式相乘要防止漏项，检查方法是：在没有合并同类项之前，积项数应等于原两个多项式项数积；多项式相乘结果应注意合并同类项；对含有同一个字母一次项系数是1两个一次二项式相乘，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项和，常数项是两个因式中常数项积。对于一次项系数不为1两个一次二项式（mx+a）和（nx+b）相乘可以得到七平方差公式1平方差公式：两数和及这两数差积，等于它们平方差，即。其结构特征是：公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；公式右边是两项平方差，即相同项平方及相反项平方之差。八完全平方公式1 完全平方公式：两数和（

17、或差）平方，等于它们平方和，加上（或减去）它们积2倍， 即；口决：首平方，尾平方，2倍乘积在中央；2结构特征：公式左边是二项式完全平方；公式右边共有三项，是二项式中二项平方和，再加上或减去这两项乘积2倍。3在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项符号，以及避免出现这样错误。九整式除法1单项式除法单项式单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商因式，对于只在被除式里含有字母，则连同它指数作为商一个因式；2多项式除以单项式多项式除以单项式，先把这个多项式每一项除以单项式，再把所得商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商项数及原多项式项数相同，另外还要特别注意符号。第二章

18、 平行线及相交线一台球桌面上角1互为余角和互为补角有关概念及性质如果两个角和为90（或直角），那么这两个角互为余角；如果两个角和为180（或平角），那么这两个角互为补角；注意：这两个概念都是对于两个角而言，而且两个概念强调是两个角数量关系，及两个角相互位置没有关系。它们主要性质：同角或等角余角相等；同角或等角补角相等。二探索直线平行条件两条直线互相平行条件即两条直线互相平行判定定理，共有三条：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。三平行线特征平行线特征即平行线性质定理，共有三条：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。四用尺

19、规作线段和角1关于尺规作图尺规作图是指只用圆规和没有刻度直尺来作图。2关于尺规功能直尺功能是：在两点间连接一条线段；将线段向两方向延长。圆规功能是：以任意一点为圆心，任意长度为半径作一个圆；以任意一点为圆心，任意长度为半径画一段弧。第三章生活中数据1科学记数法：对任意一个正数可能写成a10n形式，其中1a10，n是整数，这种记数方法称为科学记数法。2利用四舍五入法取一个数近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位；对于一个近似数，从左边第一个不是0数字起，到精确到数位止，所有数字都叫做这个数有效数字。3统计工作包括：设定目标；收集数据；整理数据；表达及描述数据；分析结果。第四章 概

20、率1随机事件发生及不发生可能性不总是各占一半，都为50%。2现实生活中存在着大量不确定事件，而概率正是研究不确定事件一门学科。3了解必然事件和不可能事件发生概率。必然事件发生概率为1，即P（必然事件）=1；不可能事件发生概率为0，即P（不可能事件）=0；如果A为不确定事件，那么0P(A)14.了解几何概率这类问题计算方法事件发生概率=第五章 三角形一认识三角形1关于三角形概念及其按角分类由不在同一直线上三条线段首尾顺次相接所组成图形叫做三角形。这里要注意两点：组成三角形三条线段要“不在同一直线上”；如果在同一直线上，三角形就不存在；三条线段“首尾是顺次相接”，是指三条线段两两之间有一个公共端点

21、，这个公共端点就是三角形顶点。三角形按内角大小可以分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。2关于三角形三条边关系根据公理“连结两点线中，线段最短”可得三角形三边关系一个性质定理，即三角形任意两边之和大于第三边。三角形三边关系另一个性质：三角形任意两边之差小于第三边。对于这两个性质，要全面理解，掌握其实质，应用时才不会出错。设三角形三边长分别为a、b、c则：一般地，对于三角形某一条边a来说，一定有|b-c|ab+c成立；反之，只有|b-c|ab+c成立，a、b、c三条线段才能构成三角形；特殊地，如果已知线段a最大，只要满足b+ca，那么a、b、c三条线段就能构成三角形；如果已知线段a最小，

22、只要满足|b-c|a，那么这三条线段就能构成三角形。3关于三角形内角和三角形三个内角和为180直角三角形两个锐角互余；一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；一个三角中至少有两个内角是锐角。4关于三角形中线、高和中线三角形角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；任意一个三角形三条角平分线、三条中线都在三角形内部。但三角形高却有不同位置：锐角三角形三条高都在三角形内部，如图1；直角三角形有一条高在三角形内部，另两条高恰好是它两条边，如图2；钝角三角形一条高在三角形内部，另两条高在三角形外部，如图3。一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平

23、分线交于一点，三条高所在直线交于一点。二图形全等能够完全重合图形称为全等形。全等图形形状和大小都相同。只是形状相同而大小不同，或者说只是满足面积相同但形状不同两个图形都不是全等图形。四全等三角形1关于全等三角形概念能够完全重合两个三角形叫做全等三角形。互相重合顶点叫做对应点，互相重合边叫做对应边，互相重合角叫做对应角所谓“完全重合”，就是各条边对应相等，各个角也对应相等。因此也可以这样说，各条边对应相等，各个角也对应相等两个三角形叫做全等三角形。2全等三角形对应边相等，对应角相等。3全等三角形性质经常用来证明两条线段相等和两个角相等。五探三角形全等条件1三边对应相等两个三角形全等，简写为“边边

24、边”或“SSS”2有两边和它们夹角对应相等两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”3两角和它们夹边对应相等两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”4两角和其中一个角对边对应相等两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”六作三角形1已知两个角及其夹边，求作三角形，是利用三角形全等条件“角边角”即（“ASA”）来作图。2已知两条边及其夹角，求作三角形，是利用三角形全等条件“边角边”即（“SAS”）来作图。3已知三条边，求作三角形，是利用三角形全等条件“边边边”即（“SSS”）来作图。八探索直三角形全等条件1斜边和一条直角边对应相等两个直角三角形全等。简称为“斜边、直角边”或“HL”。这只

25、对直角三角形成立。2直角三角形是三角形中一类，它具有一般三角形性质，因而也可用“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”来判定。直角三角形其他判定方法可以归纳如下：两条直角边对应相等两个直角三角形全等；有一个锐角和一条边对应相等两个直角三角形全等。三条边对应相等两个直角三角形全等。第七章 生活中轴对称1如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。2角平分线上点到角两边距离相等。3线段垂直平分线上任意一点到线段两个端点距离相等。4角、线段和等腰三角形是轴对称图形。5等腰三角形顶角平分线、底边上高、底边上中线互相重合，简称为“三线合一”。6轴对称图形上对应点所连线段被对称轴垂直平分。7轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。（注：表示重点部分；表示了解部分；表示仅供参阅部分；）12 / 12