最新2018年度届初中数学中考-预习复习专栏【二次函数压轴题】.doc

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1、|2018 年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类【例 1】 如图 1，已知抛物线经过点 A(1，0) 、B(3，0)、C(0，3) 三点（1）求抛物线的解析式 （2）点 M 是线段 BC 上的点（不与 B，C 重合） ，过 M 作 MNy 轴交抛物线于N，若点 M 的横坐标为 m，请用 m 的代数式表示 MN 的长（3）在（2）的条件下，连接 NB、NC ，是否存在 m，使 BNC 的面积最大？若存在，求 m 的值；若不存在，说明理由 【考点：二次函数综合题 专题：压轴题；数形结合 】【巩固 1】 如图 2，抛物线 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，0232a

2、xay已知 B 点坐标为（4，0） （1）求抛物线的解析式；（2）试探究ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点，求MBC 的面积的最大值，并求出此时 M 点的坐标【考点：二次函数综合题专题：压轴题；转化思想 】图 1图 2|平行四边形类【例 2】 如图 3，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+mx+n 经过点 A（3，0） 、B（0，3） ，点 P 是直线AB 上的动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M，设点 P 的横坐标为 t（1）分别求出直线 AB 和这条抛物线的解析式（2）若点 P 在第四象限，连接 AM、BM ，当线段

3、PM 最长时，求 ABM 的面积（3）是否存在这样的点 P，使得以点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由等腰三角形类【例 3】 如图，点 A 在 x 轴上，OA=4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置（1）求点 B 的坐标；（2）求经过点 A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由 【考点：二次函数综合题专题：压轴题；分类讨论 】图 3|【巩固 3】 在平面直角坐标系中，现将一块等

4、腰直角三角板 ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点 A（0，2） ，点 C（1，0 ） ，如图所示：抛物线 y=ax2+ax2 经过点 B（1）求点 B 的坐标；（2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点 P（点 B 除外） ，使ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由规律探索类【例 4】如图，已知点 A 、A 、A 、A 、A 在 x 轴的正半轴上，且横坐标依次为连续的正整数，过1234n点 A 、 A 、A 、A 、A 分别作 x 轴的垂线，交抛物线 y=x +x 于点 B 、B 、B 3、B 、B ，交123

5、4n 2124n过点 B1 的直线 y=2x 于点 C 、C 、C 、C 。若B C B 、B C B 、B 3C B 、B C13B 的面积分别为 S 、S 、S 、S 。n123n求 S S 与 S S 的值； 猜想 S S 与 n 的数量关系，并说明理由；23 n若将抛物线“y =x +x”改为“y=x +bx+c”, 直线“y=2x”改为 “y=(b+1)x+c”，其它条件不变，请猜想2S Sn-1 与 n 的数量关系（直接写出答案）。C 4C3C 2B 4B 3BB 1yxA4A3A2A 1O|综合类【例 5】 如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴的一个交点为 B（

6、5，0） ，另一个交点为 A，且与 y轴交于点 C（0，5） （1）求直线 BC 与抛物线的解析式；（2）若点 M 是抛物线在 x 轴下方图象上的一动点,过点 M 作 MNy 轴交直线 BC 于点 N,求 MN 的最大值；（3）在（2）的条件下，MN 取得最大值时，若点 P 是抛物线在 x 轴下方图象上任意一点，以 BC 为边作平行四边形 CBPQ，设平行四边形 CBPQ 的面积为 S1，ABN 的面积为 S2，且 S1=6S2，求点 P 的坐标【考点：二次函数综合题专题：压轴题 】【巩固 6】 如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的图象过点 C（0，1） ，顶点为 Q（2，3） ，点

7、D 在 x 轴正半轴上，且 OD=OC （1）求直线 CD 的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转 45所得直线与抛物线相交于另一点 E，求证：CEQCDO；（4）在（3）的条件下，若点 P 是线段 QE 上的动点，点 F 是线段 OD 上的动点，问：在 P 点和 F 点移动过程中，PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由|2014 年中考数学冲刺复习资料 :二次函数压轴题【参考答案】【例题 1】考点：二次函数综合题 专题：压轴题；数形结合分析：（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式

8、（2）先利用待定系数法求出直线 BC 的解析式，已知点 M 的横坐标，代入直线 BC、抛物线的解析式中，可得到 M、N 点的坐标，N、M 纵坐标的差的绝对值即为 MN 的长（3）设 MN 交 x 轴于 D，那么BNC 的面积可表示为：S BNC =SMNC +SMNB =MN（OD +DB）=MNOB，MN 的表达式在（2）中已求得，OB 的长易知，由此列出关于 SBNC、m 的函数关系式，根据函数的性质即可判断出BNC 是否具有最大值解答：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1） （x3） ，则：a（0+1） （03）=3，a=1；抛物线的解析式：y=（x+1） （x3）=x 2+2x+3

9、（2）设直线 BC 的解析式为： y=kx+b，则有： ，解得 ；故直线 BC 的解析式：y=x+3已知点 M 的横坐标为 m，MNy，则 M（m，m +3） 、N（m，m 2+2m+3） ；故 MN=m 2+2m+3（m +3）=m 2+3m（0m3） （3）如图 2；S BNC =SMNC +SMNB =MN（OD+DB ）=MNOB，S BNC =（m 2+3m）3=（m） 2+ （0m3） ；当 m=时， BNC 的面积最大，最大值为 【巩固 1】 【考点：二次函数综合题专题：压轴题；转化思想 】分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将 B 点坐标代入解析式中即可(2)首先根据

10、抛物线的解析式确定 A 点坐标，然后通过证明 ABC 是直角三角形来推导出直径 AB 和圆心的位置，由此确定圆心坐标(3)MBC 的面积可由 SMBC =BCh 表示，若要它的面积最大，需要使 h 取最大值，即点 M 到直线 BC 的距离最大，若设一条平行于 BC 的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点 M解答：（1）将 B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：抛物线的解析式为：y=x 2x2（2）由（1）的函数解析式可求得：A（1，0） 、C（0，2） ；OA=1，OC=2，OB=4，即：OC 2=OAOB，又：OCAB ，OACOCB，得：OCA=OBC；ACB= OC

11、A+OCB=OBC+OCB =90，ABC 为直角三角形，AB 为ABC 外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为 AB 的中点，且坐标为：（，0） （3）已求得：B（4，0） 、C（0，2） ，可得直线 BC 的解析式为： y=x2；设直线 lBC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线 l 与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2x2，即： x22x2b=0，且=0 ；44（2b）=0，即 b=4；直线 l：y=x4所以点 M 即直线 l 和抛物线的唯一交点，有：，解得： 即 M（2，3） 过 M 点作 MNx 轴于 N， SBMC =S 梯形 OCMN+SMNB S OCB =2（

12、2+3）+2324=4图 2图 5图 4|图 7【例 2】考点：二次函数综合题；解一元二次方程因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定.专题：压轴题；存在型分析：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把 A（3，0）B（0，3）分别代入 y=x2+mx+n 与y=kx+b，得到关于 m、n 的两个方程组，解方程组即可；（2）设点 P 的坐标是（t，t3） ，则 M（t，t 22t3） ，用 P 点的纵坐标减去 M 的纵坐标得到 PM 的长，即 PM=（t3）（t 22t 3）= t 2+3t，然后根据二次函数的最值得到;当 t= =

13、时，PM 最长为 =，再利用三角形的面积公式利用 SABM =SBPM +SAPM计算即可；（3）由 PMOB ，根据平行四边形的判定得到当 PM=OB 时，点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当 P 在第四象限：PM=OB=3，PM 最长时只有，所以不可能；当 P 在第一象限：PM=OB=3， （t 22t3）（ t3）=3；当 P 在第三象限：PM =OB=3，t 23t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的 t 的值解答：解：（1）把 A（3，0）B（0，3）代入 y=x2+mx+n，得解得 ，所以抛物线的解析式是 y=x2 2x3设直线 AB 的解析式是 y=

14、kx+b，把 A（3，0）B（0，3）代入 y=kx+b，得 ，解得 ，所以直线 AB 的解析式是 y=x3；（2）设点 P 的坐标是（t，t3） ，则 M（t，t 22t3） ，因为 p 在第四象限，所以 PM=（t3）（t 22t 3）= t 2+3t，当 t= =时，二次函数的最大值，即 PM 最长值为 =，则 SABM =SBPM +SAPM = = （3）存在，理由如下：PMOB，当 PM=OB 时，点 P、M、 B、O 为顶点的四边形为平行四边形，当 P 在第四象限：PM =OB=3，PM 最长时只有，所以不可能有 PM=3当 P 在第一象限：PM =OB=3， （t 22t 3）

15、（t3） =3，解得 t1= ，t 2= （舍去） ，所以 P 点的横坐标是 ；当 P 在第三象限：PM =OB=3，t 23t =3，解得 t1= （舍去） ，t 2= ，所以 P 点的横坐标是所以 P 点的横坐标是 或 【例题 3】分析：（1）首先根据 OA 的旋转条件确定 B 点位置，然后过 B 做 x 轴的垂线，通过构建直角三角形和 OB 的长（即 OA 长）确定 B 点的坐标（2）已知 O、A、B 三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式|（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出 P 点的坐标，而 O、B 坐标已知，可先表示出OPB 三边的边长表达式，然后分

16、OP=OB、OP=BP、OB=BP 三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的 P 点解答：解：（1）如图，过 B 点作 BCx 轴，垂足为 C，则BCO =90，AOB=120，BOC=60，又OA= OB=4，OC =OB=4=2，BC= OBsin60=4 =2 ，点 B 的坐标为（2，2 ） ；（2）抛物线过原点 O 和点 A、B，可设抛物线解析式为 y=ax2+bx，将 A（4，0） ，B（22 ）代入，得 ，解得 ，此抛物线的解析式为 y= x2+ x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是直线 x=2，直线 x=2 与 x 轴的交点为 D，设点 P 的坐标为（2，y ） ，若 OB=

17、OP，则 22+|y|2=42，解得 y=2 ，当 y=2 时，在 RtPOD 中，PDO=90，sinPOD= = ，POD=60，POB=POD+AOB=60+120=180，即 P、O 、B 三点在同一直线上，y=2 不符合题意，舍去，点 P 的坐标为（2，2 ）若 OB=PB，则 42+|y+2 |2=42，解得 y=2 ，故点 P 的坐标为（2，2 ） ，若 OP=BP，则 22+|y|2=42+|y+2 |2，解得 y=2 ，故点 P 的坐标为（2，2 ） ，综上所述，符合条件的点 P 只有一个，其坐标为（2，2 ） ，【例题 5】 【考点：二次函数综合题专题：压轴题 】分析：（1

18、）设直线 BC 的解析式 为 y=mx+n，将 B（5，0） ，C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线 BC 的解析式；同理，将 B（5，0） ，C（0，5）两点的坐标代入 y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）MN 的长是直线 BC 的函 数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN 的长和 M 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出 MN 的最大值；（3）先求出ABN 的面积 S2=5，则 S1=6S2=30再设平行四边形 CBPQ 的边 BC上的高为 BD，根据平行四边形的面积公式得出 BD=3 ，过点 D 作直线 BC 的平行线，交抛

19、物线与点 P，交 x 轴于点 E，在直线 DE 上截取 PQ=BC，则四边形CBPQ 为平行四边形证明EBD 为等腰直角三角形，则 BE= BD=6，求出 E的坐标为（1，0） ，运用待定系数法求出直线 PQ 的解析式为 y=x1，然后解方程组 ，即可求出点 P 的坐标解答：（1）设直线 BC 的解析式为 y=mx+n，将 B（5，0） ，C（0，5）两点的坐标代入，得 ，解得 ，所以直线 BC 的解析式为 y=x+5；将 B（5，0） ，C（0，5）两点的坐标代入 y=x2+bx+c，得 ，解得 ，所以抛物线的解析式为 y=x26x+5；|（2）设 M（x，x 26x +5） （1x5） ，

20、则 N（x，x+5） ，MN=（x+5）（x 26x+5）=x 2+5x=（x） 2+ ，当 x=时，MN 有最大值 ；（3）MN 取得最大值时，x=2.5，x+5=2.5+5=2.5，即 N（2.5，2.5） 解方程 x26x+5=0，得 x=1 或 5A（1，0） ，B（5，0） ，AB=51=4，ABN 的面积 S2=42.5=5，平行四边形 CBPQ 的面积 S1=6S2=30设平行四边形 CBPQ 的边 BC 上的高为 BD，则 BCBDBC=5 ，BCBD=30 ， BD =3 过点 D 作直线 BC 的平行线，交抛物线与点 P，交 x 轴于点 E，在直线 DE 上截取 PQ=BC

21、，则四边形 CBPQ 为平行四边形BC BD，OBC=45，EBD=45，EBD 为等腰直角三角形， BE= BD=6，B（5，0） ，E（1，0） ，设直线 PQ 的解析式为 y=x+t，将 E（1，0）代入，得 1+t=0，解得 t=1直线 PQ 的解析式为 y=x1解方程组 ，得 ，点 P 的坐标为 P1（2，3） （与点 D 重合）或 P2（3，4） 【巩固 6】 如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的图象过点 C（0，1） ，顶点为 Q（2，3） ，点 D 在 x 轴正半轴上，且 OD=OC （1）求直线 CD 的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线 CD 绕点 C 逆

22、时针方向旋转 45所得直线与抛物线相交于另一点 E，求证：CEQCDO；（4）在（3）的条件下，若点 P 是线段 QE 上的动点，点 F 是线段 OD 上的动点，问：在 P 点和 F 点移动过程中，PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由分析： （1）利用待定系数法求出直线解析式；（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（3）关键是证明CEQ 与CDO 均为等腰直角三角形；（4）如答图所示，作点 C 关于直线 QE 的对称点 C，作点 C 关于 x 轴的对称点 C，连接 CC，交 OD 于点 F，交 QE 于点 P，则PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由

23、轴对称的性质可知，PCF 的周长等于线段 CC的长度利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时PCF 的周长最小如答图所示，利用勾股定理求出线段 CC的长度，即PCF 周长的最小值解答：解：（1）C（0，1） ，OD=OC，D 点坐标为（1，0） 设直线 CD 的解析式为y=kx+b（k0） ，将 C（0，1） ，D（1，0）代入得： ，解得：b=1，k=1，直线 CD 的解析式为：y=x+1（2）设抛物线的解析式为 y=a（x2） 2+3，将 C（0，1）代入得：1=a（2） 2+3，解得 a= y= （x2） 2+3= x2+2x+1（3）证明：由题意可知，ECD=45，OC=OD，且

24、 OCOD，OCD 为等腰直角三角形，ODC=45，ECD=ODC，CEx 轴，则点 C、E 关于对称轴（直线 x=2）对称，点 E 的坐标为（4，1） |如答图所示，设对称轴（直线 x=2）与 CE 交于点 M，则 M（2，1） ，ME=CM=QM =2，QME 与QMC 均为等腰直角三角形， QEC= QCE=45又OCD 为等腰直角三角形，ODC=OCD=45 ，QEC=QCE= ODC =OCD=45，CEQCDO（4）存在如答图所示，作点 C 关于直线 QE 的对称点 C，作点 C 关于 x 轴的对称点 C，连接CC，交 OD 于点 F，交 QE 于点 P，则PCF 即为符合题意的周

25、长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF 的周长等于线段 CC的长度（证明如下：不妨在线段 OD 上取异于点 F 的任一点 F，在线段 QE 上取异于点 P 的任一点 P，连接FC，FP ，P C由轴对称的性质可知， PCF 的周长=FC+FP+PC；而 FC+FP+PC是点 C，C 之间的折线段，由两点之间线段最短可知：FC+FP+PCCC ，即 PCF的周长大于PCE 的周长 ）如答图所示，连接 CE， C，C关于直线 QE 对称，QCE 为等腰直角三角形，QCE 为等腰直角三角形，CEC为等腰直角三角形，点 C的坐标为（4，5） ；C，C关于 x 轴对称，点 C的坐标为（0，1） 过点 C作 CNy 轴于点 N，则NC=4， NC=4+1+1=6，在 RtCNC中，由勾股定理得： CC= = = 综上所述，在 P 点和 F 点移动过程中，PCF 的周长存在最小值，最小值为