初中几何三角形五心及定理性质.docx

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1、初中几何三角形五心定律及性质三角形重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理总称重心定理三角形三条边中线交于一点。该点叫做三角形重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度质量均匀三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线交点，重心因而得名）重心性质：1、重心到顶点距离及重心到对边中点距离之比为21。2、重心和三角形任意两个顶点组成3个三角形面积相等。即重心到三条边距离及三条边长成反比。3、重心到三角形3个顶点距离平方和最小。4、在平面直角坐标系中，重心坐标是顶点坐标算术平均数，即其重

2、心坐标为（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点三条向量之和等于零向量。外心定理三角形外接圆圆心，叫做三角形外心。外心性质：1、三角形三条边垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。2、若O是ABC外心，则BOC=2A（A为锐角或直角）或BOC=360-2A（A为钝角）。3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，及斜边中点重合。5、外心到三顶点距离相等垂心定理图1 图2三角形三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形垂心。垂心性质：1、三角形三个顶点，三个垂

3、足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OGGH=12。（此直线称为三角形欧拉线（Euler line）3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离2倍。4、垂心分每条高线两部分乘积相等。推论：1. 若 D 、 E 、 F 分别是 ABC 三边高垂足，则 1 = 2 。（图1）2. 三角形垂心是其垂足三角形内心。（图1）3. 若 D 、 E 、 F 分别是 ABC 三边高垂足，则 1 = 2 。（图2）定理证明已知：ABC中，AD、BE是两条高，AD、BE相交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CFAB证明：连接DEADB=AEB=9

4、0度A、B、D、E四点共圆ADE=ABE又ODC=OEC=90度O、D、C、E四点共圆ACF=ADE=ABE又ABE+BAC=90度ACF+BAC=90度CFAB因此，垂心定理成立内心定理三角形内切圆圆心，叫做三角形内心。内心性质：1、三角形三条内角平分线交于一点。该点即为三角形内心。2、直角三角形内心到边距离等于两直角边和及斜边差二分之一。3、P为ABC所在空间中任意一点，点0是ABC内心充要条件是：向量P0=(a向量PA+b向量PB+c向量PC)/(a+b+c).4、O为三角形内心，A、B、C分别为三角形三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC)

5、:BC5、(欧拉定理)ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr6、（内角平分线分三边长度关系）ABC中，0为内心，A 、B、 C内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.7、内心到三角形三边距离相等。旁心定理三角形旁切圆（及三角形一边和其他两边延长线相切圆）圆心，叫做三角形旁心。旁心性质：1、三角形一内角平分线和另外两顶点处外角平分线交于一点，该点即为三角形旁心。旁心一定在三角形外。2、任何三角形都存在三个旁切圆、三个旁心。3、旁心到三角形三边距离相等。如图，点M就是ABC

6、一个旁心。三角形任意两角外角平分线和第三个角内角平分线交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。附：三角形中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。巧记诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心，重外垂内和旁心， 五心性质很重要，认真掌握莫记混重 心三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好外 心三角形有六元素，三个内角有三边 作三边中垂线，三线相交共一点此点定义为外心，用它可作外接圆 内心外心莫记混，内切外接是关键垂 心三角形上作三高，三高必于垂心交 高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.内 心三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”，如此定义理当然6 / 6