初三数学圆的经典讲义.docx

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1、圆目 录圆定义及相关概念垂经定理及其推论圆周角及圆心角圆心角、弧、弦、弦心距关系定理圆内接四边形会用切线 , 能证切线切线长定理三角形内切圆了解弦切角及圆幂定理（选学）圆及圆位置关系圆有关计算一圆定义及相关概念【考点速览】考点1：圆对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心每一条直线都是它对称轴。圆心是它对称中心。考点2：确定圆条件；圆心和半径 圆心确定圆位置，半径确定圆大小； 不在同一条直线上三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点线段叫做弦。经过圆心弦叫做直径。直径是圆中最大弦。弦心距：圆心到弦距离叫做弦心距。弧：圆上任意两点间部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必

2、注意区分等弧，等弦，等圆概念）弓形：弦及它所对应弧所构成封闭图形。弓高：弓形中弦中点及弧中点连线段。（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定已经不能再固定方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦一个端点，得到直角三角形。如下图：考点4：三角形外接圆：锐角三角形外心在 ，直角三角形外心在 ,钝角三角形外心在 。 考点5点和圆位置关系 设圆半径为r，点到圆心距离为d，则点及圆位置关系有三种。 点在圆外dr；点在圆上d=r；点在圆内 dr；【典型例题】例1 在ABC 中，ACB=90,AC=2,BC=4，CM是AB边上中线，以点C为圆心，以为半径作圆，试

3、确定A,B,M三点分别及C有怎样位置关系，并说明你理由。MABC例2已知，如图，CD是直径，AE交O于B，且AB=OC，求A度数。DOEBAC例3 O平面内一点P和O上一点距离最小为3cm，最大为8cm，则这圆半径是_cm。例4 在半径为5cm圆中，弦ABCD，AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD距离是多少？例5 如图,O直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm,，ABDCOE求CD长例6.已知：O半径0A=1，弦AB、AC长分别为，求度数二垂径定理及其推论【考点速览】考点1垂径定理：垂直于弦直径平分这条弦，并且平分弦所对两条孤推论1：平分弦（不是直径）直径重直于弦，并且

4、平分弦所对两条孤弦垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对两条孤平分弦所对一条孤直径,垂直平分弦，并且平分弦所对另一条孤推论2圆两条平行弦所夹孤相等垂径定理及推论1中三条可概括为： 经过圆心；垂直于弦；平分弦(不是直径)；平分弦所对优弧；平分弦所对劣弧以上五点已知其中任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】例1 如图AB、CD是O弦，M、N分别是AB、CD中点，且ABDCONM求证：AB=CD例2已知，不过圆心直线交O于C、D两点，AB是O直径，AE于E，BF于F。求证：CE=DF 【考点速练】1.已知O半径为2cm，弦AB长，则这条弦中点到弦所对劣孤中点距离为（ ）. A1cm B.2cm C.

5、D.cm3如图1，O半径为6cm，AB、CD为两弦，且ABCD，垂足为点E，若CE=3cm，DE=7cm，则AB长为（ ） A10cm B.8cm C. D.4.有下列判断：直径是圆对称轴；圆对称轴是一条直径；直径平分弦及弦所对孤；圆对称轴有无数条.其中正确判断有（ ） A0个 B.1个 C.2个 D.3个5如图2，同心圆中，大圆弦交AB于C、D若AB=4，CD=2，圆心O到AB距离等于1，那么两个同心圆半径之比为（ ） A3:2 B.:2 C.: D.5:46.如图,O直径为10,弦AB=8,P是弦AB上一个动点,那么OP长取值范围是 .7.如图,已知有一圆弧形拱桥,拱跨度AB=16cm,拱

6、高CD=4cm,那么拱形半径是_ _m.ABDCO8008.如图，直径为1000mm圆柱形水管有积水（阴影部分），水面宽度AB为800mm，求水最大深度CD三圆周角及圆心角【考点速览】考点1圆心角：顶点在圆心角叫圆心角，圆心角度数等于它所对弧度数。Eg: 判别下列各图中角是不是圆心角，并说明理由。圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交角叫圆周角。两个条件缺一不可Eg: 判断下列图示中，各图形中角是不是圆周角，并说明理由考点2定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角一半Eg: 如下三图，请证明。 考点34. 推论：同弧或等弧所对圆周角相等，同圆或等圆中，相等圆周角所对弧也相等半圆（或直径）所对圆周角

7、是直角，圆周角所对弦是直径如果三角形一边上中线等于这边一半，那么这个三角形是直角三角形经典例题例1：下图中是圆周角有 .是圆心角有 。 例2：如图，A是O圆周角，且A35,则OBC=_.BOCAOABC例3：如图，圆心角AOB=100，则ACB=EFCDGO例例：如图，是O直径，点都在O上，若，则 （例）例如图2，O直径过弦中点，则 例6：已知：如图，AD是O直径，ABC=30，则CAD=_._D_C_B_A_O 例7：已知O中，则O半径为四圆心角、弧、弦、弦心距关系定理【考点速览】圆心角, 弧,弦,弦心距之间关系定理:在同圆或等圆中，相等圆心角所对孤相等，所对弦相等，所对弦弦心距相等推论：在

8、同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应其余各组量都分别相等.（务必注意前提为：在同圆或等圆中）ABEFOOPOCO1O2ODO例1如图所示，点O是EPF平分线上一点，以O为圆心圆和角两边分别交于A、B和C、D，求证：AB=CD例2、已知：如图，EF为O直径，过EF上一点P作弦AB、CD，且APF=CPF。求证：PA=PC。OABC例3如图所示，在中，A=，O截三条边长所得三条弦等长，求BOC.例4如图，O弦CB、ED延长线交于点A，且BC=DE求证：AC=AE OCAEBD例5如图所示，已知在O中，弦AB=CB，ABC=，ODAB于D，OEBC

9、于E求证：是等边三角形OADEBC五圆内接四边形【考点速览】圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形。判断四点共圆方法之一：四边形对角互补即可。【典型例题】例1 （1）已知圆内接四边形ABCD中，A:B:C=2:3:4，求D度数ABCDO（2）已知圆内接四边形ABCD中，如图所示，AB、BC、CD、AD度数之比为1:2:3:4,求A、B、C、D度数例2 四边形ABCD内接于O，点P在CD延长线上，且APBD求证：ADCBOP例3 如图所示，是等边三角形，D是BC上任一点求证：DB+DC=DAABCDO六会用切线，能证切线考点速览：考点1直线及圆位置关系

10、图形公共点个数d及r关系直线及圆位置关系0dr相离1d=r相切2dr相交考点2切线：经过半径外端并且垂直于这条半径直线是圆切线。符号语言 OA l 于A， OA为半径 l 为O切线考点3判断直线是圆切线方法：及圆只有一个交点直线是圆切线。圆心到直线距离等于圆半径直线是圆切线。经过半径外端，垂直于这条半径直线是圆切线。（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径）考点4切线性质定理： 圆切线垂直于经过切点半径。 推论1：经过圆心且垂直于切线直线必经过切点。 推论2：经过切点且垂直于切线直线必经过圆心。（请务必记住切线重要用法： 见切线就要连圆心和切点得到垂直）经典例题：例

11、1.如图，ABC内接于O， AB是 O直径，CAD ABC，判断直线AD及O位置关系，并说明理由。例2.如图,OA=OB=13cm，AB=24cm，O半径为5cm，AB及O相切吗？为什么?例3.如图,PA、PB是O切线，切点为A、B，C是O上一点，若P40。，求C度数。ABCEOD例4如图所示，中，以AC为直径作O交AB于D，E为BC中点。求证：DE是O切线中考链接1.如图，在以O为圆心两个同心圆中，AB经过圆心O，且及小圆相交于点A，及大圆相交于点B，小圆切线AC及大圆相交于点D，且CO平分ACB.试判断BC所在直线及小圆位置关系，并说明理由。2. 如图，在RtABC中，C=90。 ，点O在

12、AB上，以O为圆心，OA长为半径圆及AC、AB分别交于点D、E，且CBD= A，判断BD及O位置关系，并证明你结论。七切线长定理考点速览：考点1切线长概念： 经过圆外一点做圆切线，这点和切点之间线段长，叫做这点到圆切线长 切线长和切线区别AAOACADABAPA 切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段长，而圆外一已知点到切点之间距离，可以度量考点2 切线长定理： 从圆外一点引圆两条切线，它们切线长相等，圆心和这一点连线平分两条切线夹角要注意：此定理包含两个结论，如图，PA、PB切O于A、B两点，PA=PB PO平分考点3 两个结论： 圆外切四边形对边和相等；圆外切等腰梯形中位线等于腰长

13、经典例题：例1 已知PA、PB、DE分别切O于A、B、C三点，若PO=13，周长为24，AEPDBCO求：O半径；若，度数例2 如图，O分别切三边AB、BC、CA于点D、E、F，若EFDCOAB（1）求AD、BE、CF长；（2）当，求内切圆半径rEFDCOAB例3如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形周长为？AOCDBBBEF考点速练1：1如图，O是内切圆，D、E、F为切点，则 2直角三角形两条直角边为5、12，则此直角三角形外接圆半径为 ，内切圆半径为 AOCDBBBEFGB3如图，直线AB、BC、CD分别及O相切于点E、F、G，且ABCD，若OB=6，OC=8，则

14、 ，O半径= ，BE+CG= 八三角形内切圆考点速览考点1概念：和三角形各边都相切圆叫做三角形内切圆，内切圆圆心叫做三角形内心，这个三角形叫做圆外切三角形概念推广：和多边形各边都相切圆叫做多边形内切圆，这个多边形叫做圆外切多边形考点2三角形外接圆及内切圆比较：名称确定方法图形性质外心（三角形外接圆圆心）三角形三边中垂线交点（1）OA=OB=OC；（2）外心不一定在三角形内部内心（三角形内切圆圆心）三角形三条角平分线交点（1）到三边距离相等；（2）OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB；（3）内心在三角形内部考点3求三角形内切圆半径1、直角三角形ABC内切圆O半径为.2、一般三角形已知三

15、边，求ABC内切圆O半径r. （海伦公式S ， 其中s=)经典例题：例1阅读材料：如图（1），ABC周长为L，内切圆O半径为r，连结OA，OB，ABC被划分为三个小三角形，用SABC表示ABC面积 SABC =SOAB +SOBC +SOCA 又SOAB =ABr，SOBC =BCr，SOCA =ACr SABC =ABr+BCr+CAr =Lr（可作为三角形内切圆半径公式） （1）理解及应用：利用公式计算边长分为5，12，13三角形内切圆半径； （2）类比及推理：若四边形ABCD存在内切圆（及各边都相切圆，如图（2）且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形内切圆半径公式；（3）拓

16、展及延伸：若一个n边形（n为不小于3整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1，a2，a3，an，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）例2如图，ABC中，A=m （1）如图（1），当O是ABC内心时，求BOC度数； （2）如图（2），当O是ABC外心时，求BOC度数；（3）如图（3），当O是高线BD及CE交点时，求BOC度数例3如图，RtABC中，AC=8，BC=6，C=90，I分别切AC，BC，AB于D，E，F，求RtABC内心I及外心O之间距离考点速练1：1如图1，O内切于ABC，切点为D，E，F已知B=50，C=60，连结OE，OF，DE，DF，那么EDF等于（ ）A40 B55

17、 C65 D70 图1 图2 图32如图2，O是ABC内切圆，D，E，F是切点，A=50，C=60，则DOE=（ ） A70 B110 C120 D1303如图3，ABC中，A=45，I是内心，则BIC=（ ） A112.5 B112 C125 D554下列命题正确是（ ） A三角形内心到三角形三个顶点距离相等 B三角形内心不一定在三角形内部 C等边三角形内心，外心重合 D一个圆一定有唯一一个外切三角形5在RtABC中，C=90，AC=3，AB=5，则它内切圆及外接圆半径分别为（ ） A1.5，2.5 B2，5 C1，2.5 D2，2.56如图，在ABC中，AB=AC，内切圆O及边BC，AC，

18、AB分别切于D，E，F （1）求证：BF=CE；（2）若C=30，CE=2，求AC长7如图，I切ABC边分别为D，E，F，B=70，C=60，M是弧DEF上动点（及D，E不重合），DMF大小一定吗？若一定，求出DMF大小；若不一定，请说明理由 九了解弦切角及圆幂定理（选学）【考点速览】考点11. 弦切角概念： 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切角叫做弦切角。 注意：弦切角必须具备三个条件：（1）顶点在圆上（切点），（2）一边和圆相切，（3）一边和圆相交（弦），三者缺一不可。 2. 弦切角定理： 弦切角等于它所夹弧对圆周角。 3. 弦切角定理推论： 如果两个弦切角所夹弧相等，那么这两个弦切

19、角也相等。考点2圆幂定理：圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论统一归纳结果。1、相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成两条线段长积相等。2、相交弦定理推论：如果弦及直径相交，那么弦一半是它分直径所成两条线段比例中项。3、切割线定理：从圆外一点引圆切线和割线，切线长是这点到割线及圆交点两条线段长比例中项。4、切割线定理推论（或称割线定理）： 从圆外一点引圆两条割线，这一点到每条割线及圆交点两条线段长积相等。典型例题：例1. 如图，经过O上点T切线和弦AB延长线相交于点C。 求证：ATCTBC 例2. 已知：如图，AB是O弦，P是AB上一点，AB10cm，PA

20、4cm，OP5cm，求O半径。 例3. AB是半圆O直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于D，连结AD，若AD15，求BC长。十圆及圆位置关系考点速览：1圆和圆位置关系（设两圆半径分别为R和r，圆心距为d）外离外切相交内切内含图形O1O2O1O2O1O2O1O2O1O2公共点0个1个2个1个0个d、r、R关系外公切线2条2条2条1条0条内公切线2条1条0条0条0条2有关性质： （1）连心线：通过两圆圆心直线。如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。 （2）公共弦：相交两圆连心线垂直平分两圆公共弦。 （3）公切线：和两个圆都相切直线，叫做两圆公切线。 两个圆在公切线同旁 两个圆在公切线两旁外公

21、切线内公切线3相交两圆性质 定理：相交两圆连心线垂直平分两圆公共弦。4相切两圆性质定理：相切两圆连心线经过切点经典例题：例1、如图，已知及相交于A、B两点，P是上一点，PB延长线交于点C，PA交于点D，CD延长线交于为N.（1）过点A作AE/CN交于点E.求证：PA=PE.PABCEND（2）连接PN，若PB=4，BC=2，求PN长.例2 如图，在中，圆A半径为1，若点O在BC边上运动（及点B、C不重合），设面积为y.（1）求关于函数关系式，并写出取值范围；（2）以点O为圆心，BO长为半径作O，当圆O及A相切时，求面积.OBCA经典得不能再经典练习一选择1.已知O1及O2半径分别为5cm和3c

22、m，圆心距020=7cm，则两圆位置关系为 A外离 B外切 C相交 D内切2.已知两圆半径分别为2和3，圆心距为，若两圆没有公共点，则下列结论正确是（ ）ABC或D或3.大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆位置关系为（ ） A外离 B外切相交 D内含 4.右图是一张卡通图，图中两圆位置关系（ ） A相交 B外离 C内切 D内含5.若两圆半径分别是1cm和5cm，圆心距为6cm，则这两圆位置关系是（ ）A内切 B相交 C外切 D外离6.外切两圆圆心距是7，其中一圆半径是4，则另一圆半径是A11B7C4D37.已知O1和O2半径分别为1和4，如果两圆位置关系为相交，那么圆心距O1

23、O2取值范围在数轴上表示正确是B310245D310245A310245C310245 8.若两圆半径分别是2cm和3cm,圆心距为5cm，则这两个圆位置关系是（ ）A. 内切 B.相交 C.外切 D. 外离9.若及相切，且，半径，则半径是（ ）A 3 B 5 C 7 D 3 或7 10.已知及外切，它们半径分别为2和3，则圆心距长是（ ）A=1B5CD11.已知两圆半径分别为3cm和2cm，圆心距为5cm，则两圆位置关系是A外离 B外切 C相交 D内切12.如图，把O1向右平移8个单位长度得O2，两圆相交于A.B，且O1AO2A，则图中阴影部分面积是 A.4-8 B. 8-16 C.16-1

24、6 D. 16-3213若两圆直径分别是2cm和10cm，圆心距为8cm，则这两个圆位置关系是 （ ） A.内切 B.相交 C.外切 D.外离ABOC14.如图，两个同心圆半径分别为3cm和5cm，弦AB及小圆相切于点C，则AB长为（）A4cm B5cm C6cm D8cm POBA15.如图，两同心圆圆心为O，大圆弦AB切小圆于P，两圆半径分别为6，3，则图中阴影部分面积是（ ）ABCD16若相交两圆半径分别为1和2，则此两圆圆心距可能是（ ）A1B2C3D417.图中圆及圆之间不同位置关系有（ ）A2种B3种C4种D5种18已知半径为3cm，半径为4cm，两圆圆心距为7cm，则及位置关系是

25、 二填空19.已知两圆半径分别是2和3，圆心距为6，那么这两圆位置关系是 .20.已知相交两圆半径分别为和，公共弦长为，则这两个圆圆心距是_21.已知半径为3cm，半径为4cm，两圆圆心距为7cm，则及位置关系是 22.已知和半径分别是一元二次方程两根，且则和位置关系是 23.如图，半径分别为1cm，2cm，圆心距为5cm如果由图示位置沿直线向右平移3cm，则此时该圆及位置关系是_24.已知相切两圆半径分别为和，这两个圆圆心距是 25.已知O1和O2半径分别为和且则O1和O2位置关系为 26已知三边分别是，两圆半径，圆心距，则这两个圆位置关系是27如图，正方形中，是边上一点，以为圆心.为半径半

26、圆及以为圆心，为半径圆弧外切，则值为 DCEBA（27） OyxCDBAO1O260（第28题）l十一.圆有关计算考点速览：【例题经典】有关弧长公式应用例1 如图，RtABC斜边AB=35，AC=21，点O在AB边上，OB=20，一个以O为圆心圆，分别切两直角边边BC、AC于D、E两点，求弧DE长度有关阴影部分面积求法COABDE例2 如图所示，等腰直角三角形斜边，是中点，以为圆心半圆分别及两腰相切于、求圆中阴影部分面积求曲面上最短距离例3 如图，底面半径为1，母线长为4圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行最短路线长是（ ） A2 B4 C4 D5求圆锥侧面积例4 如图1

27、0，这是一个由圆柱体材料加工而成零件，它是以圆柱体上底面为底面，在其内部“掏取”一个及圆柱体等高圆锥体而得到，其底面直径AB=12cm，高BC=8cm，求这个零件表面积（结果保留根号）【考点速练】一、基础训练1已知扇形圆心角为120，半径为2cm，则扇形弧长是_cm，扇形面积是_cm22如图1，两个同心圆中，大圆半径OA=4cm，AOB=BOC=60，则图中阴影部分面积是_cm2 （1） （2） （3） （4）3如图2，圆锥底面半径为6cm，高为8cm，那么这个圆锥侧面积是_cm24如图3，在纸上剪下一个圆形和一个扇形纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆半径为r，扇形半径为R，扇形圆心角等于

28、120，则r及R之间关系是（ ） AR=2r BR=r CR=3r DR=4r5如图4，圆锥底面半径为3cm，母线长为5cm，则它侧面积是（ ） A60cm2 B45cm2 C30cm2 D15cm26已知圆锥侧面展开图圆心角为90，则该圆锥底面半径及母线长比为（ ） A1：2 B2：1 C1：4 D4：17用半径为30cm，圆心角为120扇形围成一个圆锥侧面，则圆锥底面半径为（ ） A10cm B30cm C45cm D300cm8将直径为64cm圆形铁皮，做成四个相同圆锥容器侧面（不浪费材料，不计接缝处材料损耗），那么每个圆锥容器高为（ ） A8cm B8cm C16cm D16cm9如图5，圆心角都是90扇形OAB及扇形OCD叠放在一起，OA=3，OC=1，分别连结AC、BC，则圆中阴影部分面积为（ ）A B C2 D4 （5） （6） （7）25 / 26