偏微分方程数值解(试题).doc
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1、偏微分方程数值解试题1、考虑一维的抛物型方程:(1)导出时间离散是一阶向前Euler格式,空间离散是二阶精度的差分格式;(2)讨论(1)中导出的格式的稳定性;(3)若时间离散为二阶精度的蛙跳格式, 空间离散是二阶精度的中心差分,问所导出的格式稳定吗?为什么?2、考虑Poission方程 其中是图1中的梯形。 图1 梯形使用差分方法来离散该方程。由于梯形的对称性,可以考虑梯形的一半,如图2,图2 从物理空间到计算区域的几何变换为了求解本问题,采用如下方法:将的一半投影到正方形区域,然后在上使用差分方法来离散该方程。在计算区域上用个网格点,空间步长为。(1)引入一个映射将原区域(带有坐标)变换到单
2、位正方形(带有坐标)。同时导出在新区域上的方程和边界条件。(2)在变换区域,使用泰勒展开导出各导数项在区域内部和边界点上的差分格式。3、对线性对流方程,其一阶迎风有限体积法离散格式为=()(1)写出时的一阶迎风有限体积法的离散格式;(2)写出为任意符号的常数的一阶迎风有限体积法的守恒形式。(3)使用说明一阶迎风有限体积法不是熵保持的格式。4、对一维Poission方程将分成等分,写出用中心差分离散上述方程的差分格式,并问:(1)该差分格式与原微分方程相容吗?为什么?(2)该差分格式稳定吗?为什么?(3)该差分格式是否收敛到原微分方程的解?为什么?(4)取,写出该差分格式的矩阵表示。5、叙述二重
3、网格方法的执行过程,并对一维常微分方程边值问题给出限制算子和延拓算子矩阵(以细网格:,粗网格:为例)。6、对一阶波动方程 (1)写出用中心差分进行空间离散,用一阶向后Euler进行时间离散的差分格式;(2)使用线方法,分析上述格式的稳定性。7、考虑散热片的设计问题。二维散热片如图3所示,是由一个中心柱和4个水平的子片构成;散热片从底部的均匀通量源通过大表面的子片散热到周围的空气中。散热片可由一个5维参数向量来表示,其中,和;可取给定设计集中的任意值。是第个子片热传导系数(是中柱的热传导系数);Bi是Biot数,反映在散热片表面的对流输运的热传导系数(大的Bi意味好的热传导)。比如,假定我们选择
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