初一数学奥林匹克竞赛题(含答案~).doc

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1、|初一数学奥林匹克竞赛题（含答案）初一奥数题一甲多开支100 元，三年后负债 600 元求每人每年收入多少？ S 的末四位数字的和是多少？4一个人以 3 千米/小时的速度上坡，以 6 千米/小时的速度下坡，行程 12 千米共用了 3 小时 20 分钟，试求上坡与下坡的路程5求和：6证明：质数 p 除以 30 所得的余数一定不是合数8若两个整数 x，y 使 x2+xy+y2能被 9 整除，证明：x 和 y 能被 3 整除9如图 195 所示在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 的中点为 M，N，MN 的延长线与 AB 边交于 P 点求证：PCD 的面积等于四边形 ABCD 的面积的一半解答

2、：所以 x=5000(元)|所以 S 的末四位数字的和为 1995=243因为a-b0，即ab即当 ba0 或 ba0 时，等式成立4设上坡路程为 x 千米，下坡路程为 y 千米依题意则有由有 2x+y=20， 由有 y=12-x将之代入得 2x+12-x=20所以 x=8(千米)，于是 y=4(千米)5第 n 项为所以|6设 p=30qr，0r30因为 p 为质数，故 r0，即 0r30假设r 为合数，由于 r30，所以 r 的最小质约数只可能为 2，3，5再由p=30qr 知，当 r 的最小质约数为 2，3，5 时，p 不是质数，矛盾所以，r一定不是合数7设由式得(2p-1)(2q-1)=

3、mpq，即(4-m)pq+1=2(p+q)可知 m4由，m0，且为整数，所以 m=1，2，3下面分别研究p，q(1)若 m=1 时，有解得 p=1，q=1，与已知不符，舍去(2)若 m=2 时，有因为 2p-1=2q 或 2q-1=2p 都是不可能的，故 m=2 时无解(3)若 m=3 时，有|解之得故 pq=88因为 x2+xy+y2=(x-y)2+3xy由题设，9(x 2+xyy 2)，所以3(x 2xyy 2)，从而 3(x-y) 2因为 3 是质数，故 3(x-y)进而 9(x-y)2由上式又可知，93xy，故 3xy所以 3x 或 3y若 3x，结合3(x-y)，便得 3y；若 3y

4、，同理可得，3x9连结 AN，CN，如图 1103 所示因为 N 是 BD 的中点，所以上述两式相加另一方面，SPCD =SCND S CNP S DNP 因此只需证明SAND S CNP S DNP 由于 M，N 分别为 AC，BD 的中点，所以SCNP =SCPM -SCMN=S APM -SAMN=S ANP 又 SDNP =SBNP ，所以|SCNP S DNP =SANP +SBNP =SANB =SAND |初一奥数题二1已知 3x2-x=1，求 6x3+7x2-5x2000 的值2某商店出售的一种商品，每天卖出 100 件，每件可获利 4 元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办

5、法增加利润，根据经验，这种商品每涨价 1 元，每天就少卖出 10 件试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？3如图 196 所示已知 CBAB，CE 平分BCD，DE 平分CDA，12=90求证：DAAB4已知方程组的解应为一个学生解题时把 c 抄错了，因此得到的解为求 a2b 2c 2的值5求方程xy-2x+y=4 的整数解6王平买了年利率 7.11的三年期和年利率为 7.86的五年期国库券共35000 元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为 47761 元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(一年期定期储蓄年利

6、率为 5.22)7对 k，m 的哪些值，方程组 至少有一组解？8求不定方程 3x4y13z=57 的整数解9小王用 5 元钱买 40 个水果招待五位朋友水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为 20 分、8 分、3 分小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？解答：|1原式=2x(3x 2-x)+3(3x2-x)-2x+2000 =2x131-2x+2000=20032原来每天可获利 4100 元，若每件提价 x 元，则每件商品获利(4x)元，但每天卖出为(100-10x)件如果设每天获利为 y 元，则y (4x)(100-10x)=400

7、100x-40x-10x 2=-10(x2-6x9)90400=-10(x-3)2490所以当 x=3 时，y 最大=490 元，即每件提价 3 元，每天获利最大，为 490元3因为 CE 平分BCD，DE 平分ADC 及12=90(图 1104)，所以ADCBCD=180，所以 ADBC 又因为 ABBC，由， ABAD4依题意有所以 a 2+b2+c2=345xy-2x+y=4，即 x(y-2)+(y-2)=2，所以(x+1)(y-2)=2因为x10，且 x，y 都是整数，所以所以有6设王平买三年期和五年期国库券分别为 x 元和 y 元，则|因为 y=35000-x，所以 x(10.071

8、13)(10.0522) 2+(35000-x)(1+0.07865)=47761，所以 1.3433x48755-1.393x=47761，所以 0.0497x=994，所以 x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元)7因为 (k1)xm-4， m 为一切实数时，方程组有唯一解当 k=1，m=4 时，的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解当 k=1，m4 时，无解所以，k1，m 为任何实数，或 k=1，m=4 时，方程组至少有一组解8由题设方程得z3m-yx=19-y-4(3m-y)-m =19+3y-13m原方程的通解为 其中 n，m 取任意整数值9设苹果、梨子、杏

9、子分别买了 x，y，z 个，则消去 y，得 12x-5z=180它的解是 x=90-5t，z=180-12t代入原方程，得 y=-23017t故 x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12tx=20，y=8，z=12|因此，小王的愿望不能实现，因为按他的要求，苹果至少要有123+456=2120 个|初一奥数题三1解关于 x 的方程2解方程其中 abc03求(8x 3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展开式中各项系数之和4液态农药一桶，倒出 8 升后用水灌满，再倒出混合溶液 4 升，再用水灌满，这时农药的浓度为 72，求桶的容量5满足-1.77x=-2x 的自然数 x 共有几

10、个？这里x表示不超过 x 的最大整数，例如-5.6=-6，3=36设 P 是ABC 内一点求：P 到ABC 三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围7甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行 24 千米，甲经过9 小时到东站，乙经过 16 小时到西站，求两站距离8黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减 1，这样继续下去，最后得到 19，1997，1999，问原来的三个数能否是 2，2，2？9设有 n 个实数 x1，x 2，x n，其中每一个不是+1 就是-1，且求证：n 是 4 的倍数解答：1化简得 6(a-1)x=3-6b+4ab，当 a1 时，2将原方程变形为