相似三角形证明技巧(整理~).doc

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1、|相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1)三角形相似的条件： ； ； .二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线 )，因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三

2、角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理 2找顶角对应相等 判定定理 1找底角对应相等 判定定理 1找底和腰对应成比例 判定定理 3e)相似形的传递性 若 1 2， 2 3，则 1 3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能

3、否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。例1、已知:如图,ABC中,CEAB,BFAC.求证: BACFE（判断“横定”还是“竖定”？ ）a)已知一对等角角b)己知两边对应成比例c)己知一个直角d)有等腰关系|例 2、如图，CD 是 RtABC 的斜边 AB 上的高，BAC 的平分线分别交 BC、CD 于点 E、F，ACAE=AFAB 吗？说明理由。分析方法：1）先将积式_2）_（ “横定”还是“竖定”？ ）例 3、已知：如图，

4、ABC 中，ACB=90 0，AB 的垂直平分线交 AB 于D，交 BC 延长线于 F。求证：CD 2=DEDF。 分析方法：1）先将积式_2）_（ “横定”还是“竖定”？ ）五、过渡法（或叫代换法）1、 等量过渡法（等线段代换法）例 1：如图 3，ABC 中，AD 平分BAC， AD 的垂直平分线 FE 交 BC 的延长线于 E求证：DE2BECE分析： 2、 等比过渡法（等比代换法）例 2：如图 4，在ABC 中，BAC=90 ，ADBC，E 是 AC 的中点，ED交 AB 的延长线于点 F求证： ABDC|3、等积过渡法（等积代换法）例 3：如图 5，在ABC 中，ACB=90 ，CD

5、是斜边 AB 上的高，G 是 DC 延长线上一点，过 B作 BEAG，垂足为 E，交 CD 于点 F求证：CD 2DFDG小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似；不相似，不用急：等线等比来代替。”同类练习：1 如图，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且ADE=C 求证：（1）ADEACB; (2)ADAB=AEAC. （1 题图） 2 如图，ABC 中，点 DE 在边 BC 上，且ADE 是等边三角形，BAC=120求证： （1）ADBCEA;（2）DE=BDCE;(3)ABAC=ADBC. 3 如图， 平行四边形 ABCD 中，E 为 BA 延长线上一点， D=ECA

6、.求证：ADEC=ACEB .|5如图，E 是平行四边形的边 DA 延长线上一点，EC 交 AB 于点 G,交 BD 于点 F,求证：FC=FGEF.6如图，E 是正方形 ABCD 边 BC 延长线上一点，连接 AE 交 CD 于 F,过 F 作 FMBE 交 DE 于 M.求证：FM=CF.7如图，ABC 中，AB=AC,点 D 为 BC 边中点，CEAB,BE 分别交 AD、AC 于点 F、G，连接 FC.求证：（1）BF=CF. (2)BF=FGFE.8如图，ABC=90,AD=DB,DEAB,求证：DC=DEDF.9如图，四边形 ABCD 中，ABCD,ABBC,ACBD。AD= BD

7、，过 E 作 EFAB 交 AD 于 F.是说明：（1）AF=BE;(2)AF=AEEC.|10ABC 中,BAC=90,ADBC,E 为 AC 中点。求证：AB:AC=DF:AF。11已知，CE 是 RTABC 斜边 AB 上的高，在 EC 延长线上任取一点 P,连接 AP,作 BGAP,垂足为 G ，交 CE 于点 D.试证：CE=EDEP.六、证比例式和等积式的方法：可用口诀： 遇等积，改等比，横看竖看找关系； 三点定形用相似，三点共线取平截；平行线，转比例，等线等比来代替； 两端各自找联系，可用射影和园幂例 1 如图 5 在ABC 中，AD、BE 分别是 BC、AC 边上的高，DF A

8、B 于 F，交 AC 的延长线于 H，交 BE 于 G，求证： (1)FG / FAFB / FH (2)FD 是 FG 与 FH 的比例中项例 2 如图 6，ABCD 中，E 是 BC 上的一点，AE 交 BD 于点 F，已知 BE：EC 3：1， SFBE18，求：(1)BF：FD (2)SFDA 例 3 如图 7 在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，M 是 AD 的中点，CM 的延长线交 AB 于 N求：图 5 A EFB DG C HCA DB EF图 6BE A CD MN|AN：AB 的值； 例 4 如图 8 在矩形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，BEAC 交 AC 于

9、 F，过 F 作 FGAB 交 AE 于 G求证：AG 2AF FC 例 5 如图在ABC 中，D 是 BC 边的中点，且 ADAC ， DEBC，交 AB 于点 E，EC 交 AD 于点F(1)求证： ABCFCD；(2)若 SFCD5，BC10，求 DE 的长例 6 如图 10 过ABC 的顶点 C 任作一直线与边 AB 及中线 AD 分别交于点 F 和 E过点 D 作DM FC 交 AB 于点 M(1)若 SAEF：S 四边形 MDEF2：3，求 AE：ED ；(2)求证：AEFB2AFED 例 7 己知如图 11 在正方形 ABCD 的边长为 1，P 是 CD 边的中点，Q 在线段 B

10、C 上，当 BQ 为何值时，ADP 与QCP 相似？例 8 己知如图 12 在梯形 ABCD 中，ADBC，A90 0，AB7，AD 2，BC 3试在边 AB 上确定点 P 的位置，使得以 P、A、D 为顶点的三角形与以 P、B、C 为顶点的三角形相似 例 9如图，已知ABC 中，AB=AC ，AD 是 BC 边上的中线，CFBA，BF 交 AD 于 P 点，交 AC 于 E 点。 求证：BP 2=PEPF。 A BCED G FAEB D M CF图 CE DA F M BPA DB Q C图 11图 12A DB CP12P3|例 10如图，已知：在ABC 中，BAC=900，ADBC，E

11、 是 AC 的中点，ED 交 AB 的延长线于F。 求证： 。 八、相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：（一）、作平行线例 1. 如图， 的 AB 边和 AC 边上各取一点 D 和 E，且使 ADAE，DE 延长线与 BC 延长线相交ABC于 F，求证： DEB D A C F E例 2. 如图，ABC 中，ABAC ，在 AB、AC 上分别截取 BD=CE，DE，BC 的延长线相交于点 F，证明：ABDF=ACEF。|例 3、如图 4

12、5，B 为 AC 的中点， E 为 BD 的中点，则 AF：AE=_.例 4、如图 4-7，已知平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于 O 点，E 为 AB 延长线上一点，OE 交BC 于 F，若 AB=a，BC=b，BE=c ，求 BF 的长例 5、ABC 中，在 AC 上截取 AD，在 CB 延长线上截取 BE，使AD=BE，求证：DF AC=BC FE例 6：如图ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交 AD 于 E，交 AB 于F，求证：AE：ED=2AF：FB。（二）、作延长线例 7. 如图，Rt ABC 中， CD 为斜边 AB 上的高，E 为 CD 的中点

13、，AE 的延长线交 BC 于 F，FG AB 于 G，求证：FG =CF BF2例 8如图 4-1，已知平行四边 ABCD 中，E 是 AB 的中点，ADF31，连 E、F 交 AC 于 G求 AG：AC 的值（三）、作中线例 10： 已知：如图，ABC 中，ABAC，BD AC 于 D求证： BC22CDAC|中考综合题型1.已知：如图，在 中， 是角平分线，试利用三角形相似的关系说明ABCBDA,36,DA22.如图，矩形 中， 厘米， 厘米（ ）动点 同时从 点出发，分别沿ABCD3ABa3MN， B， 运动，速度是 厘米秒过 作直线垂直于 ，分别交 ， 于 当1MABCDPQ，点 到达

14、终点 时，点 也随之停止运动设运动时间为 秒N t（1）若 厘米， 秒，则 _厘米；4atP（2）若 厘米，求时间 ，使 ，并求出它们的相似比；5ND 3如图，已知ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿AB、 BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是 2cm/s，当点 Q 到达点 C 时，P、Q 两点都停止运动，设运动时间为 t（s），解答下列问题：（1）当 t2 时，判断BPQ 的形状，并说明理由；（2）设BPQ 的面积为 S（ cm2），求 S 与 t 的函数关系式；4. 如图（ 10）所示：等边 ABC 中

15、，线段 AD 为其内角角平分线，过 D 点的直线 B1C1AC 于 C1 交 AB的延长线于 B1.D Q CP NBMA D Q CP NBMA|GFEDCBA请你探究： ， 是否都成立？ACDB1CB请你继续探究：若ABC 为任意三角形，线段 AD 为其内角角平分线，请问 一定成立吗？ACDB并证明你的判断.5. 如图 12，在平面直角坐标系中，点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上，四边形 ABCO 为矩形，AB =16，点 D 与点 A 关于 y 轴对称，AB:BC=4:3，点E、F 分别是线段 AD、AC 上的动点（点 E 不与点 A、D 重合），且CEF=ACB.（1）求 AC 的长

16、和点 D 的坐标；（2）说明AEF 与DCE 相似；6. 如图，在 RtABC 中，B90，AB1，BC ，以点 C 为圆21心，CB 为半径的弧交 CA 于点 D；以点 A 为圆心，AD 为半径的弧交 AB 于点 E（1）求 AE 的长度；（2）分别以点 A、E 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点 F（F 与 C 在 AB 两侧），连接 AF、EF，设 EF 交弧 DE 所在的圆于点 G，连接 AG，试猜想EAG 的大小，并说明理由7. 如图（1），ABC 与EFD 为等腰直角三角形，AC 与 DE 重合，AB=EF=9，BACDEF90，固定ABC，将EFD 绕点 A 顺时针旋转，当 DF 边与 AB 边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设 DE、DF（或它们的延长线）分别交 BC（或它的延长线）于 G、H 点，如图（2）.（1）问：始终与AGC 相似的三角形有 及 ；（2）设 CGx，BH y，求 y 关于 x 的函数关系式（只要求根据 2 的情况说明理由）；