2006典型例题解析第3章静定结构位移计算.doc

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1、第3章 静定结构位移计算3 1 基本概念图3-1虚拟单位力状态3-1-1 虚拟单位力状态构造方法虚拟单位力状态构造方法：（1）去掉所有荷载重画一个结构；（2）标出所求位移矢量；（3）该矢量变成单位力，即得虚拟单位力状态。 如图3-1a刚架求C点竖向位移和C截面转角，图3-1b和图3-1c为求相应位移所构造的虚拟单位力状态。3-1-2 位移计算公式虚拟单位力作用下，引起的内力和支座反力：实际荷载作用下，引起的内力：位移计算一般公式 荷载作用产生位移的计算公式1、梁或刚架结构 2、桁架结构 3、混合结构 支座移动引起位移计算公式温度引起位移计算公式式中：，h截面高度有弹性支座情况的位移计算公式图3

2、-2 图乘法示意图3-1-3 图乘法图乘法公式：图乘法公式条件：等截面直杆且EI=常数求 y0图形必须为一条直线正负号确定： 面积A 与y0同侧取“+”号注意：求面积的图形要会求面积和形心位置。为使计算过程简洁、明了，先将面积和形心处对应弯矩求出标在弯矩图一侧，然后直接代入图乘法公式求得位移。【解】 求B截面转角： （顺时针）求D点的竖向位移： 例题32图【例题3-2】分别计算图示结构A点、B点的竖向位移。【分析】利用虚力原理计算位移，首先需要构造一个与所求位移对应的虚拟单位力状态，然后计算虚内力在实际变形上所做的内力虚功，对于荷载作用下梁或刚架的位移计算，仅需计算在弯曲变形上的内力虚功，为此

3、，需要作荷载产生的弯矩图（如图b所示）。构造单位力状态：A点、B点竖向位移所对应的虚拟单位力状态分别如图d、c所示。求B点竖向位移：图b和图c作图乘，图AB段为常数，MP图AB段求面积A2不必确定形心位置；图BC段为斜直线，MP图BC段求面积A1，并确定形心位置，求对应的图弯矩y1。求A点竖向位移：图BC段为直线，MP图BC段求面积A1，并确定形心位置，求对应图弯矩y1。图AB段为直线，MP图AB段的面积分成三块面积如图e所示（两个三角形和一个对称抛物线），面积分别为A3、A4、A5，形心对应的图弯矩y3、y4、y5。注意：BC杆段抗弯刚度为2EI，相应分母用2EI。 计算面积的图形，要确定形

4、心位置，对应求弯矩值的弯矩图要是一条直线（当这条直线为常数时，求面积图形不必确定形心位置）【解】求B点的竖向位移： 求A点的竖向位移：【解】 求A截面转角： l【解】 ll【解】 A的转角位移： （位移方向与虚拟单位力相同，顺时针）C点水平位移： （位移方向与虚拟单位力相反，向左）ll例题36图【例题3-6】计算图示结构B转角和A点水平位移（其中弹簧刚度为k）。【解】求A点的水平位移：（位移方向：向右）求B截面的转角位移： （位移方向：逆时针）【分析】构造单位力状态：每个位移需要重新画一个结构（如图c、d所示），将所求位移矢量画在结构相应位置处，标单位力值，即得到所求位移对应的虚拟单位力状态。

5、求B处角位移的单位力状态如图c所示，求A点水平位移的单位力状态如图d所示。内力虚功：刚架在荷载作用下的位移计算，计算虚内力在实际弯曲变形上所做的内力虚功，为此，需要作荷载、单位力产生的弯矩图。弹性支座计算：可以将弹性支座的弹簧当作结构的一部分；单位力产生的弹性支座反力，在弹簧变形上做内力虚功，其内力虚功等于力乘以位移，弹簧位移等于位移状态的弹性支座反力除以弹簧刚度（）。也可以将弹性支座按支座移动处理。位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向就是所求位移的方向。注意：弯矩图在图乘时求面积A图与y在同一侧取正号，在不同侧取负号。 弹簧内力虚功符号：两个支座反力、方向相同做正功，方向相反做负功。l例题

6、37图【例题3-7】计算图示结构B转角和C点水平位移。已知线膨胀系数为。-10【分析】构造单位力状态：每个位移需要重新画一个结构（如图b、c所示），将所求位移矢量画在结构相应位置处，标单位力值，即得到所求位移对应的虚拟单位力状态。求B处转角位移的单位力状态如图b所示，求C点水平位移的单位力状态如图c所示。作内力图： 对刚架由于温度改变引起的位移计算，要考虑温度改变引起的弯曲变形和轴向变形两种因素对位移的影响，也就是要计算虚拟单位力状态的内力在弯曲、轴向变形上做的内力虚功；作虚拟单位力产生的弯矩图和轴力图（如图c、d所示）；轴力标在杆件一侧。内力虚功正负号选择：弯矩图面积和杆件两侧温度差都取正值

7、，杆件温度升高大的一侧与弯矩图在同侧时内力虚功为正，取正号，在不同侧时取负号。轴力以拉力为正（压力为负），符号不用选择。位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向就是所求位移的方向。 注意：若杆件截面不对称时截面形心不在中间位置，需确定截面形心位置，以便计算截面形心处的温度；杆件两侧温度差的计算与截面是否对称无关。【解】B截面的转角位移： （转角位移方向：顺时针）C点水平位移： （水平位移方向：向右）l例题38图【例题3-8】计算图示结构C点和E点的竖向位移。EI=常数，EA=常数。【解】求C点的竖向位移： 求E点的竖向位移：【分析】构造单位力状态：求C点竖向位移的单位力状态如图c所示，求E点竖向

8、位移的单位力状态如图d所示。作内力图： 对组合结构梁式杆件作弯矩图、桁架杆件作轴力图，FG杆件当作梁式杆件处理（如图b、c所示）。位移计算：梁式杆利用图乘法求，正负符号选择按照图乘法，桁架杆轴力拉力为正（压力为负）正负符号，代入。位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向就是所求位移的方向。 结构内力计算：本题为组合结构，其几何组成为基附型结构，基本部分是简支梁，附属部分为桁架。内力计算时按照先附属后基本的顺序进行。当附属部分不受外力时，也没有内力。注意：FG杆件有弯矩，按照梁式杆计算。例题39图【例题3-9】计算图示结构D点竖向位移和AE杆件的转角。l【解】D点的竖向位移： （竖向位移方向：向上

9、）AE杆件的转角位移： （转角位移方向：逆时针）【分析】构造单位力状态：重新画一个结构（如图b、c所示），将所求位移矢量画在结构相应位置处，标单位力值。求D点竖向位移对应的虚拟单位力状态如图b所示；桁架只作用结点荷载，不能施加单位集中力偶，用一对力形成单位力偶，即求AE杆件转角所对应的虚拟单位力状态如图c所示。计算单位力产生的轴力图：利用虚力原理计算位移，需要计算虚内力在实际变形上所做的内力虚功，对于求桁架结构由温度改变产生的位移，只存在在轴向变形上的内力虚功，为此，需要作单位力产生的轴力图（如图b、c所示）。位移计算公式应用：桁架结构位移计算公式仅有轴力项，轴力要带符号计算（以拉力为正、压力

10、为负），温度以升高为正，温度不改变杆件不用计算，本题只需计算EF、CD两杆件。位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向就是所求位移的方向。注：桁架内力的计算方法本题桁架上部体系与地基之间只有三个联系，可先求出支座反力，其它杆件轴力利用结点法取结点作隔离体，按照A、C、B、D、F顺序列投影平衡条件求出各个杆件的轴力。 同一个结构的计算方法与几何组成有关，而与其上面的作用力无关，即如图b、c所示两个结构的轴力计算方法相同。例题310图【例题3-10】图示结构EB杆件制造短了15 mm，支座C下沉， 计算F点竖向位移和AD杆件的转角。4 m 【解】 F点的竖向位移：AD杆件的转角：【分析】构造单位力状

11、态：求F点竖向位移的单位力状态如图b所示；由于制造误差和支座移动使结构产生刚体位移，AD杆件任一点转角相等，因此，求AD杆件转角位移的单位力状态如图c所示。静定结构因制造误差和支座移动影响只发生刚体位移，不产生变形，虚拟力状态的内力不做内力虚变形功，也就不需要作内力图；有制造误差的杆件将产生内力虚功，需计算相应的虚内力；虚拟力状态的支座反力在位移状态的支座位移上将做外力虚功，需要求出对应有支座移动的约束反力；支座不发生移动的，对应虚拟力状态的支座反力也不做外力虚功。计算支座反力：图a体系为基附型刚架，ADE为附属部分，BFC为基本部分按三刚片组成。要按照先附后基的原则计算。附属部分满足二刚片规

12、则用截面法求，基本部分用双截面法（取两次隔离体）计算。正负号选择：力和位移都是矢量，方向相同作正虚功，相反做负功；制造误差以伸长为正，轴力以拉为正。注意：位移计算公式支反力虚功前面的负号，是公式自带的。有制造误差，内力虚功不为零，内力虚功、外力虚功的符号由力、位移的正负符号决定，相同做正功。例题311图【例题3-11】计算图示结构B点和C点的竖向位移。【解】求B点的竖向位移： 求C点的竖向位移：【分析】构造单位力状态：对应每个位移单独画一个结构，画所求位移矢量，标单位力，即得虚拟单位力状态。求B、C点竖向位移的单位力状态分别如图c、d所示。荷载弯矩图：需要作荷载产生的弯矩图（如图b所示）。图乘

13、法应用：本题荷载弯矩图为曲线图形，荷载弯矩图必须计算面积和确定形心位置。由于整个杆件的抗弯刚度不同，必须分段计算，分段后AC段形心位置不易确定，要将其分解成3个简单图形。本题利用积分公式与图乘法的关系，保证积分结果不变，对积分公式进行一个简单处理；加、减一个CB段刚度为2EI的积分，其弯矩图与原来CB段的弯矩图相同，这样就可以得到刚度为2EI的AB杆件积分公式，此时AB杆件可以直接利用图乘法计算； 刚度2EI的 CB杆段积分、刚度为EI的CB杆段积分也都可以直接利用图乘法计算。 符号选取：荷载弯矩图和形心对应弯矩在同侧时内力虚功为正值，此时图乘结果取正号；在异侧时内力虚功为负值，图乘结果取负号。位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向就是所求位移的方向。第 13 页