垂径定理—知识讲解(基础).docx

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1、垂径定理知识讲解（基础） 撰稿：张晓新 审稿：杜少波 【学习目标】1.理解圆对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理 垂直于弦直径平分这条弦，并且平分弦所对两条弧.2.推论平分弦(不是直径)直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里直径也可以是半径，也可以是过圆心直线或线段.知识点二、垂径定理拓展根据圆对称性及垂径定理还有如下结论：（1） 平分弦（该弦不是直径）直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧；（2） 弦垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对两条弧；（3） 平分

2、弦所对一条弧直径，垂直平分弦，并且平分弦所对另一条弧.要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对优弧、平分弦所对劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算及证明1如图，AB是O弦，半径OCAB于点D，且AB6 cm，OD4 cm，则DC长为（ ）A5 cm B2.5 cm C2 cm D1 cm 【思路点拨】 欲求CD长，只要求出O半径r即可，可以连结OA，在RtAOD中，由勾股定理求出OA.【答案】D； 【解析】连OA，由垂径定理知，所以在RtAOD中，

3、（cm）所以DCOCODOAOD541（cm）.【点评】主要是解由半径、弦一半和弦心距（圆心到弦垂线段长度）构成直角三角形。举一反三：【高清ID号：356965 关联位置名称（播放点名称）：例4-例5】【变式】如图，O中，弦AB弦CD于E，且AE=3cm，BE=5cm，求圆心O到弦CD 距离。 【答案】2如图所示，直线及两个同心圆分别交于图示各点，则正确是（ ） AMP及RN大小关系不定 BMPRN CMPRN DMPRN【答案】B；【解析】比较线段MP及RN大小关系，首先可通过测量猜测MP及RN相等，而证明两条线段相等通常利用全等三角形，即证OMPONR，如果联想到垂径定理，可过O作OEMN

4、于E，则MENE，PERE， MEPENERE，即MPRN【点评】在圆中，解有关弦问题时，常常需要作“垂直于弦直径”.举一反三：【高清ID号：356965 关联位置名称（播放点名称）：例2-例3】【变式】已知：如图，割线AC及圆O交于点B、C，割线AD过圆心O. 若圆O半径是5，且，AD=13. 求弦BC长.【答案】6.类型二、垂径定理综合应用3如图1，某公园一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24m，拱半径为13m，则拱高为（ ） A5m B8m C7m Dm【思路点拨】 解决此题关键是将这样实际问题转化为数学问题，即能够把题目中已知条件和要求问题转化为数学问题中已知条件和问题【答案】B；【

5、解析】如图2，表示桥拱，弦AB长表示桥跨度，C为中点，CDAB于D，CD表示拱高，O为圆心，根据垂径定理推论可知，C、D、O三点共线，且OC平分AB在RtAOD中，OA13，AD12，则OD2OA2AD213212225 OD5， CDOCOD1358，即拱高为8m【点评】在解答有关弓形问题时，首先应找弓形弧所在圆圆心，然后构造直角三角形，运用垂径定理（推论）及勾股定理求解.4如图，一条公路转弯处是一段圆弧(即图中，点O是圆心，其中CD=600m，E为上一点，且OECD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路半径【答案及解析】如图，连接OC，设弯路半径为R，则OF=(R-90)m，OECD，CF=

6、CD=600=300(m)，根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2即R2=3002+(R-90)2 ，解得R=545，这段弯路半径为545m【点评】构造直角三角形，利用垂径定理、勾股定理，解题过程中使用了列方程方法，这种用代数方法解决几何问题数学方法一定要掌握举一反三：【变式】有一石拱桥桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面距拱顶不超过3m时拱桥就有危险，现在水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由【答案】不需要采取紧急措施 设OA=R，在RtAOC中，AC=30，OC=OD-CD=R-18， R2=302+(R-18)2， R2=900+R2-36R+324， 解得R=34(m). 连接OM，设DE=x，在RtMOE中，ME=16， 342=162+(34-x)2， x2-68x+256=0， 解得x1=4，x2=64(不合题意，舍)， DE=4m3m， 不需采取紧急措施4 / 4